还剩11页未读，
继续阅读
所属成套资源：2020高考数学理科人教A版一轮复习讲义
成套系列资料，整套一键下载
2020版高考数学（理）精优大一轮复习人教A通用版讲义：第10讲函数的图像
展开
第10讲 函数的图像
1.描点法作图
其基本步骤是列表、描点、连线,具体为:
首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性).
其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点).
最后:描点,连线.
2.图像变换
变换
类型
变换前
变换方法
变换后
平移
变换
y=f(x)
的图像
a>0,右移a个单位;a<0,左移|a|个单位
y= 的图像
b>0,上移b个单位;b<0,下移|b|个单位
y= 的图像
(续表)
变换
类型
变换前
变换方法
变换后
对称
变换
y=f(x)
的图像
关于x轴对称
y= 的图像
关于y轴对称
y= 的图像
关于原点对称
y= 的图像
y=ax(a>0
且a≠1)
的图像
关于直线y=x对称
y=
的图像
伸缩
变换
y=f(x)
的图像
a>1,横坐标缩短为原来的,纵坐标不变;
0
a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变;
0
翻折
变换
y=f(x)
的图像
x轴下方部分翻折到上方,x轴及上方部分不变
的图像
y轴右侧部分翻折到左侧,原y轴左侧部分去掉、右侧不变
的图像
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数y=logax与函数y=lox的图像关于直线 对称.
2.[教材改编] 函数y=ax与y=的图像关于直线 对称.
3.[教材改编] 函数y=log2x与函数y=2x的图像关于直线 对称.
4.[教材改编] 函数y=的大致图像是 .(填序号)
① ② ③ ④
图2-10-1
题组二 常错题
◆索引:函数图像的几种变换记混;分段函数的图像问题.
5.将函数f(x)=(2x+1)2的图像向左平移一个单位后,得到的图像的函数解析式为 .
6.把函数f(x)=ln x的图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍,得到的图像的函数解析式是 .
7.设f(x)=2-x,g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y=x对称,h(x)的图像由g(x)的图像向右平移1个单位得到,则h(x)= .
8.函数y=eln x+|x-1|的图像是 .
探究点一 作函数的图像
例1 分别画出下列函数的图像:
(1)y=|lg(x-1)|;(2)y=2x+1-1;(3)y=x2-|x|-2.
[总结反思] 为了正确地作出函数的图像,除了掌握“列表、描点、连线”的方法之外,还要做到以下两点:
(1)熟练掌握几种基本函数的图像,以及形如y=x+的函数图像.
(2)掌握常用的图像变换方法,如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等,利用这些方法来帮助我们简化作图过程.
变式题 分别画出下列函数的图像:
(1)y=|x2-4x+3|;(2)y=;(3)y=10|lg x|.
探究点二 识图与辨图的常见方法
微点1 特殊点法
例2 函数f(x)=x2-的大致图像是 ( )
图2-10-2
[总结反思] 使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项,主要注意两点:一是选取的点要具备特殊性和代表性,能排除一些选项;二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案.
微点2 性质检验法
例3 [2018·抚顺六校期末] 函数f(x)=ln(2-|x|)的大致图像为 ( )
A B C D
图2-10-3
[总结反思] 利用性质识别函数图像是辨图中的主要方法,采用的性质主要是定义域、值域、函数的奇偶性、函数局部的单调性等.当然,对于一些更为复杂的函数图像的判断,还可能同特殊点法结合起来使用.
微点3 图像变换法
例4 已知函数f(x)=logax(0
A B C D
图2-10-4
[总结反思] 通过图像变换识别函数图像要掌握两点:一是熟悉基本初等函数的图像(如指数函数、对数函数等图像);二是了解常见的一些变换形式,如平移变换、翻折变换.
应用演练
1.【微点3】若函数y=f(x)的图像如图2-10-5所示,则函数y=-f(x+1)的图像大致为 ( )
图2-10-5
A B C D
图2-10-6
2.【微点1】[2018·西宁二模] 函数f(x)=ln的图像大致为 ( )
A B C D
图2-10-7
3.【微点2】[2018·南阳一中月考] 函数f(x)=log2|2x-1|的图像大致是 ( )
A B C D
图2-10-8
4.【微点1】函数y=x-sin x的图像大致是 ( )
图2-10-9
探究点三 以函数图像为背景的问题
微点1 研究函数的性质
例5 [2018·信阳高级中学月考] 已知某函数的图像如图2-10-10所示,则图像所对应的函数可能是 ( )
图2-10-10
A.y=
B.y=2|x|-2
C.y=e|x|-|x|
D.y=2|x|-x2
[总结反思] 一般根据图像观察函数性质有以下几方面:一是观察函数图像是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;二是函数图像是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性;三是根据图像上升与下降的情况,确定单调性.
