2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第五章第一节平面向量的概念及其线性运算

第一节平面向量的概念及其线性运算

1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量
记作0，其方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0

2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则　　　

平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.,向量概念的4点注意
(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|0.
(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．
(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．
比如：命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”是假命题，因为当b为零向量时，a，c可为任意向量，两者不一定平行．
(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．
向量线性运算的3点提醒
(1)两个向量的和仍然是一个向量．
(2)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点．
(3)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用．
共线向量定理的深解读
定理中限定了a≠0，这是因为如果a＝0，则λa＝0，
(1)当b≠0时，定理中的λ不存在；
(2)当b＝0时，定理中的λ不唯一．
因此限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．
[熟记常用结论]
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
2.在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：
(1) ＋＋＝0；
(2) ＝(＋)；
(3) ＝(＋)＝(＋)．
3．若＝λ＋μ (λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
4．对于任意两个向量a，b，都有：①||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．当a，b不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)
(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(　　)
(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
二、选填题
1.如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是(　　)

A．＝　　　　　　 B.＝
C．＝－ D．＝
解析：选D　由数乘向量的定义可以得到A、B、C都是正确的，只有D错误．
2．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)
A．＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
解析：选A　由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋.
3．在四边形ABCD中，＝，且||＝||，那么四边形ABCD为(　　)
A．平行四边形　　　　　　 B.菱形
C．长方形 D．正方形
解析：选B　因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．又||＝||，所以四边形ABCD为菱形，故选B.
4．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与相等的向量有________________．

答案：，，
5．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.
答案：2

考点一平面向量的有关概念[基础自学过关]
[题组练透]
1．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　 B.1
C．2 D．3
解析：选D　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．
综上所述，假命题的个数是3.
2．给出下列命题：
(1)若|a|＝|b|，则a＝b；
(2)若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
(3)若a＝b，b＝c，则a＝c；
(4)两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是________．
解析：(1)不正确．两个向量的模相等，但它们的方向不一定相同，因此由|a|＝|b|推不出a＝b.
(2)正确．若＝，则||＝||且∥.
又∵A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD是平行四边形．
反之，若四边形ABCD是平行四边形，
则AB綊DC且与方向相同，因此＝ .
(3)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．
∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．
∴a，c的长度相等且方向相同，∴a＝c.
(4)不正确．当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故不是a＝b的充要条件．
答案：(2)(3)
3．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B.1
C．2 D．3
解析：选D　①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.
[名师微点]
向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．
考点二向量的线性运算[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一)　向量的线性运算
[例1]　(1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－ B.－
C.＋ D．＋
(2)在四边形ABCD中，＝，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则(　　)
A．＝＋　　　　 B.＝＋
C．＝＋ D．＝＋
[解析]　(1)作出示意图如图所示．＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.
(2)在四边形ABCD中，因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形，如图所示．由已知得＝，由题意知△DEF∽△BEA，则＝，所以＝＝(－)＝×＝，
所以＝＋＝＋＝＋.
[答案]　(1)A　(2)B
考法(二)　根据向量线性运算求参数
[例2]　在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　)
A．1 B.
C. D．
[解析]　由题意易得＝＋＝＋，
则2＝＋，即＝＋.
故λ＋μ＝＋＝.
[答案]　D
[规律探求]
看个性
考法(一)是向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：
一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
考法(二)是考法(一)的逆运算．解决此类问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.
找共性
(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
[过关训练]
1．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于(　　)
A.b＋c　　　　　　 B.c－b
C.b－c D．b＋c
解析：选A　∵＝2，
∴－＝＝2＝2(－)，
∴3＝2＋，
∴＝＋＝b＋c.
2.如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　)
A．1 B.2
C．3 D．4
解析：选C　根据图形，由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋＝＋.
因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3.
考点三共线向量定理的应用[师生共研过关]
[典例精析]
设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[解]　(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，
∴，共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
∴∴k2－1＝0.∴k＝±1.
　
1．(变条件)若将本例(1)中“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？
解：＝＋＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，
若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ，
即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，
∴解得m＝7.
故当m＝7时，A，B，D三点共线．
2．(变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，
则k为何值？
解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ＜0)，
所以所以k＝±1.
又λ＜0，k＝λ，所以k＝－1.
故当k＝－1时，两向量反向共线．
[解题技法]
利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔，共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，
则λ＝μ＝0.
(4)＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
[过关训练]
1．在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________．
解析：因为＝，所以＝，所以＝m＋＝m＋，因为P是BN上 一点，所以B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝.
答案：
2．设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，tb，(a＋b)的终点在同一条直线上，则实数t的值为________．
解析：∵a，tb，(a＋b)三个向量的终点在同一条直线上，且a与b的起点相同，
∴a－tb与a－(a＋b)共线，即a－tb与a－b共线，
∴存在实数λ，使a－tb＝ λ，
∴解得λ＝，t＝.
答案：

