2020版高考数学（理）精优大一轮复习人教A通用版讲义：第13讲变化率与导数


第13讲　变化率与导数、导数的运算


1.变化率与导数
(1)平均变化率:
概念
对于函数y=f(x),=叫作函数y=f(x)从x1到x2的　　　　变化率 
几何意义
函数y=f(x)图像上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的　　　 
物理意义
若函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则就是该质点在[x1,x2]上的　　　　速度 
(2)导数:

概念
点x0处
=,我们称它为函数y=f(x)在　　　　处的导数,记为f'(x0)或y',即f'(x0)== 
区间
(a,b)
当x∈(a,b)时,f'(x)==　　　　　　叫作函数在区间(a,b)内的导数 
几何
意义
函数y=f(x)在点x=x0处的导数f'(x0)就是函数图像在该点处切线的　　　　.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程是　　　　　　　　 
物理
意义
函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x0处的导数就是质点在x=x0时的　　　　速度,在(a,b)内的导数就是质点在(a,b)内的　　　　方程 
2.导数的运算

常用导数公式
原函数
导函数
特例或推广
常数
函数
C'=0(C为常数)

幂函数
(xn)'=　　　　(n∈Z) 
'=-
三角
函数
(sin x)'=　　　　,(cos x)'=　　　　 
偶(奇)函数的导数是
奇(偶)函数,周期函数
的导数是周期函数
指数
函数
(ax)'=　　　　(a>0,且a≠1) 
(ex)'=ex
对数
函数
(logax)'=　　　　(a>0,且a≠1) 
(ln x)'=,(ln|x|)'=
四则运算法则
加减
[f(x)±g(x)]'=
　　　 
'=f'i(x)
乘法
[f(x)·g(x)]'=
 
[Cf(x)]'=Cf'(x)
除法
'=
 
(g(x)≠0)
'=-
复合函数求导
复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=　　　　,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积” 


题组一　常识题
1.[教材改编] 向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为　　　　. 
2.[教材改编] 已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为c(x)=(80 3.[教材改编] y=ln(x+1)的导数是y'=　　　　. 

4.[教材改编] 曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于　　　　. 
题组二　常错题
◆索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆f'(x0)与[f(x0)]',f'(ax+b)与[f(ax+b)]'的区别.
5.函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为　　　　,在x=2处的导数为　　　　. 
6.已知函数y=sin 2x,则y'=　　　　. 
7.已知f(x)=x2+3xf'(2),则f(2)=　　　　. 
8.已知f(x)=x3,则f'(2x+3)=　　　　,[f(2x+3)]'=　　　　. 

探究点一　导数的运算
例1 (1)若函数f(x)=x·ex+f'(1)·x2,则f'(1)=　　　　. 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)函数y=sin(x+1)-cos的导数为y'=　　　　　　　. 
 
 
 
[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆.
变式题 (1)已知函数f(x)=sin,则f'=(　　)
A. B.
C. D.1
(2)已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为 (　　)
A. B. C. D.1
探究点二　导数的几何意义
角度1　求切线方程
例2 [2018·南昌模拟] 曲线y=3sin x+x3+1在点(0,1)处的切线方程为　　　　　　　　. 
 
 
 
[总结反思] (1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.
变式题 已知f(x)=x3-3x,过点P(-2,-2)作函数y=f(x)图像的切线,则切线方程为　　　　　　　　. 
角度2　求切点坐标
例3 设a∈R,函数f(x)=ex+是偶函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为　　　　. 
 