微点2 求不等式的解集
例6 已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=则不等式f(x-1)≤的解集为 ( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
[总结反思] 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图像可作出时,常将不等式问题转化为两函数图像的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.
微点3 确定方程根的个数
例7 [2018·宿州质检] 已知函数f(x)=g(x)=-f(-x),则方程f(x)=g(x)的根的个数为 ( )
A.4 B.3
C.2 D.1
[总结反思] 根据方程合理构造函数.若构造的是一个函数,则方程根的个数就是函数图像与x轴交点的个数;若构造的是两个函数,则方程根的个数就是这两个函数图像交点的个数.
微点4 与函数思想结合求参数的取值范围
例8 (1)[2019·安徽皖中名校联考] 设函数f(x)=若互不相等的实数p,q,r满足f(p)=f(q)=f(r),则2p+2q+2r的取值范围是 ( )
A.(8,16) B.(9,17)
C.(9,16) D.
(2)[2018·厦门质检] 已知函数f(x)=若f(a)≥f,则a的取值范围是 ( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
[总结反思] 当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图像确定参数的取值范围.
应用演练
1.【微点1】函数f(x)的部分图像如图2-10-11所示,则f(x)的解析式可以是 ( )
图2-10-11
A.f(x)=x2(x2-π2)
B.f(x)=xcos x+π
C.f(x)=xsin x
D.f(x)=x2+cos x-1
2.【微点4】[2018·北京四中二模] 已知不等式x-1<|m-2x|在[0,2]上恒成立,且函数f(x)=ex-mx在(3,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-∞,2)∪(5,+∞)
B.(-∞,2)∪(5,e3]
C.(-∞,2)∪(5,e2]
D.(-∞,1)∪(5,e3]
3.【微点3】已知函数f(x)=函数g(x)=ln(x+2),则方程f(x)=g(x)的解的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.【微点2】已知函数f(x)=若不等式f(x)≤5-mx恒成立,则实数m的取值范围是 .
第10讲 函数的图像
考试说明 1.掌握基本初等函数的图像特征,能熟练运用基本初等函数的图像解决问题.
2.掌握图像的作法:描点法和图像变换.
3.会运用函数的图像理解和研究函数性质.
【课前双基巩固】
知识聚焦
2.f(x-a) f(x)+b -f(x) f(-x) -f(-x) logax(a>0且a≠1) f(ax) af(x) y=|f(x)| y=f(|x|)
对点演练
1.y=0 [解析] y=lox=-logax,故两个函数图像关于x轴,即直线y=0对称.
2.x=0 [解析] y==a-x,故两个函数的图像关于y轴,即直线x=0对称.
3.y=x [解析] 两个函数互为反函数,故两个函数图像关于直线y=x对称.
4.③ [解析] 将y=两边平方,得y2=|1-x2|(y≥0),即x2+y2=1(y≥0)或x2-y2=1(y≥0),所以③正确.
5.y=(2x+3)2 [解析] 得到的是y=[2(x+1)+1]2=(2x+3)2的图像.
6.y=ln [解析] 根据伸缩变换方法可得,所求函数解析式为y=ln.
7.-log2(x-1) [解析] 与f(x)的图像关于直线y=x对称的图像所对应的函数为g(x)=-log2x,再将其图像右移1个单位得到h(x)=-log2(x-1)的图像.
8. [解析] y=其图像如图所示.
【课堂考点探究】
例1 [思路点拨] (1)利用图像的平移和翻折作图;(2)利用图像的平移作图;(3)利用偶函数的关系作图,先作出x≥0时的图像,再关于y轴对称作出另一部分的图像.
解:(1)首先作出y=lg x的图像,然后将其向右平移1个单位,得到y=lg(x-1)的图像,再把所得图像在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=|lg(x-1)|的图像,如图①所示(实线部分).
(2)将y=2x的图像向左平移1个单位,得到y=2x+1的图像,再将所得图像向下平移1个单位得到y=2x+1-1的图像,如图②所示.
