2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第十章第四节随机事件的概率

第四节随机事件的概率

1.频数、频率和概率

(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数❶，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率❷.

(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率.

2.事件的关系与运算

3.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率：P(E)＝1.

(3)不可能事件的概率：P(F)＝0.

(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).

(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B).

频数是一个整数，其取值范围为0≤nA≤n，nA∈N，因此随机事件A发生的频率fn(A)＝的可能取值介于0与1之间，即0≤fn(A)≤1.

频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小.但是，频率不是一个完全确定的数，随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同.

并(和)事件包含三种情况：①事件A发生，事件B不发生；②事件A不发生，事件B发生；③事件A，B都发生.即事件A，B至少有一个发生.

互斥事件具体包括三种不同的情形：①事件A发生且事件B不发生；②事件A不发生且事件B发生；③事件A与事件B都不发生.

“事件A与事件B是对立事件”是“其概率满足P(A)＋P(B)＝1”的充分不必要条件，这里一定不要认为是充要条件.事实上，若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；反之不一定成立.

[熟记常用结论]

探究概率加法公式的推广

(1)当一个事件包含多个结果时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).

(2)P()＝1－P(A1∪A2∪…∪An)＝1－P(A1)－P(A2)－…－P(An).注意涉及的各事件要彼此互斥.

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的.(　　)

(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.(　　)

(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.(　　)

(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.(　　)

(5)两互斥事件的概率和为1.(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×

二、选填题

1.下列事件中，随机事件的个数为(　　)

①物体在只受重力的作用下会自由下落；

②方程x2＋2x＋8＝0有两个实根；

③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；

④下周六会下雨.

A.1　　　　　　　　　 B.2

C.3 D.4

解析：选B　①为必然事件，②为不可能事件，③④为随机事件.

2.(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)

A.0.3 B.0.4

C.0.6 D.0.7

解析：选B　由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.

3.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(　　)

A.是互斥事件，不是对立事件

B.是对立事件，不是互斥事件

C.既是互斥事件，也是对立事件

D.既不是互斥事件也不是对立事件

解析：选C　“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件，故选C.

4.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶.假设此人射击1次，则其中靶的概率约为             ；中10环的概率约为             .

解析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为＝0.9，所以此人射击1次，中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2.

答案：0.9　0.2

5.给出下列三个命题.

①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；

②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；

③10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1.

其中正确的命题有________个.

解析：①错，不一定有10件次品；②错，是频率而非概率；③对，每个人摸到的概率是相同的，都为0.1.

答案：1

考点一    随机事件的关系[基础自学过关]

[题组练透]

1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)

A.至多有一次中靶　　　　　 B.两次都中靶

C.只有一次中靶 D.两次都不中靶

解析：选D　事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况.由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥.

2.从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；

②至少有一个是奇数和两个都是奇数；

③至少有一个是奇数和两个都是偶数；

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.

上述事件中，是对立事件的是(　　)

A.① B.②④

C.③ D.①③

解析：选C　“至少有一个是奇数”即“两个都是奇数或一奇一偶”，而从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，根据取到数的奇偶性知共有三种情况：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.故选C.

3.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)

A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡

C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡

解析：选A　至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.

4.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________________________，互为对立事件的是________.

解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件.而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件.

答案：A与B，A与C，B与C，B与D　B与D

[名师微点]

判断互斥、对立事件的2种方法

考点二    随机事件的频率与概率[师生共研过关]

[典例精析]

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.

[解]　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25 ℃，则Y＝6×450－4×450＝900；

若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；

若最高气温低于20 ℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100，

所以，Y的所有可能值为900,300，－100.

Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.

[解题技法]

1.概率与频率的关系

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.

2.随机事件概率的求法

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.

[过关训练]

　某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该保险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值；

(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值.

解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.

(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.

由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.30，故P(B)的估计值为0.30.

(3)由所给数据得如下关系：

调查的200名续保人的平均保费为

0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.

因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.

考点三  互斥事件、对立事件概率公式的应用[师生共研过关]

[典例精析]

某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：

(1)P(A)，P(B)，P(C)；

(2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

[解]　(1)易知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.

因为A，B，C两两互斥，

所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)

＝＝.

故1张奖券的中奖概率为.

(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，

所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.

[解题技法]

求互斥事件的概率的方法

(1)直接法

(2)间接法(正难则反)

[过关训练]

某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)

解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟).

(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.则P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.