2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第六章第一节数列的概念与简单表示

第一节数列的概念与简单表示

1．数列的概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
(3)数列的表示法：列表法、图象法和通项公式法．

2．数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
an＋1＞an
其中
n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an

3．数列的通项公式
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
数列通项公式的注意点
(1)并不是所有的数列都有通项公式；
(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一；
(3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的．
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
通项公式和递推公式的异同点

不同点
相同点
通项公式
可根据某项的序号n的值，直接代入求出an
,都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项
递推公式
可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出an
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　)
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　)
(3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．(　　)
(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　)
(5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
二、选填题
1．数列－1，，－，，－，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝±　　　　　　 B．an＝(－1)n·
C．an＝(－1)n＋1 D．an＝
答案：B
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3(　　)
A．不是数列{an}中的项
B．只是数列{an}中的第2项
C．只是数列{an}中的第6项
D．是数列{an}中的第2项或第6项
解析：选D　令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，
故3是数列{an}中的第2项或第6项．
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，则a7＝(　　)
A．53 B．54
C．55 D．109
解析：选C　由题意知，a2＝a1＋2×2，a3＝a2＋2×3，…，a7＝a6＋2×7，各式相加得a7＝a1＋2(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝55.
4．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝________.
解析：a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1－＝，
a4＝1＋＝3，a5＝1－＝.
答案：
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，则an＝________.
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－2(n－1)2－(n－1)＝4n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝3＝4×1－1，故an＝4n－1.
答案：4n－1

考点一由数列的前几项求通项公式[基础自学过关]
[题组练透]
1．数列0，，，，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝(n∈N*)　　　　　 B．an＝(n∈N*)
C．an＝(n∈N*) D．an＝(n∈N*)
答案：C
2．数列－，，－，，…的一个通项公式an＝________.
解析：这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n.
答案：(－1)n
3．数列，，，，…的一个通项公式an＝________.
解析：因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即a－a＝4，所以a＝3＋(n－1)×4＝4n－1，所以an＝.
答案：
[名师微点]
由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略
(1)常用方法
观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．同时也可以使用添项、还原、分割等方法，转化为一个常见数列，通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式．
(2)具体策略
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征，如递增时可考虑关于n为一次递增或以2n,3n等形式递增；
③拆项后的特征；
④各项的符号特征和绝对值的特征；
⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；
⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)n或(－1)n＋1，n∈N*来处理．
考点二an与Sn关系的应用[师生共研过关]
[典例精析]

(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________.
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.
(3)已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有＝1成立，则S2 019＝________.
[解析]　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.因此an＝
(2)当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，所以a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，所以＝－，所以数列{an}为首项a1＝1，公比q＝－的等比数列，故an＝n－1.
(3)当n≥2时，由＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)·Sn－S＝－SnSn－1，所以－＝1，又＝2，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝n＋1，故Sn＝，则S2 019＝.
[答案]　(1)　(2)n－1　(3)
[解题技法]
an与Sn关系的应用策略
(1)仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含an的关系式或仅含Sn的关系式，即“二者消元留一象”．
(2)究竟消去an留Sn好，还是消去Sn留an好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去an留Sn可以得到简单可求的数列关系，那么就应当消去an留Sn，否则就尝试消去Sn留an，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”．
(3)值得一提的是：数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步学生容易忘记，切记！
[口诀记忆]
前n项和与通项，二者消元留一象；
何知去留谁更好，变形易把关系找；
通项求出莫疏忽，验证首项满足否．
[过关训练]

