2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第十一章第五节概率与统计大题增分策略第一课时 解题能力“过三关”（审答怎么办）
展开第五节“概率与统计”大题增分策略
概率与统计应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，解答这类问题的关键：一是能读懂、理解陈述的材料，深刻理解题意，将文字语言转化为数学语言；二是能将转化后的数学语言构建为数学模型，化新情景问题为已学知识，找到解题突破口；三是还需具备快速准确的计算能力，具备足够的心理定力.为突破“概率与统计”这一高考大题，本节将分设两课时给予突破：第一课时——解题能力“过三关”(从必备技能上给予指导)；第二课时——高考命题“三交汇”(从考查题型上给予点拨).
第一课时 解题能力“过三关”(审答怎么办)
文字关——抓关键语句，破干扰信息 |
[例1] 调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性.现将这三项的满意度指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意.再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定居民对城市的居住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ω≤3，则居住满意度为二级；若0≤ω≤1，则居住满意度为三级.为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查，得到如下结果：
人员编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
(x，y，z) | (1,1,2) | (2,1,1) | (2,2,2) | (0,1,1) | (1,2,1) |
| |||||
人员编号 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
(x，y，z) | (1,2,2) | (1,1,1) | (1,2,2) | (1,0,0) | (1,1,1) |
(1)在这10名被调查者中任取2人，求这2人的居住满意度指标z相同的概率；
(2)从居住满意度为一级的被调查者中任取一人，其综合指标为m，从居住满意度不是一级的被调查者中任取一人，其综合指标为n，记随机变量X＝m－n，求随机变量X的分布列及其数学期望.
[解] (1)记事件A为“从10名被调查者中任取2人，这2人的居住满意度指标z相同”，则居住满意度指标z为0的只有编号为9的1名；居住满意度指标z为1的编号有2,4,5,7,10共5名；居住满意度指标z为2的编号有1,3,6,8共4名.
从10名被调查者中任取2人，所有可能的结果为C＝45(种)，这2人的居住满意度指标z相同的结果为C＋C＝10＋6＝16(种)，所以在这10名被调查者中任取2人，这2人的居住满意度指标z相同的概率为P(A)＝.
(2)计算10名被调查者的综合指标，可列下表：
人员编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
综合指标 | 4 | 4 | 6 | 2 | 4 | 5 | 3 | 5 | 1 | 3 |
其中居住满意度为一级的编号有1,2,3,5,6,8共6名，则m的值可能为4,5,6；居住满意度不是一级的编号有4,7,9,10共4名，则n的值可能为1,2,3，所以随机变量X所有可能的取值为1,2,3,4,5.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
P |
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
本题文字叙述较长，解答此类问题应过文字关，其技巧是：
(1)快速了解“无关信息”(如本例第一句话)；
(2)仔细阅读题中重要信息，把握信息所给内容(如本例字母x，y，z，ω所指什么)；
(3)明确题目所求内容.
图表关——会转换信息，建解题模型 |
[例2] (2019·石家庄质检)交强险是车主必须为机动车购买的险种.若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表 | ||
| 浮动因素 | 浮动比率 |
A1 | 上一个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮10% |
A2 | 上两个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮20% |
A3 | 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮30% |
A4 | 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% |
A5 | 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 | 上浮10% |
A6 | 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
数量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a＝950.记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；(数学期望值保留到个位数字)
(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5 000元，一辆非事故车盈利10 000元：
①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；
②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值.
[解] (1)由题意可知，X的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a，a,1.1a,1.3a.
由统计数据可知：
P(X＝0.9a)＝，P(X＝0.8a)＝，P(X＝0.7a)＝，
P(X＝a)＝，P(X＝1.1a)＝，P(X＝1.3a)＝.
所以X的分布列为
X | 0.9a | 0.8a | 0.7a | a | 1.1a | 1.3a |
P |
所以E(X)＝0.9a×＋0.8a×＋0.7a×＋a×＋1.1a×＋1.3a×＝＝≈942.
(2)①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P＝3＋C××2＝.
②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为－5 000,10 000.
所以Y的分布列为
Y | －5 000 | 10 000 |
P |
所以E(Y)＝(－5 000)×＋10 000×＝5 000，所以该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌的二手车获得利润的期望值为100×E(Y)＝500 000元.
概率与统计问题的考查离不开图表(频率分布直方图、茎叶图、折线图、频数分布表等)，解决此类问题重在审图表、明数据，能从所给图表中正确提取解题所需要的信息是解决问题的关键，然后根据信息一步步实现图表数据与数学符号语言的转化，建立数学模型解决问题.
计算关——重计算能力，防不慎失分 |
[例3] 某学校为了解本校学生的身体素质情况，决定在全校的1 000名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取45名学生对他们课余参加体育锻炼时间进行问卷调查，将学生课余参加体育锻炼时间的情况分三类：A类(课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过3小时)，B类(课余参加体育锻炼但平均每周参加体育锻炼的时间不超过3小时)，C类(课余不参加体育锻炼)，调查结果如表：
| A类 | B类 | C类 |
男生 | 18 | x | 3 |
女生 | 8 | 10 | y |
(1)求出表中x，y的值；
(2)根据表格统计数据，完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过3小时与性别有关.
| 男生 | 女生 | 总计 |
A类 |
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B类和C类 |
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总计 |
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(3)在抽取的样本中，从课余不参加体育锻炼学生中随机选取三人进一步了解情况，求选取三人中男女都有且男生比女生多的概率.
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.01 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
[解] (1)由题意，＝，21＋x＋18＋y＝45，
∴x＝4，y＝2.
(2)2×2列联表如下所示：
| 男生 | 女生 | 总计 |
A类 | 18 | 8 | 26 |
B类和C类 | 7 | 12 | 19 |
总计 | 25 | 20 | 45 |
∴K2＝≈4.664＞3.841，
∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过3小时与性别有关.
(3)在抽取的样本中，从课余不参加体育锻炼的学生中随机选取3人进一步了解情况，有C＝10种情况，选取三人中男女都有且男生比女生多，有CC＝6种情况，故所求概率为＝0.6.
(1)本例在计算K2的值时应仔细，计算中易出错，要明确公式中n，a，b，c，d所表示的值.
(2)利用最小二乘法求“”时，应注意避免计算出错.
