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2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第三章第一节导数的概念及运算、定积分
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第一节导数的概念及运算、定积分
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li ＝li ❶为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝li ＝li .
函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
❷曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线.
(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝li 为f(x)的导函数．
(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0.
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
5．定积分的概念
在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
6．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．❸
❸求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算.
7．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．
8．定积分的几何意义❹
定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S.
①S＝f(x)dx；②S＝－f(x)dx；③S＝f(x)dx－f(x)dx；
④S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.
❹(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.
(2)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.
[熟记常用结论]
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．熟记以下结论：(1)′＝－；(2)(ln|x|)′＝；
(3)′＝－(f(x)≠0)；
(4)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
3．常见被积函数的原函数
(1)cdx＝cx；(2)xndx＝(n≠－1)；
(3)sin xdx＝－cos x；(4)cos xdx＝sin x；
(5)dx＝ln|x|；(6)exdx＝ex.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )
(2)因为(ln x)′＝，所以′＝ln x．( )
(3)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.( )
(4)定积分一定是曲边梯形的面积．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
二、选填题
1．下列求导运算正确的是( )
A.＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x
解析：选B ＝x′＋＝1－；(3x)′＝3xln 3；＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x．故选B.
2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
解析：选D 由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A、C.
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.
3．已知t是常数，若(2x－2)dx＝8，则t＝( )
A．1 B．－2
C．－2或4 D．4
解析：选D 由(2x－2)dx＝8，得(x2－2x)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．
4．若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝________.
解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
答案：2e
5．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为______________________．
解析：∵y′＝，∴y′|x＝－1＝2.
故所求切线方程为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
考点一导数的运算[基础自学过关]
[题组练透]
1．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于( )
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
解析：选B f′(x)＝2 018＋ln x＋x×＝2 019＋ln x，故由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，则ln x0＝0，解得x0＝1.
2．(2019·宜昌联考)已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝( )
A. B.
C. D．－2
解析：选C 因为f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得f′(1)＝，所以f′(x)＝·2xln 2＋2x，所以f′(2)＝×22ln 2＋2×2＝.
3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.
解析：f′(x)＝4ax3＋2bx，
∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，
∴f′(－1)＝－2.
答案：－2
4．求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝ln x＋；
(3)y＝；
(4)y＝xsincos.
解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.
(3)y′＝′＝＝－.(4)∵y＝xsincos
＝xsin(4x＋π)
＝－xsin 4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
[名师微点]
1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．
2．常见形式及具体求导6种方法
连乘形式
先展开化为多项式形式，再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式
先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式
先化为和、差形式，再求导
复合函数
先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
[提醒] 对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．
考点二导数的几何意义及其应用[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一) 求切线方程
[例1] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
[解析] 法一：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，
即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，
∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
法二：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，
∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
[答案] D
考法(二) 求切点坐标
[例2] 已知函数f(x)＝xln x在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为________．
[解析] ∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，由题意得f′(x0)·(－1)＝－1，即f′(x0)＝1，∴ln x0＋1＝1，ln x0＝0，∴x0＝1，∴f(x0)＝0，即P(1,0)．
[答案] (1,0)
考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)
[例3] (1)(2018·商丘二模)设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,2] B．(3，＋∞)
C. D.
(2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
[解析] (1)由f(x)＝－ex－x，得f′(x)＝－ex－1，
∵ex＋1>1，∴∈(0,1)．由g(x)＝3ax＋2cos x，得g′(x)＝3a－2sin x，又－2sin x∈[－2,2]，∴3a－2sin x∈[－2＋3a，2＋3a]．要使过曲线f(x)＝－ex－x上任意一点的切线l1，总存在过曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则
解得－≤a≤.
(2)∵y′＝(ax＋a＋1)ex，
∴当x＝0时，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，解得a＝－3.
[答案] (1)D (2)－3
考法(四) 两曲线的公切线问题
[例4] 已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________．
[解析] 由f(x)＝x3＋ax＋，得f′(x)＝3x2＋a.
∵f′(0)＝a，f(0)＝，
∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax.