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.
解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝
答案：
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝________.
解析：因为Sn＝2an＋1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an，
所以an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，
即＝(n≥2)，
又a2＝，所以an＝×n－2(n≥2)．
当n＝1时，a1＝1≠×－1＝，
所以an＝
所以Sn＝2an＋1＝2××n－1＝n－1.
答案：n－1
考点三由数列的递推关系式求通项[全析考法过关]
(一)累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an
[例1]　(2019·郑州模拟)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
[解析]　由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
∴an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.
∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，∴an＝.
[答案]　an＝
　[口诀记忆]
两项之差一函数，
两边求和莫踌躇．
对于形如an＋1－an＝f(n)的递推关系的递推数列，即数列相邻两项之差是一个关于n的函数式，可以直接对等式两边求和进行解答，也可写为an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1的形式．
(二)累乘法——形如＝f(n)，求an
[例2]　在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
[解析]　∵an＝an－1(n≥2)，
∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1.
以上(n－1)个式子相乘得，
an＝a1···…·＝＝.
当n＝1时，a1＝1，符合上式，
∴an＝.
[答案]　an＝
[口诀记忆]
函数对应两项商，
左右求积细端详．
对于形如＝f(n)的递推关系的递推数列，即数列相邻两项之商是一个关于n 的函数式，可以直接对等式两边求积解答，也可写为an＝··…··a1的形式．
(三)待定系数法——形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an
[例3]　(2019·青岛模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
[解析]　∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴＝3，
∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1.
[答案]　an＝2·3n－1－1

[口诀记忆]
相邻两项是一次，
尾巴跟着个常数，
函数结构藏玄机，
待定系数化等比．
对于形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)的递推关系的递推数列，即数列相邻的次数都是一次，尾巴上有一个常数，求此类数列的通项公式，通常采用待定系数法将其转化为an＋1＋k＝A(an＋k)求解．
(四)取倒数法——形如an＋1＝(A，B，C为常数)，求an
[例4]　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.
[解析]　因为an＋1＝，a1＝1，所以an≠0，所以＝＋，即－＝.又a1＝1，则＝1，所以是以1为首项，为公差的等差数列．所以＝＋(n－1)×＝＋.所以an＝.
[答案]　
形如an＋1＝ (A，B，C为常数)的数列，将其变形为＝·＋.①若A＝C，则是等差数列，且公差为，可直接用公式求通项；②若A≠C，则采用待定系数法，构造新数列求解.
[过关训练]
1．[累加法]在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________.
解析：原递推公式可化为an＋1＝an＋－，
则a2＝a1＋1－，a3＝a2＋－，
a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋－，an＝an－1＋－，累计相加得，an＝a1＋1－，故an＝4－.
答案：4－
2．[累乘法]已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：∵an＋1＝2nan，∴＝2n，当n≥2时，an＝··…··a1＝2n－1·2n－2·…·2·2＝2.又a1＝1也符合上式，∴an＝2.
答案：2
3．[待定系数法]已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．
解析：因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，
所以4an－an＋1＋1＝0.
所以an＋1＋＝4.
因为a1＝3，所以a1＋＝.
故数列是首项为，公比为4的等比数列．
所以an＋＝×4n－1，
故数列{an}的通项公式为an＝×4n－1－.
答案：×4n－1－
4．[取倒数法]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，若bn＋1＝(n－2λ)·(n∈N*)，b1＝－λ，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是__________．
解析：由an＋1＝，得＝1＋，所以＋1＝2，故是首项为＋1＝2，公比为2的等比数列，则＋1＝2n，bn＋1＝(n－2λ)·＝(n－2λ)·2n，又b1＝－λ，且数列{bn}是递增数列，则
解得所以λ＜.
答案：
考点四数列的性质[师生共研过关]
[典例精析]
(1)已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 018＝(　　)
A．－1　　　　　　　　　　 B.
C．1 D．2
(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是________．
(3)若数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大项是第________项．
[解析]　(1)由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，
a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…，
于是可知数列{an}是以3为周期的周期数列，
因此a2 018＝a3×672＋2＝a2＝2.
(2)由an＋1＞an知该数列是一个递增数列，
∵通项公式an＝n2＋kn＋4，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋4＞n2＋kn＋4，
即k＞－1－2n，又n∈N*，∴k＞－3.
(3)令f(x)＝x＋(x＞0)，运用基本不等式得f(x)≥6，当且仅当x＝3时等号成立．
因为an＝，所以≤，由于n∈N*，不难发现当n＝9或n＝10时，an＝最大．
[答案]　(1)D　(2)(－3，＋∞)　(3)9或10
[解题技法]
1．解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
2．判断数列单调性的2种方法
(1)作差比较法：比较an＋1－an与0的大小．
(2)作商比较法：比较与1的大小，注意an的符号．
3．求数列最大项或最小项的方法
(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项；
(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
(3)比较法：
若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0，则an＋1＞an，即数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；
若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0，则an＋1＜an，即数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1＝f(1)．
[过关训练]
1．已知等差数列{an}的公差d＜0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时，项数n的值为(　　)
A．5 B．6
C．5或6 D．6或7
解析：选C　由a＝a，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，
因为d＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，
又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.
因为d＜0，所以{an}是递减数列，
所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，显然前5项和或前6项和最大，故选C.
2．已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝，数列{an}的前n项的和为Sn，则S1 008等于(　　)
A．504 B．294
C．－294 D．－504
解析：选C　∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝，a3＝－，a4＝－3，a5＝2，…，∴数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－，∴S1 008＝S4×252＝252×＝－294.