(3)y=x2-|x|-2=其图像如图③所示.
① ② ③
变式题 解:(1)先画出函数y=x2-4x+3的图像,再将其x轴下方的图像翻折到x轴上方,如图①所示.
① ② ③
(2)y==2-的图像可由y=-的图像先向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图②所示.
(3)y=10|lg x|=其图像如图③所示.
例2 [思路点拨] 选用函数图像经过的几个特殊点验证排除.
B [解析] 由f(0)=-1,得函数图像过点(0,-1),可排除D;由f(-2)=4-4=0,f(-4)=16-16=0,得函数图像过点(-2,0),(-4,0),可排除A,C.故选B.
例3 [思路点拨] 利用函数的奇偶性排除选项C和D,再利用函数的单调性排除选项B即可.
A [解析] 由2-|x|>0,解得-2
又∵f(-x)=ln(2-|-x|)=ln(2-|x|)=f(x),
∴函数f(x)=ln(2-|x|)在定义域上为偶函数,排除C和D.
当0
A [解析] 当x≥0时,y=f(|x|+1)=f(x+1)=loga(x+1),而函数y=loga(x+1)的图像可由函数y=logax的图像向左平移一个单位得到,又函数y=f(|x|+1)为偶函数,所以函数y=f(|x|+1)的图像是由函数y=loga(x+1)的图像及其关于y轴对称的图像组成的,所以A正确.
应用演练
1.C [解析] 由y=f(x)的图像得y=-f(x+1)的图像,应先将y=f(x)的图像向左平移1个单位,再关于x轴对称,故选C.
2.B [解析] 令x-=>0,
得-11,
故排除选项A,D.
f(2)=ln=ln>0,故排除选项C.
故选B.
3.C [解析] 函数f(x)=所以当x>0时,函数为增函数,当x<0时,函数为减函数,可排除A,B.又易知x<0时,f(x)<0,排除D,故选C.
4.D [解析] 当x=1时,y=0,即函数图像过点(1,0),由选项中图像可知,只有D符合.
例5 [思路点拨] 由图像逐一判断即可.
D [解析] 从图像可以看出函数图像关于y轴对称,函数为偶函数,所以A错;当x=0时,y>0,所以B错;当x>0时,函数图像与x轴有两个交点,而对于C,y=ex-x>0恒成立,所以C错;对于D,y=2x-x2=0有两个解,所以满足题意.所以选D.
例6 [思路点拨] 先求出当x≥0时不等式f(x)≤的解集,然后利用函数为偶函数求出整个定义域上不等式f(x)≤的解集,最后再求出不等式f(x-1)≤的解集.
A [解析] 当x∈时,由f(x)=cos πx=,得πx=,解得x=;
当x∈时,由f(x)=2x-1=,解得x=.
画出当x≥0时函数f(x)的图像如图所示,
结合图像可得,当x≥0时,不等式f(x)≤的解集为x≤x≤.
因为函数f(x)为偶函数,
所以当x<0时,不等式f(x)≤的解集为x-≤x≤-,
所以不等式f(x)≤的解集为x-≤x≤-或≤x≤.
由-≤x-1≤-或≤x-1≤,
解得≤x≤或≤x≤,
故不等式f(x-1)≤的解集为∪.
故选A.
例7 [思路点拨] 将方程f(x)=g(x)的解的个数问题转化为函数f(x)与函数g(x)图像的交点个数问题.
A [解析] 先求函数g(x)的解析式.
当x>0时,-x<0,
∴f(-x)=2x2-4x+1,故g(x)=-f(-x)=-2x2+4x-1;
当x<0时,-x>0,
∴f(-x)==2ex,故g(x)=-f(-x)=-2ex.
又g(0)=-f(0)=-2,
∴g(x)=-f(-x)=
在同一坐标系内画出函数f(x),g(x)的图像,实线为f(x)的图像,虚线为g(x)的图像,可得两函数的图像有4个交点,故方程f(x)=g(x)的根的个数为4.故选A.
例8 [思路点拨] (1)作出函数图像,可以得出2p+2q=1,从而再得出r的范围即可;(2)分别作出y=f(x)和y=f的图像,找到两函数图像交点的横坐标即可.
