2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第十一章第五节概率与统计大题增分策略第二课时　高考命题“三交汇”（高考怎么考）

第二课时　高考命题“三交汇”(高考怎么考)

[典例]　高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3＋3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S，从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如下表：

(1)从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；

(2)从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；

(3)将频率视为概率，现从学生群体S中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“Y≥2”的概率.

[解]　(1)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A，

则P(A)＝＝，

所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为

1－P(A)＝.

(2)由题意可知X的可能取值分别为0,1,2.

由(1)知，P(X＝0)＝，

又P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，

从而X的分布列为

E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

(3)所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名，相应的频率为p＝＝，

由题意知，Y～B，

所以事件“Y≥2”的概率为P(Y≥2)＝C22＋C3＋C4＝.

高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布等交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键.特别是要注意挖掘题目中的隐含条件.　　　　

[过关训练]

(2018·聊城模拟)2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿.微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18～36岁之间.为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现在从北京大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：

(1)求a，b，c的值；

(2)若从100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；

(3)以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望E(X).

解：(1)由已知得0＋30＋30＋a＋5＝100，解得a＝35，

b＝＝0.05，c＝＝0.35.

(2)记“这2 人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A，则P(A)＝＝，

所以这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为.

(3)依题意可知，微信群个数超过15个的概率为P＝.

X的所有可能取值为0,1,2,3.

则P(X＝0)＝3＝，

P(X＝1)＝C12＝，

P(X＝2)＝C2·1＝，

P(X＝3)＝3＝.

所以X的分布列为

数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

[典例]　某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图.

(1)求a，b，c的值；

(2)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的数学期望E(ξ)；

(3)某评估机构以指标M来评估该校安全教育活动的成效.若M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？

[解]　(1)由题知，样本容量为＝60，b＝60×(0.01×20)＝12，a＝60－6－12－24＝18，c＝＝0.015.

(2)在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，其中“不合格”的学生人数为×10＝4，“合格”的学生人数为10－4＝6.

由题意可得ξ的所有可能取值为0,5,10,15,20.

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝10)＝＝，P(ξ＝15)＝＝，P(ξ＝20)＝＝.

所以ξ的分布列为

E(ξ)＝0＋5×＋10×＋15×＋20×＝12.

(3)D(ξ)＝(0－12)2×＋(5－12)2×＋(10－12)2×＋(15－12)2×＋(20－12)2×＝16.所以M＝＝＝0.75＞0.7，则认定教育活动是有效的

在(2)的条件下，可知该校不用调整安全教育方案.

(1)概率常与随机抽样、双图(频率分布直方图、茎叶图)、统计、独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等综合，注意频率分布直方图的纵轴不表示频率.

(2)当题目中出现“在……条件(前提)下”等字眼时，所求概率一般为条件概率；若无上述字眼，但已发生的事件影响了所求事件的概率，也认为是条件概率.条件概率的公式需记牢，易混淆事件A，B.也有不用条件概率的公式，根据实际意义求概率的，如“甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响，比赛采用五局三胜制.已知第一局乙获胜，求甲获胜的概率.”易得甲获胜的概率P＝3＋×C2×＝.　　　　

[过关训练]

　(2019·湘东五校联考)已知具有相关关系的两个变量x，y之间的几组数据如下表所示：

(1)请根据上表数据在图中绘制散点图；

(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并估计当x＝20时y的值；

(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x－y－4＝0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.

参考公式：＝，＝－.

解：(1)散点图如图所示.

(2)依题意得，＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，

＝×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，

＝4＋16＋36＋64＋100＝220，

iyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272，

＝＝＝1.1，

所以＝7.6－1.1×6＝1，

所以线性回归方程为 ＝1.1x＋1，

故当x＝20时，＝23.

(3)可以判断，落在直线2x－y－4＝0右下方的点的坐标满足2x－y－4＞0，

所以符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，

故ξ的所有可能取值为1,2,3.

P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝，

故ξ的分布列为

E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.

[典例]　为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).

某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：

(1)若规定第一阶梯的电价为每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？

(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到用电量为第二阶梯的户数的分布列与数学期望；

(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中抽取10户，若抽到k户的用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值.

[解]　(1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元).

(2)设抽到用电量为第二阶梯的户数为ξ.由题意知，用电量为第二阶梯的用户有3户，则ξ的所有可能取值为0,1,2,3，

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.

故ξ的分布列为

所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

(3)由题意知，从全市中抽取10户，用电量为第一阶梯的户数X满足X～B，可知

P(X＝k)＝Ck10－k(k＝0,1,2,3，…，10).

由

解得≤k≤，k∈N*.

所以当k＝6时，概率最大，即抽到6户的用电量为第一阶梯的可能性最大.

1.(变设问)其他条件不变，求居民一个月应交电费关于用电量n(n∈N)的函数解析式f(n).

解：因为当0＜n≤210时，f(n)＝0.5n；

当210＜n≤400时，f(n)＝210×0.5＋(n－210)×0.6＝0.6n－21；

当n＞400时，f(n)＝210×0.5＋(400－210)×0.6＋(n－400)×0.8＝0.8n－101，

所以f(n)＝

2.设甲投球命中的概率为p.

(1)[考查不等式]如果甲一共投球4次，甲恰好投中2次的概率不大于其恰好投中3次的概率，试求p的取值范围.

解：由C·p2·(1－p)2≤C·p3·(1－p)，0＜p＜1，解得≤p＜1，故p的取值范围为.

(2)[考查基本不等式]如果甲一共投球6次，那么甲恰好命中3次的概率可能是吗？

解：不可能.P(X＝3)＝C·p3·(1－p)3≤

203＝＜.

(3)[与导数交汇]记甲3次投球中恰有2次投中的概率为q，则当p取何值时，q最大？

解：由题意知q＝C·p2·(1－p)＝－3p3＋3p2,0＜p＜1，则q′＝－9p2＋6p＝－3p(3p－2)，易知在上q＝－3p3＋3p2为增函数，在上q＝－3p3＋3p2为减函数，故当p＝时，q取得最大值.

[过关训练]

　经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获得利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

(1)将T表示为X的函数；

(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的均值.

解：(1)当X∈[100,130)时，

T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.

当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.

所以T＝

(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150时.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.

(3)依题意可得T的分布列为

所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.