一、题点全面练
1．已知数列1,2，，，，…，则2在这个数列中的项数是(　　)
A．16　　　　　　　　　 B．24
C．26 D．28
解析：选C　因为a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令an＝＝2＝，解得n＝26.
2．若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an(n＝1，2，…)，则a3等于(　　)
A．5 B．9
C．10 D．15
解析：选D　令n＝1，则3＝2－λ，即λ＝－1，由an＋1＝(2n＋1)an，得a3＝5a2＝5×3＝15.故选D.
3．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则等于(　　)
A. B.
C. D．30
解析：选D　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，所以＝5×6＝30.
4．(2019·西宁模拟)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an＞0)，则an＝(　　)
A．10n－2 B．10n－1
C．102n－4 D．22n－1
解析：选D　因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an＞0)，所以log2an＋1＝2log2an⇒＝2，所以{log2an}是公比为2的等比数列，所以log2an＝log2a1·2n－1⇒an＝22n－1.
5．设数列{an}的通项公式为an＝n2－bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
C．(－∞，3) D.
解析：选C　因为数列{an}是单调递增数列，
所以an＋1－an＝2n＋1－b＞0(n∈N*)，
所以b＜2n＋1(n∈N*)，
所以b＜(2n＋1)min＝3，即b＜3.
6．(2018·佛山模拟)若数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：因为a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋1，所以a1＋a2＋a3＋…＋an＋an＋1＝2(n＋1)＋1，两式相减得an＋1＝2，即an＝2n＋1，n≥2.又a1＝3，所以a1＝6，因此an＝
答案：
7．已知数列{an}满足an≠0,2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，且a1＝，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：∵an≠0,2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，∴两边同除以an·an＋1，得－＝－＋1，整理，得－＝1，即是以3为首项，1为公差的等差数列，∴＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝.
答案：
8．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×2n－1，
∴n≥2时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，
将以上各式累加得an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，
∴an＝3×2n－1－2(n≥2)，
经检验，当n＝1时，an＝1，符合上式．
∴an＝3×2n－1－2.
答案：3×2n－1－2
9．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*，设bn＝Sn－3n.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
解：(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，
即bn＋1＝2bn，又b1＝S1－3＝a－3，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，
当n≥2时，an＋1≥an⇒12n－2＋a－3≥0⇒a≥－9.
又a2＝a1＋3＞a1.
综上，a的取值范围是[－9,3)∪(3，＋∞)．
10．已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{a}的前n项和为Tn，且3Tn＝S＋2Sn，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)由3T1＝S＋2S1，
得3a＝a＋2a1，即a－a1＝0.
因为a1＞0，所以a1＝1.
(2)因为3Tn＝S＋2Sn，①
所以3Tn＋1＝S＋2Sn＋1，②
②－①，得3a＝S－S＋2an＋1.
因为an＋1＞0，所以3an＋1＝Sn＋1＋Sn＋2，③
所以3an＋2＝Sn＋2＋Sn＋1＋2，④
④－③，得3an＋2－3an＋1＝an＋2＋an＋1，
即an＋2＝2an＋1，
所以当n≥2时，＝2.
又由3T2＝S＋2S2，
得3(1＋a)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)，即a－2a2＝0.
因为a2＞0，所以a2＝2，所以＝2，
所以对n∈N*，都有＝2成立，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1(n∈N*)，则an＝________.