一、题点全面练
1．已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C满足2＋＝0，则＝(　　)
A．2－　　　　　 B.－＋2
C.－ D．－＋
解析：选A　依题意，得＝＋＝＋2＝＋2(－)，所以＝2－，故选A.
2．(2019·石家庄质检)在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D．a＋b
解析：选B　∵＝，∴＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选B.
3．(2018·大同一模)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，则向量＝(　　)
A.a＋b B.－a－b
C．－a＋b D．a－b
解析：选C　如图，因为点E为CD的中点，CD∥AB，所以＝＝2，所以＝＝(＋)＝＝－a＋b，故选C.
4．(2019·丹东五校协作体联考)P是△ABC所在平面上的一点，满足＋＋＝2，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为(　　)
A．2 B.3
C．4 D．8
解析：选A　∵＋＋＝2＝2(－)，∴3＝－＝，∴∥，且方向相同，∴＝＝＝3，
∴S△PAB＝＝2.
5．(2018·安庆二模)在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A. B.－
C．2 D．－2
解析：选B　如图，因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得＝t＝t(－)．
因为M是线段AD的中点，所以＝(＋)＝(－＋t－t)＝－(t＋1)·＋t.
又＝λ＋μ，所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，
所以λ＋μ＝－.故选B.
6．已知O为△ABC内一点，且2＝＋，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为________．
解析：设线段BC的中点为M，则＋＝2.
因为2＝＋，所以＝，
则＝＝(＋)＝＝＋.
由B，O，D三点共线，得＋＝1，解得t＝.
答案：
7．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ (λ∈R)，则AD的长为________．
解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，∵在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，∴四边形ANDM为菱形，∵AB＝4，∴AN＝AM＝3，AD＝3.
答案：3
8．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________．
解析：设＝y，
∵＝＋＝＋y＝＋y(－)
＝－y＋(1＋y).
∵＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，
∴y∈，∵＝x＋(1－x)，
∴x＝－y，∴x∈.
答案：
9.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.
解：＝(＋)＝a＋b.
＝＋BG―→＝＋＝＋(＋)
＝＋(－)＝＋
＝a＋b.
10．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．
解：由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，所以有解得t＝.
故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B.a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
解析：选C　因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A、B、D.
当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．
2．已知O，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且＝＋，则(　　)
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段AB的反向延长线上
D．点P在射线AB上
解析：选D　由＝＋，得－＝，∴＝·，∴点P在射线AB上，故选D.
3．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为(　　)
A．1 B.－
C．1或－ D．－1或－
解析：选B　由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k.整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.
(二)素养专练——学会更学通
4．[直观想象]如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)
A．a－b B.a－b
C．a＋b D．a＋b
解析：选D　连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.
5．[逻辑推理]如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则(　　)
A．m＋n是定值，定值为2
B．2m＋n是定值，定值为3
C.＋是定值，定值为2
D.＋是定值，定值为3
解析：选D　因为M，D，N三点共线，所以＝λ＋(1－λ).又＝m，＝n，所以＝λm＋(1－λ)n.又＝，所以－＝－，所以＝＋.比较系数知λm＝，(1－λ)n＝，所以＋＝3，故选D.
6.[数学建模]在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．

解析：设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以所以则的值为.
答案：
7．[数学运算]经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．
解：设＝a，＝b，则＝(a＋b)，
＝－＝nb－ma，
＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.
由P，G，Q共线得，存在实数λ使得＝λ，
即nb－ma＝λa＋λb，
则消去λ，得＋＝3.
8．[逻辑推理]已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明：(1)若m＋n＝1，
则＝m＋(1－m)
＝＋m(－)，
∴－＝m(－)，
即＝m，∴与共线．
又∵与有公共点B，
∴A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，
则存在实数λ，使＝λ，
∴－＝λ(－)．
又＝m＋n.
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.
∵O，A，B不共线，∴，不共线，
∴∴m＋n＝1.