 
 
[总结反思] (1)f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标;(2)切点既在曲线上也在切线上,这个点对于与切点有关的问题非常重要.
变式题 曲线y=ex在点A处的切线与直线x-y+1=0平行,则点A的坐标为 (　　)
A.(-1,e-1) B.(0,1)
C.(1,e) D.(0,2)
角度3　求参数的值或范围
例4 (1)若f(x)=2ex+3ax+b的图像在点(0,1)处的切线l与直线x+2y-5=0垂直,则a+b= (　　)
A.1 B.-1
C.2 D.-2
(2)[2018·莆田模拟] 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x2-m,h(x)=6ln x-4x,设曲线y=f(x)与y=h(x)在公共点处的切线相同,则m= (　　)
A.-3 B.1
C.3 D.5
 
 
 
[总结反思] (1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数
的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
(2)注意曲线上点的横坐标的取值范围.
变式题 已知函数f(x)=ln(x+1)·cos x-ax的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为45°,则a= (　　)
A.-2 B.-1
C.0 D.3












第13讲　变化率与导数、导数的运算
考试说明 1.导数概念及其几何意义
①了解导数概念的实际背景.
②理解导数的几何意义.
2.导数的运算
①能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.
②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.

【课前双基巩固】
知识聚焦
1.(1)平均　斜率　平均　(2)x=x0　　斜率　y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)　瞬时　速度
2.nxn-1　cos x　-sin x　axln a　　f'(x)±g'(x)　f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)　　y'u·u'x
对点演练
1.0.16 dm/L　[解析] 易知r(V)=,故气球中空气的体积从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率为≈0.16(dm/L).
2.1321元/吨　[解析] c'(x)=,代入x=98计算可得.
3.　[解析] y'=×(x+1)'=.
4.2　[解析] y'=x'ex-1+xex-1·(x-1)'=(x+1)ex-1,所以y'|x=1=2,即曲线在点(1,1)处切线的斜率为2.
5.3　4　[解析] 函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为=3.因为f'(x)=2x,所以f(x)在x=2处的导数为2×2=4.
6.2cos 2x　[解析] 方法一:y'=(2sin xcos x)'=2(sin x)'cos x+2sin x(cos x)'=2cos2x-2sin2x=2cos 2x.
方法二:y'=cos 2x·(2x)'=2cos 2x.
7.-8　[解析] 因为f'(x)=2x+3f'(2),令x=2,得f'(2)=-2,所以f(x)=x2-6x,于是f(2)=-8.
8.3(2x+3)2　6(2x+3)2　[解析] f'(x)=3x2,所以f'(2x+3)=3(2x+3)2,[f(2x+3)]'=[(2x+3)3]'=3(2x+3)2(2x+3)'=6(2x+3)2.
【课堂考点探究】
例1　[思路点拨] (1)对函数f(x)=x·ex+f'(1)·x2求导,令x=1,即可求得f'(1)的值;(2)根据导数的四则运算法则及复合函数的求导法则求解.
(1)-2e　(2)cos(x+1)+sin　[解析] (1)∵f(x)=x·ex+f'(1)·x2,
∴f'(x)=ex+x·ex+2f'(1)x,
∴f'(1)=e+e+2f'(1),解得f'(1)=-2e.
(2)将函数y=sin(x+1)看作y=sin u和u=x+1的复合函数,
则y'x=y'u·u'x=(sin u)'·(x+1)'=cos u=cos(x+1).同理可以求出y=cos的导数为y'=-sin.所以所求函数的导数为y'=cos(x+1)+sin.
变式题　(1)D　(2)B　[解析] (1)∵函数f(x)=sin,
∴f'(x)=2cos,
∴f'=2cos=2cos=1,故选D.
(2)因为f'(x)=,所以f'(2)==2,解得a=,故选B.
例2　[思路点拨] 先求导,从而得切线的斜率,再由点斜式求得切线方程.
3x-y+1=0　[解析] 求导得y'=3cos x+x2,
当x=0时,可得切线斜率k=3,
所以切线方程为y=3x+1,即3x-y+1=0.