解析：当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，
故an＝
答案：
2．若数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)n，则此数列的最大项是第________项．
解析：∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n×，
当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an，
∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项．
答案：9或10
3．若数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列{an}的第2 019项为________．
解析：由已知可得，a2＝2×－1＝，
a3＝2×＝，
a4＝2×＝，
a5＝2×－1＝，
∴{an}为周期数列且T＝4，
∴a2 019＝a504×4＋3＝a3＝.
答案：
4．(2019·湖南永州模拟)已知数列{an}中，a1＝a，a2＝2－a，an＋2－an＝2，若数列{an}单调递增，则实数a的取值范围为________．
解析：由an＋2－an＝2可知数列{an}的奇数项、偶数项分别递增，若数列{an}单调递增，则必有a2－a1＝(2－a)－a＞0且a2－a1＝(2－a)－a＜an＋2－an＝2，可得0＜a＜1，故实数a的取值范围为(0,1)．
答案：(0,1)
(二)交汇专练——融会巧迁移
5．[与函数零点交汇]已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a＞0，x∈R)有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝1－(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．
解：(1)依题意，Δ＝a2－4a＝0，
所以a＝0或a＝4.
又由a＞0得a＝4，
所以f(x)＝x2－4x＋4.
所以Sn＝n2－4n＋4.
当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.
所以an＝
(2)由题意得cn＝
由cn＝1－可知，当n≥5时，恒有cn＞0.
又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，
即c1·c2＜0，c2·c3＜0，c4·c5＜0，
所以数列{cn}的变号数为3.
(三)素养专练——学会更学通
6．[数学建模]定义：在数列{an}中，若满足－＝d(n∈N*，d为常数)，称{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则等于(　　)
A．4×2 0192－1 B．4×2 0182－1
C．4×2 0172－1 D．4×2 0172
解析：选C　由题知是首项为1，公差为2的等差数列，则＝2n－1，
所以＝·＝(2×2 018－1)(2×2 017－1)
＝(2×2 017＋1)(2×2 017－1)＝4×2 0172－1.
7．[逻辑推理]在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，若an＋2＝2an＋1－an＋2，则an＝(　　)
A.n2－n＋ B．n3－5n2＋9n－4
C．n2－2n＋2 D．2n2－5n＋4
解析：选C　由题意得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，
因此数列{an＋1－an}是以1为首项，2为公差的等差数列，an＋1－an＝1＋2(n－1)＝2n－1，
当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋3＋…＋(2n－3)＝1＋＝(n－1)2＋1＝n2－2n＋2，
又a1＝1＝12－2×1＋2，因此an＝n2－2n＋2.
8．[数学运算]设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)令n＝1，T1＝2S1－1，
∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
(2)n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，
则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]
＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1
＝2an－2n＋1.
因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，
所以Sn＝2an－2n＋1(n∈N*)，
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，
两式相减得an＝2an－2an－1－2，
所以an＝2an－1＋2(n≥2)，
所以an＋2＝2(an－1＋2)，
因为a1＋2＝3≠0，
所以数列{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．
所以an＋2＝3×2n－1，
所以an＝3×2n－1－2，
当n＝1时也成立，
所以an＝3×2n－1－2.