(1)B (2)D [解析] (1)不妨设p
令f(p)=f(q)=f(r)=m,则|2p+1-1|=|2q+1-1|=4-r=m,故2p+1-1=-2q+1+1且0
(2)画出函数y=f(x)的图像(图中右线),则函数y=f(x)的图像向左平移个单位长度,得到函数y=f的图像(图中左线).设两图像交于点A,B,且横坐标分别为a1,a2,由图像可得,满足f(a)≥f的实数a的取值范围为(0,a1]∪,且
对于a1,由-log2a1=log2,解得=a1+,所以2+a1-2=0,解得a1=或a1=(舍去).
对于a2,由log2a2=log2,解得a2=.
综上可得,实数a的取值范围为∪.故选D.
应用演练
1.C [解析] 由函数f(x)的部分图像可知,函数f(x)是偶函数,故排除B;
当x=π时,f(π)=0,故排除D;
当x=1时,对于A选项,f(1)=1-π2<0,故排除A.
因此选C.
2.B [解析] 不等式x-1<|m-2x|,即(x-1)<在[0,2]上恒成立,令g(x)=,h(x)=(x-1),由图像可知,<1或>,即m∈(-∞,2)∪(5,+∞).又f(x)=ex-mx在(3,+∞)上单调递增,故f'(x)=ex-m≥0在(3,+∞)上恒成立,∴m≤e3.综上,m∈(-∞,2)∪(5,e3],故选B.
3.B [解析] 作出函数f(x)与g(x)的图像(图略),由图像可知,f(x)与g(x)的图像有2个交点,故方程f(x)=g(x)有2个解,故选B.
4. [解析] 设g(x)=5-mx,则函数g(x)的图像是过点(0,5)的直线.
在同一坐标系内画出函数f(x)和g(x)的图像,如图所示.
∵不等式f(x)≤5-mx恒成立,
∴函数f(x)的图像上的任意一点不在函数g(x)的图像的上方.
结合图像可得:
①当m<0时,不成立;
②当m=0时,成立;
③当m>0时,需满足g(2)=5-2m≥0,解得0
∴实数m的取值范围是.
【备选理由】 例1从函数的奇偶性出发,结合图像经过的特殊点确定函数的图像;例2考查函数图像的平移变换与对称变换,巩固对函数图像变换的认识;例3需要结合函数的性质,作出相应函数的简图,充分利用图像巧解不等式;例4是对原例题的一个补充,是利用已知方程根的个数求参数范围问题,同样需要利用函数图像解决.
例1 [配合例2、例3使用] 函数f(x)=x3+ln(-x)的图像大致为 ( )
A B C D
[解析] B 由题意知f(-x)=(-x)3+ln(+x)=-f(x),故函数f(x)是奇函数,又f(2)=8+ln(-2)>0.故选B.
例2 [配合例4使用] 将函数f(x)=e1-x的图像向左平移1个单位得到曲线C1,而且曲线C1与函数g(x)的图像关于y轴对称,则g(x)的解析式为 ( )
A.g(x)=e2-x B.g(x)=ex-2
C.g(x)=ex D.g(x)=e-x
[解析] C 将函数f(x)=e1-x的图像向左平移1个单位,得到函数y=e1-(x+1)=e-x的图像,即曲线C1:y=e-x.∵曲线C1与函数g(x)的图像关于y轴对称,∴g(x)=ex,故选C.
例3 [配合例6使用] 已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,-4)上是减函数,若g(x)=f(x-4)是奇函数,且g(4)=0,则不等式f(x)≤0的解集是 ( )
A.(-∞,-8]∪(-4,0]
B.[-8,-4)∪[0,+∞)
C.[-8,-4]∪[0,+∞)
D.[-8,0]
[解析] C ∵g(x)=f(x-4)是奇函数,
∴函数g(x)=f(x-4)的图像的对称中心为(0,0),
∴函数f(x)的图像的对称中心为(-4,0).
又函数f(x)在(-∞,-4)上是减函数,
∴函数f(x)在(-4,+∞)上为减函数,且f(-4)=g(0)=0.
∵g(4)=f(0)=0,
∴f(-8)=0.
画出函数f(x)图像的草图(如图),
结合图像可得,f(x)≤0的解集是[-8,-4]∪[0,+∞).故选C.
例4 [配合例7使用] 已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是 ( )
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0,2]
D.(0,+∞)
[解析] A 由f(x)-a=0得a=f(x).