变式题　y=-2或y=9x+16　[解析] 对函数求导,得f'(x)=3x2-3.
当点P(-2,-2)为切点时,切线斜率k=3×(-2)2-3=9,
根据点斜式得切线方程为y=9x+16.
当点P(-2,-2)不是切点时,设切点坐标为(m,n),
则可得m=1,
所以切点为(1,-2),此时切线方程为y=-2.
综上,切线方程为y=9x+16或y=-2.
例3　[思路点拨] 先根据f(x)为偶函数求得a=1,再建立方程,解得切点的横坐标.
ln 2　[解析] 由题意可得f(x)=f(-x),即ex+=e-x+,即(1-a)=0对任意x∈R都成立,所以a=1,所以f(x)=ex+e-x,f'(x)=ex-e-x.设切点为(x0,y0),
则f'(x0)=-=,由于f'(x)是R上的增函数,且f'(ln 2)=,所以x0=ln 2,
即切点的横坐标为ln 2.
变式题　B　[解析] 设点A的坐标为(x0,).因为y'=ex,
所以曲线在点A处的切线斜率k=y'=,
又切线与直线x-y+1=0平行,所以=1,解得x0=0,
所以切点A的坐标为(0,1).
例4　[思路点拨] (1)求出原函数的导函数,根据题意列出关于a,b的方程(组),计算即可得到结果;(2)先设两曲线的公共切点为(a,b)(a>0),再根据两函数在x=a处的导数相等及切点在两曲线上列方程组,即可解得m的值.
(1)B　(2)D　[解析] (1)∵f(x)=2ex+3ax+b,∴f'(x)=2ex+3a.
由题意得f'(0)=2+3a=2,解得a=0.
∵点(0,1)在f(x)=2ex+3ax+b的图像上,∴2+b=1,解得b=-1.
∴a+b=0+(-1)=-1.
(2)设两曲线在公共点(a,b)处的切线相同(a>0).
由题得f'(x)=2x,h'(x)=-4,
则解得
变式题　C　[解析] f'(x)=-ln(x+1)·sin x-a.
∵函数f(x)=ln(x+1)·cos x-ax的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为45°,
∴1-a=1,∴a=0,故选C.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【备选理由】 例1考查导数的运算法则等知识,意在考查学生的基本计算能力;例2在知识点的交汇处命题,分别考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式,利用导数的几何意义求切线方程等知识;例3是一道导数新概念题,需要依据新定义求解,计算量较大,供学有余力的同学学习;例4是导数几何意义的应用与求参数取值范围的综合问题,并涉及数形结合思想,有一定的综合性.
例1　[配合例1使用] 设函数f(x)=x(2017+ln x).若f'(x0)=2018,则x0= (　　)
A.e B.e2
C.ln 2 D.1
[解析] D　因为f(x)=x(2017+ln x),
所以f'(x)=2018+ln x,
所以f'(x0)=2018+ln x0=2018,所以x0=1.
例2　[配合例2使用] [2018·荆州中学月考] 函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x3-2x2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为　　　　　　　　. 
[答案] 7x-y-4=0
[解析] ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x3-2x2,
∴当x>0时,-x<0,f(-x)=(-x)3-2(-x)2=-x3-2x2=-f(x),
∴当x>0时,f(x)=x3+2x2.
∴f(1)=1+2=3,
f'(x)=3x2+4x,∴f'(1)=7,
∴所求切线方程为y-3=7(x-1),
即7x-y-4=0.
例3　[配合例4使用] [2018·石家庄质检] 定义:如果函数f(x)在区间[a,b]上存在x1,x2(a A. B.
C. D.
[解析] A　由题意知,在区间[0,t]上存在x1,x2(0 ∵f(x)=x3-x2,∴f'(x)=3x2-x,∴方程3x2-x=t2-t在区间(0,t)上有两个不同的实数解.令g(x)=3x2-x-t2+t(0 则需满足
解得 例4　[配合例4使用] 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-x-b有且仅有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　. 

[答案] 0 [解析] ∵函数g(x)=f(x)-x-b有且仅有两个零点,
∴函数f(x)=与函数y=x+b的图像有且仅有两个交点,
作出函数f(x)=与函数y=x+b的图像,如图所示.

当b=0时,两函数图像有一个交点,是一个临界值.
当直线y=x+b与f(x)=(x>0)的图像相切时,两函数图像有一个交点,此时b的值是另一个临界值.
设切点为(m,),m>0,∵f'(x)=·(x>0),∴·=,解得m=1,
故切点为(1,1),
故b=1-=.
结合图像可得,0