2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第十一章第二节复数

第二节复__数

1.复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部.

(2)复数的分类：z＝a＋bi

有关复数的3点注意

(1)若一个复数是实数，仅注重虚部为0是不够的，还要考虑它的实部是否有意义.

(2)一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.

(3)两个不全为实数的复数不能比较大小.

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).

(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).

(5)复数的模：

向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.

2.复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.

3.复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0).

(2)复数加法的运算定律

设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：

①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).

[熟记常用结论]

1.(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.

2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)，

i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*).

3.z· ＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.

4.复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量， 不共线，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.

5.复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数.

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)方程x2＋x＋1＝0没有解.(　　)

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　　)

(4)原点是实轴与虚轴的交点.(　　)

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√

二、选填题

1.设x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则复数z＝x＋yi在复平面上对应的点位于(　　)

A.第一象限　　　　　　　　 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析：选D　由题意得所以x＝4，y＝－2，

所以复数z＝4－2i位于复平面的第四象限，故选D.

2.若复数z＝，其中i为虚数单位，则＝(　　)

A.1＋i B.1－i

C.－1＋i D.－1－i

解析：选B　∵z＝＝＝1＋i，∴＝1－i，故选B.

3.化简：＝________.

解析：＝＝＝1－i.

答案：1－i

4.已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则|z|＝________.

解析：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i＋2i2＝－1＋3i，

∴|z|＝＝.

答案：

考点一    复数的有关概念[基础自学过关]

[题组练透]

1.(2019·湘东五校联考)若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为(　　)

A.－1　　　　　　　　　 B.0

C.1 D.2

解析：选C　由纯虚数的概念得解得m＝1.

2.(2019·黄冈模拟)已知复数z＝＋的实部与虚部的和为2，则实数a的值为(　　)

A.0 B.1

C.2 D.3

解析：选D　易知z＝＋＝＋＝＋，由题意得＋＝2，解得a＝3.故选D.

3.(2018·唐山五校联考)已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　)

A.－3－i B.－3＋i

C.3＋i D.3－i

解析：选C　由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以＝3＋i，故选C.

4.(2019·重庆调研)已知i为虚数单位，复数z＝，则|z|＝________.

解析：|z|＝＝＝＝.

答案：

[名师微点]

解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.

(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数.复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).

考点二    复数的运算[基础自学过关]

[题组练透]

1.(2018·全国卷Ⅱ)＝(　　)

A.－－i　　　　　　 B.－＋i

C.－－i D.－＋i

解析：选D　＝＝＝－＋i.

2.(2019·合肥质检)已知i为虚数单位，则＝(　　)

A.5 B.5i

C.－－i D.－＋i

解析：选A　＝＝5，故选A.

3.(2019·贵阳模拟)设i为虚数单位，复数z满足i(z＋1)＝1，则复数z＝(　　)

A.1＋i B.1－i

C.－1－i D.－1＋i

解析：选C　由题意，得z＝－1＝－1－i，故选C.

4.(2018·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝(　　)

A.i B.－1＋i

C.－1－i D.－i

解析：选C　由已知可得＝＝＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C.

5.(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)

A.0　　　 　 　 　　　　 B.

C.1 D.

解析：选C　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C.

[名师微点]

复数代数形式运算问题的解题策略

考点三    复数的几何意义[基础自学过关]

[题组练透]

1.(2018·武汉调研)设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于(　　)

A.第一象限　　　　　　 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析：选D　∵x，y是实数，∴(1－i)x＝x－xi＝1＋yi，∴解得

∴x＋yi在复平面内所对应的点为(1，－1)，位于第四象限.故选D.

2.(2019·沈阳质量监测)已知i为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限　　　　　　 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析：选B　＝＝－－i，其共轭复数为－＋i，在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.

3.若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，1) B.(－∞，－1)

C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)

解析：选B　因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，

所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，

又此点在第二象限，所以解得a＜－1.

4.设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　)

A.1＋i B.＋i

C.1＋i D.1＋i

解析：选B　因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i，故选B.

5.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________.

解析：由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，

根据＝λ＋μ，得

(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，

∴解得

∴λ＋μ＝1.

答案：1

[名师微点]

1.准确理解复数的几何意义

(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

2.与复数的几何意义相关问题的一般步骤

(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；

(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应.