画出函数y=f(x)的图像如图所示,且当x≥3时,函数y=f(x)的图像以直线y=1为渐近线.
结合图像可得,当0
第10讲 函数的图像
1.描点法作图
其基本步骤是列表、描点、连线,具体为:
首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性).
其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点).
最后:描点,连线.
2.图像变换
变换
类型
变换前
变换方法
变换后
平移
变换
y=f(x)
的图像
a>0,右移a个单位;a<0,左移|a|个单位
y= 的图像
b>0,上移b个单位;b<0,下移|b|个单位
y= 的图像
(续表)
变换
类型
变换前
变换方法
变换后
对称
变换
y=f(x)
的图像
关于x轴对称
y= 的图像
关于y轴对称
y= 的图像
关于原点对称
y= 的图像
y=ax(a>0
且a≠1)
的图像
关于直线y=x对称
y=
的图像
伸缩
变换
y=f(x)
的图像
a>1,横坐标缩短为原来的,纵坐标不变;
0
a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变;
0
翻折
变换
y=f(x)
的图像
x轴下方部分翻折到上方,x轴及上方部分不变
的图像
y轴右侧部分翻折到左侧,原y轴左侧部分去掉、右侧不变
的图像
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数y=logax与函数y=lox的图像关于直线 对称.
2.[教材改编] 函数y=ax与y=的图像关于直线 对称.
3.[教材改编] 函数y=log2x与函数y=2x的图像关于直线 对称.
4.[教材改编] 函数y=的大致图像是 .(填序号)
① ② ③ ④
图2-10-1
题组二 常错题
◆索引:函数图像的几种变换记混;分段函数的图像问题.
5.将函数f(x)=(2x+1)2的图像向左平移一个单位后,得到的图像的函数解析式为 .
6.把函数f(x)=ln x的图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍,得到的图像的函数解析式是 .
7.设f(x)=2-x,g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y=x对称,h(x)的图像由g(x)的图像向右平移1个单位得到,则h(x)= .
8.函数y=eln x+|x-1|的图像是 .
探究点一 作函数的图像
例1 分别画出下列函数的图像:
(1)y=|lg(x-1)|;(2)y=2x+1-1;(3)y=x2-|x|-2.
[总结反思] 为了正确地作出函数的图像,除了掌握“列表、描点、连线”的方法之外,还要做到以下两点:
(1)熟练掌握几种基本函数的图像,以及形如y=x+的函数图像.
(2)掌握常用的图像变换方法,如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等,利用这些方法来帮助我们简化作图过程.
变式题 分别画出下列函数的图像:
(1)y=|x2-4x+3|;(2)y=;(3)y=10|lg x|.
探究点二 识图与辨图的常见方法
微点1 特殊点法
例2 函数f(x)=x2-的大致图像是 ( )
图2-10-2
[总结反思] 使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项,主要注意两点:一是选取的点要具备特殊性和代表性,能排除一些选项;二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案.
微点2 性质检验法
例3 [2018·抚顺六校期末] 函数f(x)=ln(2-|x|)的大致图像为 ( )
A B C D
图2-10-3
[总结反思] 利用性质识别函数图像是辨图中的主要方法,采用的性质主要是定义域、值域、函数的奇偶性、函数局部的单调性等.当然,对于一些更为复杂的函数图像的判断,还可能同特殊点法结合起来使用.
微点3 图像变换法
例4 已知函数f(x)=logax(0
A B C D
图2-10-4
[总结反思] 通过图像变换识别函数图像要掌握两点:一是熟悉基本初等函数的图像(如指数函数、对数函数等图像);二是了解常见的一些变换形式,如平移变换、翻折变换.
应用演练
1.【微点3】若函数y=f(x)的图像如图2-10-5所示,则函数y=-f(x+1)的图像大致为 ( )
图2-10-5
A B C D
图2-10-6
2.【微点1】[2018·西宁二模] 函数f(x)=ln的图像大致为 ( )
A B C D
图2-10-7
3.【微点2】[2018·南阳一中月考] 函数f(x)=log2|2x-1|的图像大致是 ( )
A B C D
图2-10-8
4.【微点1】函数y=x-sin x的图像大致是 ( )
图2-10-9
探究点三 以函数图像为背景的问题
微点1 研究函数的性质
例5 [2018·信阳高级中学月考] 已知某函数的图像如图2-10-10所示,则图像所对应的函数可能是 ( )
图2-10-10
A.y=
B.y=2|x|-2
C.y=e|x|-|x|
D.y=2|x|-x2
[总结反思] 一般根据图像观察函数性质有以下几方面:一是观察函数图像是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;二是函数图像是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性;三是根据图像上升与下降的情况,确定单调性.
