2020版高考数学（理）精优大一轮复习人教A通用版讲义：第24讲正弦定理和余弦定理的应用

第24讲　正弦定理和余弦定理的应用

1.仰角和俯角:与目标线在同一铅垂平面内的　　　　　和目标视线的夹角,目标视线在水平视线　　　　的叫仰角,目标视线在水平视线　　　　的叫俯角,如图3-24-1(a)所示. 

(a)                                  (b)                            (c)                                 (d)

图3-24-1

2.方位角:指从　　　　　顺时针转到目标方向线的水平角,如图3-24-1(b)中B点的方位角为α. 

3.方向角:相对于某正方向的　　　　,如北偏东α,即由正北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图3-24-1(c)),其他方向角类似. 

4.坡角:坡面与　　　　所成的二面角的度数(如图3-24-1(d)所示,坡角为θ). 

坡比:坡面的铅直高度与　　　　之比(如图3-24-1(d)所示,i为坡比). 

题组一　常识题

1.[教材改编] 海上有A,B,C三个小岛,A,B相距5海里,从A岛望C和B成45°视角,从B岛望C和A成75°视角,则B,C两岛间的距离是　　　　海里. 

2.[教材改编] 某人向正东方向走了x km后,向右转150°,然后沿新方向走了3 km,结果他离出发点恰好 km,那么x的值为　　　　. 

3.[教材改编] 如图3-24-2所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则tan α等于　　　　.  

图3-24-2

图3-24-3

4.[教材改编] 如图3-24-3所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C处测得塔顶A的仰角为θ,则塔高AB=　　　　. 

题组二　常错题

◆索引:仰角、俯角概念不清;方向角概念不清;方位角概念不清;不能将空间问题转化为解三角形问题.

5.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,C点的俯角是70°,则∠BAC=　　　　. 

图3-24-4

6.如图3-24-4所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°的方向,灯塔B在观察站南偏东60°的方向,则灯塔A相对于灯塔B的方向角是　　　　. 

7.已知点A在点B南偏西20°的方向,若以点B为基点,则点A的方位角是　　　　. 

8.某起重装置的示意图如图3-24-5所示,已知支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,则起吊的货物与岸的距离AD为　　　　m. 

图3-24-5

探究点一　测量距离问题

例1 [2018·南京师大附中月考] 如图3-24-6所示,A,B,C三个警亭有直道相通,已知A在B的正北方向6千米处,C在B的正东方向6千米处.

(1)若警员甲从C出发,沿CA行至点P处,此时∠CBP=45°,求P,B两点间的距离.

(2)若警员甲从C出发沿CA前往A,警员乙从A出发沿AB前往B,两人同时出发,甲的速度为3千米/时,乙的速度为6千米/时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达B后原地等待,直到甲到达A时任务结束.若对讲机的有效通话距离最大为9千米,试求两人通过对讲机能保持联系的总时长.

图3-24-6

[总结反思] 求距离即是求一条线段的长度,把该线段看作某个三角形的边,根据已知条件求出该三角形的部分元素后,即可使用正弦定理或者余弦定理求该边的长度.

变式题 [2018·青岛二模] 如图3-24-7所示,A,B两点在河的两岸,一名测量者在A的同侧河岸边选定一点C,测出A,C两点的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离为(　　)

图3-24-7

A.50 m

B.50 m

C.25 m

D. m

探究点二　测量高度问题

例2 [2018·衡水中学月考] 如图3-24-8所示,在山顶有一座信号塔CD(CD所在的直线与地平面垂直),在山脚A处测得塔尖C的仰角为α,沿倾斜角为θ的山坡向上前进l米后到达B处,测得C的仰角为β.

图3-24-8

(1)求BC的长;

(2)若l=24,α=45°,β=75°,θ=30°,求信号塔CD的高度.

[总结反思] 高度也是两点之间的距离,其解法同求解水平面上两点间距离的方法是类似的,基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中,使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度.

变式题 如图3-24-9所示,为了测量一棵树的高度,在地上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为(　　)

图3-24-9

A.(30+30) m

B.(30+15) m

C.(15+30) m

D.(15+3) m

探究点三　测量角度问题

例3 如图3-24-10所示,某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号,某舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为40°,距离为15海里的C处,并测得渔船正沿方位角为100°的方向,以15海里/时的速度航行,该舰艇立即以15海里/时的速度沿直线前去营救,若舰艇与渔船恰好在B处相遇,求舰艇与渔船相遇所需的时间和舰艇的航向.

图3-24-10

 [总结反思] 测量“角度”即是求一个角的大小,把该角看作某个三角形的内角,根据已知条件求出该三角形的一些元素后,使用正弦定理或者余弦定理解三角形即得.

变式题 如图3-24-11所示,在坡角为θ的山坡上的一点A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进10米后到达点B,又从点B测得C对于山坡的斜度为α,建筑物的高CD为5米.

图3-24-11

(1)若α=30°,求AC的长;

(2)若α=45°,求此山坡的坡角θ的余弦值.

第24讲　正弦定理和余弦定理的应用

考试说明 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

【课前双基巩固】

知识聚焦

1.水平视线　上方　下方

2.正北方向

3.水平角

4.水平面　水平长度

对点演练

1.5　[解析] 由题可知∠ACB=60°,由正弦定理得=,即=,得BC=5.

2.2或　[解析] 如图所示,应有两种情况.由正弦定理,得=,∴sin A==,∴A=60°或A=120°.当A=60°时,AB=2;当A=120°时,AB=.

3.　[解析] 由题意可得,在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.

由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cos α=,所以sin α=,

所以tan α==.

4.　[解析] 在△BCD中,∠CBD=π-α-β.由正弦定理得=,所以BC==.在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=.

5.130°　[解析] 60°+70°=130°.