设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，g′(x)＝－，
∴
将②代入①得ln x0＝，
∴x0＝e，∴a＝－＝－e－.
[答案] －e－
[规律探求]
看个性
考法(一)是求曲线的切线方程，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.
考法(二)是求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标．
考法(三)是由切线求参数的值(范围)，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．
考法(四)是曲线的公切线问题．解决此类问题通常有两种方法：一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝
找共性
1.解题口诀归纳
2.求曲线的切线注意点
(1)“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点；
(2)曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个
[过关训练]
1．[口诀第1、2句]曲线y＝在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C. D．1
解析：选B 因为y′＝，所以y′x＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝2x，即y＝2x－1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×|－1|×＝.
2．[口诀第3、4句]已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值为________．
解析：由题意知y′＝aex＋1＝2，则a>0，x＝－ln a，代入曲线方程得y＝1－ln a，所以切线方程为y－(1－ln a)＝2(x＋ln a)，即y＝2x＋ln a＋1＝2x＋1⇒a＝1.
答案：1
3．[口诀第3、4句]若一直线与曲线y＝和曲线x2＝ay(a>0)相切于同一点P，则a的值为________．
解析：设切点P(x0，y0)，则由y＝ln x，得y′＝，
由x2＝ay，得y′＝x，则有解得a＝2e.
答案：2e
考点三定积分的运算及应用[基础自学过关]
[题组练透]
1. (sin x－cos x)dx＝________.
解析： (sin x－cos x)dx
＝sin xdx－cos xdx＝－cos x－sin x
＝2.
答案：2
2. dx＋dx＝________.
解析：dx＝ln x＝1－0＝1，因为dx表示的是圆x2＋y2＝4在x轴及其上方的面积，故dx＝π×22＝2π，故答案为2π＋1.
答案：2π＋1
3．由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积为____________．
解析：法一：画出草图，如图所示．
解方程组及得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
所以所求图形的面积
S＝dx＋dx
＝dx＋dx
＝＋
＝＋6－×9－2＋＝.
法二：如图所求阴影的面积就是三角形OAB的面积减去由y轴，y＝，y＝2－x围成的曲边三角形的面积，即
S＝×2×3－ (2－x－)dx
＝3－
＝3－＝.
答案：
4．一物体在力F(x) ＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________J.
解析：由题意知，力F(x)所做的功为W＝F(x)dx＝5dx＋(3x＋4)dx＝5×2＋＝10＋＝36(J)．
答案：36
[名师微点]
1．正确选用求定积分的4个常用方法
方法
适用类型
方法解读
定理法
较简单函数
利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数
性质法
绝对值函数、分段函数
利用定积分的性质将积分区间分解为若干部分求解
几何法
函数较复杂且有明显的几何意义
用定积分的几何意义来求，即通过图形中面积的计算来求定积分值的大小
奇偶
性法
函数具有奇偶性
若函数f(x)为偶函数，且在区间[－a，a]上连续，则f(x)dx＝2f(x)dx；若f(x)为奇函数，且在区间[－a，a]上连续，则f(x)dx＝0
2．利用定积分求平面图形面积的4个步骤
3．定积分在物理中的2个应用
(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v(t)dt.
(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.
[课时跟踪检测]
一、题点全面练
1．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为( )
A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0
C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0
解析：选C 由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.
2．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)
解析：选C f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于( )
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：选C 因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋，解得f′(2)＝－.
4.(2019·四川名校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A．0
A. B.
C. D.
解析：选A 由解得或所以阴影部分的面积为 (－x2)dx＝＝.
6．(2018·安庆模拟)设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D ∵y＝eax－ln(x＋1)，∴y′＝aeax－，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.
7．(2018·延边期中)设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为( )
A.∪ B.
C.∪ D.
解析：选C 因为y′＝3x2－≥－，故切线的斜率k≥－，所以切线的倾斜角α的取值范围为∪.
8．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0 相互垂直，则实数a＝________.
解析：因为f′(x)＝sin x＋xcos x，所以f′＝sin＋cos＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，所以1×＝－1，解得a＝2.