微点2 求不等式的解集
例6 已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=则不等式f(x-1)≤的解集为 ( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
[总结反思] 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图像可作出时,常将不等式问题转化为两函数图像的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.
微点3 确定方程根的个数
例7 [2018·宿州质检] 已知函数f(x)=g(x)=-f(-x),则方程f(x)=g(x)的根的个数为 ( )
A.4 B.3
C.2 D.1
[总结反思] 根据方程合理构造函数.若构造的是一个函数,则方程根的个数就是函数图像与x轴交点的个数;若构造的是两个函数,则方程根的个数就是这两个函数图像交点的个数.
微点4 与函数思想结合求参数的取值范围
例8 (1)[2019·安徽皖中名校联考] 设函数f(x)=若互不相等的实数p,q,r满足f(p)=f(q)=f(r),则2p+2q+2r的取值范围是 ( )
A.(8,16) B.(9,17)
C.(9,16) D.
(2)[2018·厦门质检] 已知函数f(x)=若f(a)≥f,则a的取值范围是 ( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
[总结反思] 当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图像确定参数的取值范围.
应用演练
1.【微点1】函数f(x)的部分图像如图2-10-11所示,则f(x)的解析式可以是 ( )
图2-10-11
A.f(x)=x2(x2-π2)
B.f(x)=xcos x+π
C.f(x)=xsin x
D.f(x)=x2+cos x-1
2.【微点4】[2018·北京四中二模] 已知不等式x-1<|m-2x|在[0,2]上恒成立,且函数f(x)=ex-mx在(3,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-∞,2)∪(5,+∞)
B.(-∞,2)∪(5,e3]
C.(-∞,2)∪(5,e2]
D.(-∞,1)∪(5,e3]
3.【微点3】已知函数f(x)=函数g(x)=ln(x+2),则方程f(x)=g(x)的解的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.【微点2】已知函数f(x)=若不等式f(x)≤5-mx恒成立,则实数m的取值范围是 .
第10讲 函数的图像
考试说明 1.掌握基本初等函数的图像特征,能熟练运用基本初等函数的图像解决问题.
2.掌握图像的作法:描点法和图像变换.
3.会运用函数的图像理解和研究函数性质.
【课前双基巩固】
知识聚焦
2.f(x-a) f(x)+b -f(x) f(-x) -f(-x) logax(a>0且a≠1) f(ax) af(x) y=|f(x)| y=f(|x|)
对点演练
1.y=0 [解析] y=lox=-logax,故两个函数图像关于x轴,即直线y=0对称.
2.x=0 [解析] y==a-x,故两个函数的图像关于y轴,即直线x=0对称.
3.y=x [解析] 两个函数互为反函数,故两个函数图像关于直线y=x对称.
4.③ [解析] 将y=两边平方,得y2=|1-x2|(y≥0),即x2+y2=1(y≥0)或x2-y2=1(y≥0),所以③正确.
5.y=(2x+3)2 [解析] 得到的是y=[2(x+1)+1]2=(2x+3)2的图像.
6.y=ln [解析] 根据伸缩变换方法可得,所求函数解析式为y=ln.
7.-log2(x-1) [解析] 与f(x)的图像关于直线y=x对称的图像所对应的函数为g(x)=-log2x,再将其图像右移1个单位得到h(x)=-log2(x-1)的图像.
8. [解析] y=其图像如图所示.
【课堂考点探究】
例1 [思路点拨] (1)利用图像的平移和翻折作图;(2)利用图像的平移作图;(3)利用偶函数的关系作图,先作出x≥0时的图像,再关于y轴对称作出另一部分的图像.
解:(1)首先作出y=lg x的图像,然后将其向右平移1个单位,得到y=lg(x-1)的图像,再把所得图像在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=|lg(x-1)|的图像,如图①所示(实线部分).
(2)将y=2x的图像向左平移1个单位,得到y=2x+1的图像,再将所得图像向下平移1个单位得到y=2x+1-1的图像,如图②所示.
(3)y=x2-|x|-2=其图像如图③所示.