6.南偏西80°　[解析] 由条件及图可知,∠A=∠ABC=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°的方向.

7.200°　[解析] 根据方位角的概念可得.

8.　[解析] 在△ABC中,cos∠ABC==,所以sin∠ABC=,所以在△ABD中,AD=AB·sin∠ABC=5×=(m).

【课堂考点探究】

例1　[思路点拨] (1)先求出∠APB,再由正弦定理可得BP;(2)设甲、乙之间的距离为f(t),若两人通过对讲机能保持联系,则需要f(t)≤9,然后分0≤t≤1和1<t≤4两种情况讨论,分别求得对应的时长,再求和即得到结论.

解:(1)在△ABC中,AB=6,BC=6,AB⊥BC,所以A=60°,C=30°,又∠CBP=45°,所以∠APB=75°,

由正弦定理得,=,

即BP====9-3,

故PB的距离是(9-3)千米.

(2)由题知,AC=12千米,则甲从C到A需要4小时,乙从A到B需要1小时.

设甲、乙之间的距离为f(t),若两人通过对讲机能保持联系,则需要f(t)≤9.

①当0≤t≤1时,

f(t)==3,由f(t)≤9,

得7t2-16t+7≤0,解得≤t≤,又t∈[0,1],

所以≤t≤1,此时通过对讲机保持联系的时长为1-=(小时).

②当1<t≤4时,

f(t)==3,由f(t)≤9,

得t2-6t+3≤0,解得3-≤t≤3+,又t∈(1,4],

所以1<t≤4,此时通过对讲机保持联系的时长为3小时.

综上,两人通过对讲机能保持联系的总时长为3+=(小时).

变式题　A　[解析] 在△ABC中,AC=50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,所以∠ABC=30°,

则由正弦定理=,

得AB===50(m).故选A.

例2　[思路点拨] (1)在△ABC中,由正弦定理可得BC;(2)结合(1),在△BDC中,利用正弦定理化简求解即可.

解:(1)在△ABC中,AB=l,∠CAB=α-θ,∠ABC=180°-(β-θ),∠ACB=β-α.由正弦定理=,得BC=l.

(2)由(1)及条件知,BC=l=×24=12.因为∠BCD=90°-β=15°,∠CBD=β-θ=45°,所以∠BDC=120°.

由正弦定理得CD=·BC=24-8.

变式题　A　[解析] 设树高为x m,则BP=x m.

在△ABP中,AB=60,BP=x,A=30°,∠APB=15°,

由正弦定理=,得=,

解得x=30+30.故选A.

例3　[思路点拨] 设所需时间为t小时,利用余弦定理列出含有t的方程,再解方程得到t的值,然后求出∠CAB的值,即可求得舰艇航行的方位角.

解:设所需时间为t小时,

则AB=15t,CB=15t.由题可知,∠ACB=120°.

在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos∠ACB,

可得(15t)2=152+(15t)2-2×15×15tcos 120°,

整理得2t2-t-1=0,

解得t=1或t=-(舍去),

即舰艇与渔船相遇需要1小时.

在△ABC中,AB=15,BC=15,AC=15,∠ACB=120°,

所以∠CAB=30°,所以舰艇航行的方位角为70°.

变式题　解:(1)当α=30°时,∠ABC=150°,∠ACB=∠BAC=15°,

所以BC=AB=10,由余弦定理得AC2=102+102-2×10×10×cos 150°=200+100,

故AC=5+5.

(2)当α=45°时,∠ACB=30°,在△ABC中,由正弦定理得BC==20×=5(-).

在△BCD中,由正弦定理得sin∠BDC===-1,

所以cos θ=cos(∠ADC-90°)=sin∠ADC=-1.

【备选理由】 例1是距离问题,体现了正、余弦定理在解三角形方面的实际应用,考查学生综合运用知识解决实际问题的能力;例2是角度问题.

例1　[配合例1使用] 如图所示,某小区准备将一块闲置的直角三角形地开发成公共绿地,图中AB=a,B=,BC=a.设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道MN,且两边是两个关于走道MN对称的三角形(△AMN和△A'MN).现考虑方便和绿地最大化原则,要求点M与点A,B均不重合,A'落在边BC上且不与端点B,C重合,设∠AMN=θ.

(1)若θ=,求此时公共绿地的面积;

(2)为方便小区居民的行走,设计时要求AN,A'N的长度最短,求此时绿地公共走道MN的长度.

解:(1)设公共绿地的面积为S,由图得∠BMA'=π-2θ=,∴BM=A'M=AM,

又BM+AM=AB=a,∴AM=a,∴AM=a.

又∵AB=a,BC=a,B=,∴A=,∴△AMN为等边三角形,∴MN=AM=a,

∴S=2S△AMN=2××AM·MN·sin=a2·=a2.

(2)由题知AM+A'M·cos(π-2θ)=AB=a且AM=A'M,

∴AM=A'M===.

在△AMN中,由正弦定理可得=,

∴AN==,

记t=2sin θsin,则t=2sin θ·sincos θ-cossin θ=sin θcos θ+sin2θ=sin 2θ-cos 2θ+=sin+,

又θ∈,∴2θ-∈,

∴当2θ-=,即θ=时,t取得最大值,此时AN取得最小值,则此时MN=AM=a.

例2　[配合例3使用] 如图所示,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待救援,甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30°方向,相距10海里的C处的乙船,乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援,则sin θ的值为              (　　)

A.

B.

C.

D.

[解析] D　由题意知,在三角形ABC中,AC=10,AB=20,∠CAB=120°.由余弦定理可得BC==10.又由正弦定理=,得=,即sin∠ACB=,又因为∠ACB∈(0°,60°),所以cos∠ACB=,故sin θ=sin=×+×=.