答案：2
9．(2019·重庆质检)若曲线y＝ln(x＋a)的一条切线为y＝ex＋b，其中a，b为正实数，则a＋的取值范围为________．
解析：由y＝ln(x＋a)，得y′＝.设切点为(x0，y0)，则有⇒b＝ae－2.∵b>0，∴a>，
∴a＋＝a＋≥2，当且仅当a＝1时等号成立．
答案：[2，＋∞)
10．(2018·烟台期中)设函数F(x)＝ln x＋(0
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
解析：选B ∵f(x)＝x2＋2f(x)dx，∴f(x)dx＝＝＋2f(x)dx，∴f(x)dx＝－.
2．设f(x)＝则f(x)dx的值为( )
A.＋ B.＋3
C.＋ D.＋3
解析：选A f(x)dx＝dx＋ (x2－1)dx＝π×12＋＝＋.
3．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝( )
A．26 B．29
C．212 D．215
解析：选C 因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.
因为数列{an}为等比数列，
所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，
所以f′(0)＝84＝212.
4．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于( )
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
解析：选A 因为y＝x3，所以y′＝3x2，
设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，
则在该点处的切线斜率为k＝3x，
所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.
又点(1,0)在切线上，所以x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，切线方程为y＝0.由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；
当x0＝时，切线方程为y＝x－，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1.
综上，a的值为－1或－.
(二)素养专练——学会更学通
5．[逻辑推理]已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 019(x)＝( )
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x
C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
解析：选A ∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，…，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2 019＝4×504＋3，∴f2 019(x)＝f3(x)＝－sin x－cos x.
6．[逻辑推理]曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋8＝0的最短距离是( )
A．2 B．2
C．2 D.
解析：选A 设M(x0，ln(2x0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点M处的切线与直线2x－y＋8＝0平行时，点M到直线的距离即为曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋8＝0的最短距离．
∵y′＝，∴＝2，解得x0＝1，∴M(1,0)．记点M到直线2x－y＋8＝0的距离为d，则d＝＝2.
7．[直观想象]如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为________．
解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处的切线斜率等于－，即f′(3)＝－.又g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g(3)＝3f(3)＝3，g′(3)＝1＋3×＝0，则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为y－3＝0.
答案：y－3＝0
8．[逻辑推理、数学运算]设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝.
又f′(x)＝a＋，所以解得
故f(x)＝x－.
(2)是定值，理由如下：
设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，
由f′(x)＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S＝·|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
9．[逻辑推理、数学运算]已知函数f(x)＝ln x－，曲线y＝f(x)在点处的切线平行于直线y＝10x＋1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设直线l为函数g(x)＝ln x图象上任意一点A(x0，y0)处的切线，问：在区间(1，＋∞)上是否存在x0，使得直线l与曲线h(x)＝ex也相切？若存在，满足条件的 x0有几个？
解：(1)∵函数f(x)＝ln x－(x＞0且x≠1)，
∴f′(x)＝＋，
∵曲线y＝f(x)在点处的切线平行于直线y＝10x＋1，
∴f′＝2＋8a＝10，∴a＝1，∴f′(x)＝.
∵x＞0且x≠1，∴f′(x)＞0，
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)，无单调递减区间．
(2)在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x0.
∵g(x)＝ln x，∴g′(x)＝，
∴切线l的方程为y－ln x0＝(x－x0)，
即y＝x＋ln x0－1.①
设直线l与曲线h(x)＝ex相切于点(x1，ex1)，
∵h′(x)＝ex，∴ex1＝，∴x1＝－ln x0，
∴直线l的方程也可以写成y－＝(x＋ln x0)，
即y＝x＋＋.②
由①②得ln x0－1＝＋，∴ln x0＝.
下证在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x0.
由(1)可知，f(x)＝ln x－在区间(1，＋∞)上单调递增，
又∵f(e)＝－＜0，f(e2)＝＞0，
∴结合零点存在性定理，知方程f(x)＝0在区间(e，e2)上有唯一的实数根，这个根就是所求的唯一满足条件的x0.