① ② ③
变式题 解:(1)先画出函数y=x2-4x+3的图像,再将其x轴下方的图像翻折到x轴上方,如图①所示.
① ② ③
(2)y==2-的图像可由y=-的图像先向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图②所示.
(3)y=10|lg x|=其图像如图③所示.
例2 [思路点拨] 选用函数图像经过的几个特殊点验证排除.
B [解析] 由f(0)=-1,得函数图像过点(0,-1),可排除D;由f(-2)=4-4=0,f(-4)=16-16=0,得函数图像过点(-2,0),(-4,0),可排除A,C.故选B.
例3 [思路点拨] 利用函数的奇偶性排除选项C和D,再利用函数的单调性排除选项B即可.
A [解析] 由2-|x|>0,解得-2
又∵f(-x)=ln(2-|-x|)=ln(2-|x|)=f(x),
∴函数f(x)=ln(2-|x|)在定义域上为偶函数,排除C和D.
当0
A [解析] 当x≥0时,y=f(|x|+1)=f(x+1)=loga(x+1),而函数y=loga(x+1)的图像可由函数y=logax的图像向左平移一个单位得到,又函数y=f(|x|+1)为偶函数,所以函数y=f(|x|+1)的图像是由函数y=loga(x+1)的图像及其关于y轴对称的图像组成的,所以A正确.
应用演练
1.C [解析] 由y=f(x)的图像得y=-f(x+1)的图像,应先将y=f(x)的图像向左平移1个单位,再关于x轴对称,故选C.
2.B [解析] 令x-=>0,
得-1
故排除选项A,D.
f(2)=ln=ln>0,故排除选项C.
故选B.
3.C [解析] 函数f(x)=所以当x>0时,函数为增函数,当x<0时,函数为减函数,可排除A,B.又易知x<0时,f(x)<0,排除D,故选C.
4.D [解析] 当x=1时,y=0,即函数图像过点(1,0),由选项中图像可知,只有D符合.
例5 [思路点拨] 由图像逐一判断即可.
D [解析] 从图像可以看出函数图像关于y轴对称,函数为偶函数,所以A错;当x=0时,y>0,所以B错;当x>0时,函数图像与x轴有两个交点,而对于C,y=ex-x>0恒成立,所以C错;对于D,y=2x-x2=0有两个解,所以满足题意.所以选D.
例6 [思路点拨] 先求出当x≥0时不等式f(x)≤的解集,然后利用函数为偶函数求出整个定义域上不等式f(x)≤的解集,最后再求出不等式f(x-1)≤的解集.
A [解析] 当x∈时,由f(x)=cos πx=,得πx=,解得x=;
当x∈时,由f(x)=2x-1=,解得x=.
画出当x≥0时函数f(x)的图像如图所示,
结合图像可得,当x≥0时,不等式f(x)≤的解集为x≤x≤.
因为函数f(x)为偶函数,
所以当x<0时,不等式f(x)≤的解集为x-≤x≤-,
所以不等式f(x)≤的解集为x-≤x≤-或≤x≤.
由-≤x-1≤-或≤x-1≤,
解得≤x≤或≤x≤,
故不等式f(x-1)≤的解集为∪.
故选A.
例7 [思路点拨] 将方程f(x)=g(x)的解的个数问题转化为函数f(x)与函数g(x)图像的交点个数问题.
A [解析] 先求函数g(x)的解析式.
当x>0时,-x<0,
∴f(-x)=2x2-4x+1,故g(x)=-f(-x)=-2x2+4x-1;
当x<0时,-x>0,
∴f(-x)==2ex,故g(x)=-f(-x)=-2ex.
又g(0)=-f(0)=-2,
∴g(x)=-f(-x)=
在同一坐标系内画出函数f(x),g(x)的图像,实线为f(x)的图像,虚线为g(x)的图像,可得两函数的图像有4个交点,故方程f(x)=g(x)的根的个数为4.故选A.
例8 [思路点拨] (1)作出函数图像,可以得出2p+2q=1,从而再得出r的范围即可;(2)分别作出y=f(x)和y=f的图像,找到两函数图像交点的横坐标即可.
