2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第十章第五节古典概型与几何概型
展开第五节古典概型与几何概型
1.古典概型
(1)古典概型的特征：
①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.
(2)古典概型的概率计算的基本步骤：
①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；
②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；
③利用古典概型的概率公式P(A)＝，求出事件A的概率.
(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
名称 | 不同点 | 相同点 |
频率计 算公式 | 频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值 | 都计算了一个比值 |
古典概型的 概率计算公式 | 是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化 |
2.几何概型
(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.
(2)几何概型的基本特点：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
②每个基本事件出现的可能性相等.
(3)计算公式：
P(A)＝.
几何概型应用中的关注点
1关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.
2确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( )
(2)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限.( )
(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件.( )
(4)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
二、选填题
1.一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，故P＝＝.
2.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P＝.
3.已知四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A. B.1－
C. D.1－
解析：选B 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P＝＝＝1－.
4.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________.
解析：两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，故所求概率P＝＝.
答案：
5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.
解析：P＝1－＝1－＝.
答案：
[典例精析]
(1)(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
A. B.
C. D.
(2)(2019·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求概率P＝＝.
(2)投掷骰子两次，所得的点数a和b满足的关系为所以a和b的组合有36种.
若方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，
则Δ＝b2－4a≥0，所以b2≥4a.
当b＝1时，没有a符合条件；当b＝2时，a可取1；当b＝3时，a可取1,2；当b＝4时，a可取1,2,3,4；当b＝5时，a可取1,2,3,4,5,6；当b＝6时，a可取1,2,3,4,5,6.
满足条件的组合有19种，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率P＝.
[答案] (1)C (2)C
[解题技法]
1.古典概型的概率求解步骤
(1)求出所有基本事件的个数n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件的个数m.
(3)代入公式P(A)＝求解.
2.基本事件个数的确定方法
(1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型.
(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法.
(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求.
(4)运用排列组合知识计算.
[过关训练]
1.(2019·益阳、湘潭调研)已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 若函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，则a2－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1满足题意，又b∈{3,5}，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是＝.
2.从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意得，所求概率P＝＝.
3.将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B A，B，C，D 4名同学排成一排有A＝24种排法.当A，C之间是B时，有2×2＝4种排法，当A，C之间是D时，有2种排法，所以所求概率P＝＝.
[考法全析]
类型(一) 与长度有关的几何概型
[例1] (2019·濮阳模拟)在[－6,9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率等于( )
A. B.
C. D.
[解析] ∵f(x)＝－x2＋mx＋m的图象与x轴有公共点，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≤－4或m≥0，∴在[－6,9]内取一个实数m，函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率P＝＝，故选D.
[答案] D
类型(二) 与面积有关的几何概型
[例2] (1)(2018·潍坊模拟)如图，六边形ABCDEF是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是( )
A. B.
C. D.
(2)(2019·洛阳联考)如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sin x与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)设正六边形的中心为点O，BD与AC交于点G，BC＝1，则BG＝CG，∠BGC＝120°，在△BCG中，由余弦定理得1＝BG2＋BG2－2BG2cos 120°，得BG＝，所以S△BCG＝×BG×BG×sin 120°＝×××＝，因为S六边形ABCDEF＝S△BOC×6＝×1×1×sin 60°×6＝，所以该点恰好在图中阴影部分的概率P＝1－＝.
(2)由题意知圆O的面积为π3，正弦曲线y＝sin x，x∈[－π，π]与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得区域M的面积S＝2 sin xdx＝－2cos x ＝4，由几何概型的概率计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P＝.
[答案] (1)C (2)B
类型(三) 与体积有关的几何概型
[例3] 已知在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O ABCD的体积不小于的概率为________.
[解析] 当四棱锥O ABCD的体积为时，设O到平面ABCD的距离为h，则×22×h＝，解得h＝.
如图所示，在四棱锥PABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为.
因为PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以＝，
又四棱锥PABCD与四棱锥PEFGH相似，
所以四棱锥O ABCD的体积不小于的概率P＝＝3＝3＝.
[答案]
类型(四) 与角度有关的几何概型
[例4] 如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________.
[解析] 连接AC，如图，
因为tan∠CAB＝＝，
所以∠CAB＝，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内，且AP与AC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，所以射线AP与线段BC有公共点的概率P＝＝＝.
[答案]
[规律探求]
看 个 性 | 类型(一)与类型(四)分别讲的是与长度有关和与角度有关的几何概型. 要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度). 类型(二)是与面积有关的几何概型. 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解. 类型(三)是与体积有关的几何概型. 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解 |
找 共 性 | 建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量. (1)若一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，则只需把这个变量放在数轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个连续变量来描述，则可用这两个变量组成的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系即可建立与面积有关的几何概型； (3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型 |
[过关训练]
1.(2019·豫东名校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADFBCE内自由飞翔，则它飞入几何体FAMCD内的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题图可知VFAMCD＝×S四边形AMCD×DF＝a3，VADFBCE＝a3，
所以它飞入几何体FAMCD内的概率P＝＝.
2.在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x＋cos x≥”发生的概率为________.
解析：由题意可得
即解得0≤x≤，
故所求的概率为＝.
答案：
3.(2018·唐山模拟)向圆(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为________.
解析：如图，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为，所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB的面积为×π×2－×2×＝π－，所以向圆(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P＝－.
答案：－