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li ＝li ❶为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝li ＝li .
函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
❷曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线.
(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝li 为f(x)的导函数．
(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0.
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
5．定积分的概念
在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
6．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．❸
❸求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算.
7．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．
8．定积分的几何意义❹
定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S.
①S＝f(x)dx；②S＝－f(x)dx；③S＝f(x)dx－f(x)dx；
④S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.
❹(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.
(2)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.
[熟记常用结论]
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．熟记以下结论：(1)′＝－；(2)(ln|x|)′＝；
(3)′＝－(f(x)≠0)；
(4)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
3．常见被积函数的原函数
(1)cdx＝cx；(2)xndx＝(n≠－1)；
(3)sin xdx＝－cos x；(4)cos xdx＝sin x；
(5)dx＝ln|x|；(6)exdx＝ex.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )
(2)因为(ln x)′＝，所以′＝ln x．( )
(3)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.( )
(4)定积分一定是曲边梯形的面积．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
二、选填题
1．下列求导运算正确的是( )
A.＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x
解析：选B ＝x′＋＝1－；(3x)′＝3xln 3；＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x．故选B.
2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
解析：选D 由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A、C.
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.
3．已知t是常数，若(2x－2)dx＝8，则t＝( )
A．1 B．－2
C．－2或4 D．4
解析：选D 由(2x－2)dx＝8，得(x2－2x)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．
4．若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝________.
解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
答案：2e
5．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为______________________．
解析：∵y′＝，∴y′|x＝－1＝2.
故所求切线方程为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
考点一导数的运算[基础自学过关]
[题组练透]
1．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于( )
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
解析：选B f′(x)＝2 018＋ln x＋x×＝2 019＋ln x，故由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，则ln x0＝0，解得x0＝1.
2．(2019·宜昌联考)已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝( )
A. B.
C. D．－2
解析：选C 因为f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得f′(1)＝，所以f′(x)＝·2xln 2＋2x，所以f′(2)＝×22ln 2＋2×2＝.
3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.
解析：f′(x)＝4ax3＋2bx，
∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，
∴f′(－1)＝－2.
答案：－2
4．求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝ln x＋；
(3)y＝；
(4)y＝xsincos.
解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.
(3)y′＝′＝＝－.(4)∵y＝xsincos
＝xsin(4x＋π)
＝－xsin 4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
[名师微点]
1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．
2．常见形式及具体求导6种方法
连乘形式
先展开化为多项式形式，再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式
先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式
先化为和、差形式，再求导
复合函数
先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
[提醒] 对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．
考点二导数的几何意义及其应用[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一) 求切线方程
[例1] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
[解析] 法一：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，
即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，
∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
法二：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，
∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
[答案] D
考法(二) 求切点坐标
[例2] 已知函数f(x)＝xln x在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为________．
[解析] ∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，由题意得f′(x0)·(－1)＝－1，即f′(x0)＝1，∴ln x0＋1＝1，ln x0＝0，∴x0＝1，∴f(x0)＝0，即P(1,0)．
[答案] (1,0)
考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)
[例3] (1)(2018·商丘二模)设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,2] B．(3，＋∞)
C. D.
(2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
[解析] (1)由f(x)＝－ex－x，得f′(x)＝－ex－1，
∵ex＋1>1，∴∈(0,1)．由g(x)＝3ax＋2cos x，得g′(x)＝3a－2sin x，又－2sin x∈[－2,2]，∴3a－2sin x∈[－2＋3a，2＋3a]．要使过曲线f(x)＝－ex－x上任意一点的切线l1，总存在过曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则
解得－≤a≤.
(2)∵y′＝(ax＋a＋1)ex，
∴当x＝0时，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，解得a＝－3.
[答案] (1)D (2)－3
考法(四) 两曲线的公切线问题
[例4] 已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________．
[解析] 由f(x)＝x3＋ax＋，得f′(x)＝3x2＋a.
∵f′(0)＝a，f(0)＝，
∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax.