(1)B (2)D [解析] (1)不妨设p
令f(p)=f(q)=f(r)=m,则|2p+1-1|=|2q+1-1|=4-r=m,故2p+1-1=-2q+1+1且0
(2)画出函数y=f(x)的图像(图中右线),则函数y=f(x)的图像向左平移个单位长度,得到函数y=f的图像(图中左线).设两图像交于点A,B,且横坐标分别为a1,a2,由图像可得,满足f(a)≥f的实数a的取值范围为(0,a1]∪,且
对于a1,由-log2a1=log2,解得=a1+,所以2+a1-2=0,解得a1=或a1=(舍去).
对于a2,由log2a2=log2,解得a2=.
综上可得,实数a的取值范围为∪.故选D.
应用演练
1.C [解析] 由函数f(x)的部分图像可知,函数f(x)是偶函数,故排除B;
当x=π时,f(π)=0,故排除D;
当x=1时,对于A选项,f(1)=1-π2<0,故排除A.
因此选C.
2.B [解析] 不等式x-1<|m-2x|,即(x-1)<在[0,2]上恒成立,令g(x)=,h(x)=(x-1),由图像可知,<1或>,即m∈(-∞,2)∪(5,+∞).又f(x)=ex-mx在(3,+∞)上单调递增,故f'(x)=ex-m≥0在(3,+∞)上恒成立,∴m≤e3.综上,m∈(-∞,2)∪(5,e3],故选B.
3.B [解析] 作出函数f(x)与g(x)的图像(图略),由图像可知,f(x)与g(x)的图像有2个交点,故方程f(x)=g(x)有2个解,故选B.
4. [解析] 设g(x)=5-mx,则函数g(x)的图像是过点(0,5)的直线.
在同一坐标系内画出函数f(x)和g(x)的图像,如图所示.
∵不等式f(x)≤5-mx恒成立,
∴函数f(x)的图像上的任意一点不在函数g(x)的图像的上方.
结合图像可得:
①当m<0时,不成立;
②当m=0时,成立;
③当m>0时,需满足g(2)=5-2m≥0,解得0
∴实数m的取值范围是.
【备选理由】 例1从函数的奇偶性出发,结合图像经过的特殊点确定函数的图像;例2考查函数图像的平移变换与对称变换,巩固对函数图像变换的认识;例3需要结合函数的性质,作出相应函数的简图,充分利用图像巧解不等式;例4是对原例题的一个补充,是利用已知方程根的个数求参数范围问题,同样需要利用函数图像解决.
例1 [配合例2、例3使用] 函数f(x)=x3+ln(-x)的图像大致为 ( )
A B C D
[解析] B 由题意知f(-x)=(-x)3+ln(+x)=-f(x),故函数f(x)是奇函数,又f(2)=8+ln(-2)>0.故选B.
例2 [配合例4使用] 将函数f(x)=e1-x的图像向左平移1个单位得到曲线C1,而且曲线C1与函数g(x)的图像关于y轴对称,则g(x)的解析式为 ( )
A.g(x)=e2-x B.g(x)=ex-2
C.g(x)=ex D.g(x)=e-x
[解析] C 将函数f(x)=e1-x的图像向左平移1个单位,得到函数y=e1-(x+1)=e-x的图像,即曲线C1:y=e-x.∵曲线C1与函数g(x)的图像关于y轴对称,∴g(x)=ex,故选C.
例3 [配合例6使用] 已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,-4)上是减函数,若g(x)=f(x-4)是奇函数,且g(4)=0,则不等式f(x)≤0的解集是 ( )
A.(-∞,-8]∪(-4,0]
B.[-8,-4)∪[0,+∞)
C.[-8,-4]∪[0,+∞)
D.[-8,0]
[解析] C ∵g(x)=f(x-4)是奇函数,
∴函数g(x)=f(x-4)的图像的对称中心为(0,0),
∴函数f(x)的图像的对称中心为(-4,0).
又函数f(x)在(-∞,-4)上是减函数,
∴函数f(x)在(-4,+∞)上为减函数,且f(-4)=g(0)=0.
∵g(4)=f(0)=0,
∴f(-8)=0.
画出函数f(x)图像的草图(如图),
结合图像可得,f(x)≤0的解集是[-8,-4]∪[0,+∞).故选C.
例4 [配合例7使用] 已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是 ( )
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0,2]
D.(0,+∞)
[解析] A 由f(x)-a=0得a=f(x).
画出函数y=f(x)的图像如图所示,且当x≥3时,函数y=f(x)的图像以直线y=1为渐近线.
结合图像可得,当0
相关资料
更多