设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，g′(x)＝－，
∴
将②代入①得ln x0＝，
∴x0＝e，∴a＝－＝－e－.
[答案] －e－
[规律探求]
看个性
考法(一)是求曲线的切线方程，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.
考法(二)是求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标．
考法(三)是由切线求参数的值(范围)，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．
考法(四)是曲线的公切线问题．解决此类问题通常有两种方法：一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝
找共性
1.解题口诀归纳
2.求曲线的切线注意点
(1)“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点；
(2)曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个
[过关训练]
1．[口诀第1、2句]曲线y＝在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C. D．1
解析：选B 因为y′＝，所以y′x＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝2x，即y＝2x－1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×|－1|×＝.
2．[口诀第3、4句]已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值为________．
解析：由题意知y′＝aex＋1＝2，则a>0，x＝－ln a，代入曲线方程得y＝1－ln a，所以切线方程为y－(1－ln a)＝2(x＋ln a)，即y＝2x＋ln a＋1＝2x＋1⇒a＝1.
答案：1
3．[口诀第3、4句]若一直线与曲线y＝和曲线x2＝ay(a>0)相切于同一点P，则a的值为________．
解析：设切点P(x0，y0)，则由y＝ln x，得y′＝，
由x2＝ay，得y′＝x，则有解得a＝2e.
答案：2e
考点三定积分的运算及应用[基础自学过关]
[题组练透]
1. (sin x－cos x)dx＝________.
解析： (sin x－cos x)dx
＝sin xdx－cos xdx＝－cos x－sin x
＝2.
答案：2
2. dx＋dx＝________.
解析：dx＝ln x＝1－0＝1，因为dx表示的是圆x2＋y2＝4在x轴及其上方的面积，故dx＝π×22＝2π，故答案为2π＋1.
答案：2π＋1
3．由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积为____________．
解析：法一：画出草图，如图所示．
解方程组及得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
所以所求图形的面积
S＝dx＋dx
＝dx＋dx
＝＋
＝＋6－×9－2＋＝.
法二：如图所求阴影的面积就是三角形OAB的面积减去由y轴，y＝，y＝2－x围成的曲边三角形的面积，即
S＝×2×3－ (2－x－)dx
＝3－
＝3－＝.
答案：
4．一物体在力F(x) ＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________J.
解析：由题意知，力F(x)所做的功为W＝F(x)dx＝5dx＋(3x＋4)dx＝5×2＋＝10＋＝36(J)．
答案：36
[名师微点]
1．正确选用求定积分的4个常用方法
方法
适用类型
方法解读
定理法
较简单函数
利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数
性质法
绝对值函数、分段函数
利用定积分的性质将积分区间分解为若干部分求解
几何法
函数较复杂且有明显的几何意义
用定积分的几何意义来求，即通过图形中面积的计算来求定积分值的大小
奇偶
性法
函数具有奇偶性
若函数f(x)为偶函数，且在区间[－a，a]上连续，则f(x)dx＝2f(x)dx；若f(x)为奇函数，且在区间[－a，a]上连续，则f(x)dx＝0
2．利用定积分求平面图形面积的4个步骤
3．定积分在物理中的2个应用
(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v(t)dt.
(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.
[课时跟踪检测]
一、题点全面练
1．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为( )
A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0
C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0
解析：选C 由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.
2．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)
解析：选C f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于( )
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：选C 因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋，解得f′(2)＝－.
4.(2019·四川名校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A．0
A. B.
C. D.
解析：选A 由解得或所以阴影部分的面积为 (－x2)dx＝＝.
6．(2018·安庆模拟)设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D ∵y＝eax－ln(x＋1)，∴y′＝aeax－，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.
7．(2018·延边期中)设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为( )
A.∪ B.
C.∪ D.
解析：选C 因为y′＝3x2－≥－，故切线的斜率k≥－，所以切线的倾斜角α的取值范围为∪.
8．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0 相互垂直，则实数a＝________.
解析：因为f′(x)＝sin x＋xcos x，所以f′＝sin＋cos＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，所以1×＝－1，解得a＝2.
答案：2
9．(2019·重庆质检)若曲线y＝ln(x＋a)的一条切线为y＝ex＋b，其中a，b为正实数，则a＋的取值范围为________．
解析：由y＝ln(x＋a)，得y′＝.设切点为(x0，y0)，则有⇒b＝ae－2.∵b>0，∴a>，
∴a＋＝a＋≥2，当且仅当a＝1时等号成立．
答案：[2，＋∞)
10．(2018·烟台期中)设函数F(x)＝ln x＋(0
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
解析：选B ∵f(x)＝x2＋2f(x)dx，∴f(x)dx＝＝＋2f(x)dx，∴f(x)dx＝－.
2．设f(x)＝则f(x)dx的值为( )
A.＋ B.＋3
C.＋ D.＋3
解析：选A f(x)dx＝dx＋ (x2－1)dx＝π×12＋＝＋.
3．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝( )
A．26 B．29
C．212 D．215
解析：选C 因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.
因为数列{an}为等比数列，
所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，
所以f′(0)＝84＝212.
4．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于( )
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
解析：选A 因为y＝x3，所以y′＝3x2，
设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，
则在该点处的切线斜率为k＝3x，
所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.
又点(1,0)在切线上，所以x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，切线方程为y＝0.由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；
当x0＝时，切线方程为y＝x－，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1.
综上，a的值为－1或－.
(二)素养专练——学会更学通
5．[逻辑推理]已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 019(x)＝( )
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x
C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
解析：选A ∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，…，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2 019＝4×504＋3，∴f2 019(x)＝f3(x)＝－sin x－cos x.
6．[逻辑推理]曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋8＝0的最短距离是( )
A．2 B．2
C．2 D.
解析：选A 设M(x0，ln(2x0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点M处的切线与直线2x－y＋8＝0平行时，点M到直线的距离即为曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋8＝0的最短距离．
∵y′＝，∴＝2，解得x0＝1，∴M(1,0)．记点M到直线2x－y＋8＝0的距离为d，则d＝＝2.
7．[直观想象]如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为________．
解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处的切线斜率等于－，即f′(3)＝－.又g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g(3)＝3f(3)＝3，g′(3)＝1＋3×＝0，则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为y－3＝0.
答案：y－3＝0
8．[逻辑推理、数学运算]设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝.
又f′(x)＝a＋，所以解得
故f(x)＝x－.
(2)是定值，理由如下：
设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，
由f′(x)＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S＝·|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
9．[逻辑推理、数学运算]已知函数f(x)＝ln x－，曲线y＝f(x)在点处的切线平行于直线y＝10x＋1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设直线l为函数g(x)＝ln x图象上任意一点A(x0，y0)处的切线，问：在区间(1，＋∞)上是否存在x0，使得直线l与曲线h(x)＝ex也相切？若存在，满足条件的 x0有几个？
解：(1)∵函数f(x)＝ln x－(x＞0且x≠1)，
∴f′(x)＝＋，
∵曲线y＝f(x)在点处的切线平行于直线y＝10x＋1，
∴f′＝2＋8a＝10，∴a＝1，∴f′(x)＝.
∵x＞0且x≠1，∴f′(x)＞0，
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)，无单调递减区间．
(2)在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x0.
∵g(x)＝ln x，∴g′(x)＝，
∴切线l的方程为y－ln x0＝(x－x0)，
即y＝x＋ln x0－1.①
设直线l与曲线h(x)＝ex相切于点(x1，ex1)，
∵h′(x)＝ex，∴ex1＝，∴x1＝－ln x0，
∴直线l的方程也可以写成y－＝(x＋ln x0)，
即y＝x＋＋.②
由①②得ln x0－1＝＋，∴ln x0＝.
下证在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x0.
由(1)可知，f(x)＝ln x－在区间(1，＋∞)上单调递增，
又∵f(e)＝－＜0，f(e2)＝＞0，
∴结合零点存在性定理，知方程f(x)＝0在区间(e，e2)上有唯一的实数根，这个根就是所求的唯一满足条件的x0.
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