2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第七章第三节基本不等式

第三节基本不等式

1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；
(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)；
(5)≤≤≤ (a＞0，b＞0)．
3．算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
注：(1)此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.
(2)连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)当a≥0，b≥0时，≥.(　　)
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)
(3)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　)
(4)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
二、选填题
1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)
A．80　　　　　　　　　 B．77
C．81 D．82
答案：C
2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　)
A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜ D.＜a＜＜b
解析：选B　因为0＜a＜b，所以a－＝(－)＜0，故a＜；b－＝＞0，故b＞；由基本不等式知＞，综上所述，a＜＜＜b，故选B.
3．函数f(x)＝x＋的值域为(　　)
A．[－2,2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．R
解析：选C　当x＞0时，x＋≥2 ＝2.
当x＜0时，－x＞0.
－x＋≥2 ＝2.
所以x＋≤－2.
所以f(x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
4．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
答案：2
5．若x＞1，则x＋的最小值为________．
解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.
当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．
答案：5


(一)　拼凑法——利用基本不等式求最值
[例1]　(1)已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．
(2)已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．
(3)函数y＝(x＞1)的最小值为________．
[解析]　(1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·2＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．故所求x的值为.
(2)因为x＜，所以5－4x＞0，
则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号．
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
(3)y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号．
[答案]　(1)　(2)1　(3)2＋2

通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点
拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．　　
(二)　常数代换法——利用基本不等式求最值
[例2]　已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
[解析]　因为a＋b＝1，
所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2 ＝2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时，取等号．
[答案]　4

1．(变条件)将条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则＋的最小值为________．
解析：因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1.
所以＋＝
＝＋＋＋≥1＋2
＝1＋.当且仅当a＝b时，取等号．
答案：1＋
2．(变设问)保持本例条件不变，则的最小值为________．
解析：＝
＝＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．
答案：9


通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．　　
(三)　消元法——利用基本不等式求最值
[例3]　已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
[解析]　法一(换元消元法)：由已知得x＋3y＝9－xy，
因为x＞0，y＞0，所以x＋3y≥2，
所以3xy≤2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.
令x＋3y＝t，则t＞0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
法二(代入消元法)：由x＋3y＋xy＝9，
得x＝，
所以x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2 －6
＝12－6＝6.即x＋3y的最小值为6.
[答案]　6

通过消元法利用基本不等式求最值的策略
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．　　
(四)　利用两次基本不等式求最值
[例4]　已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值为________．
[解析]　由a＞b＞0，得a－b＞0，
∴b(a－b)≤2＝.
∴a2＋≥a2＋≥2 ＝4，
当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号．
∴a2＋的最小值为4.
[答案]　4

两次利用基本不等式求最值的注意点
当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．　　
[过关训练]
1．(2019·常州调研)若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x＋的最小值为________．
解析：∵x＞－4，∴x＋4＞0，
∴f(x)＝x＋＝x＋4＋－4≥2 －4＝2，
当且仅当x＋4＝，即x＝－1时取等号．
故函数f(x)＝x＋的最小值为2.
答案：2
2．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是________．
解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，
所以y＝.
由即解得0＜x＜1.
所以x＋2y＝x＋＝＋≥2 ＝，
当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．
故x＋2y的最小值为.
答案：

[典例精析]
某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
[解]　(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，
所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－，
每件产品的销售价格为1.5×(元)，
所以2019年的利润y＝1.5x×－8－16x－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
所以y≤－8＋29＝21，
当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，
ymax＝21(万元)．
故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．
[解题技法]
利用基本不等式解决实际问题的3个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
[过关训练]
1．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，
由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2.
答案：25
2．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？
(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
解：(1)当x∈[50,80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，当x＝65时，y有最小值，为×675＝9，当x∈[80,120]时，函数y＝12－单调递减，故当x＝120时，y有最小值，为10，因为9＜10，所以该型号汽车的速度为65 km/h时，每小时耗油量最低．
(2)设总耗油量为l，由题意可知l＝y·，当x∈[50,80)时，l＝y·＝≥＝16，当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16.当x∈[80,120]时，l＝y·＝－2为减函数，故当x＝120时，l取得最小值，最小值为10，因为10＜16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少．

[典例精析]
(1)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b＞0，c＞0)经过圆C：x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(　　)
A．9　　　 B．8　　　 　C．4　　　 　D．2
(2)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
[解析]　(1)把圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程为x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0,1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，
所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.又b＞0，c＞0，
因此＋＝(b＋c)＝＋＋5≥2 ＋5＝9.
当且仅当b＝2c，且b＋c＝1，
即b＝，c＝时，＋取得最小值9.
(2)由题意an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
所以＝
＝≥＝，
当且仅当n＝4时取等号．
所以的最小值是.
[答案]　(1)A　(2)
[解题技法]
利用基本不等式解题的策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
[过关训练]
1．已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C．1 D．2
解析：选C　由题意可得a＞0，
①当x＞0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，
当且仅当x＝时取等号；
②当x＜0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，
当且仅当x＝－时取等号，
所以解得a＝1，故选C.
2．已知向量a＝(m,1)，b＝(4－n,2)，m＞0，n＞0，若a∥b，则＋的最小值为________．
解析：∵a∥b，∴4－n－2m＝0，即2m＋n＝4.∵m＞0，n＞0，∴＋＝(n＋2m)＝×≥×＝，当且仅当4m＝n＝时取等号．∴＋的最小值是.
答案：

一、题点全面练
1．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为(　　)
A.　　　　　　　　　　　B.
C．－1 D．0
解析：选D　f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈，
所以f(x)在上的最小值是0.
2．(2018·哈尔滨二模)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选D　由1＝2x＋2y≥2，变形为2x＋y≤，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号．则x＋y的取值范围是(－∞，－2]．
3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)
A. B．2
C．2 D．4
解析：选C　因为＋＝，所以a＞0，b＞0，
由＝＋≥2 ＝2 ，
所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，
所以ab的最小值为2.
4．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)
A．9 B．12
C．18 D．24
解析：选B　由＋≥，
得m≤(a＋3b)＝＋＋6.
又＋＋6≥2＋6＝12，
，
∴m≤12，∴m的最大值为12.
5．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，6] D．[6，＋∞)
解析：选D　因为a＞0，b＞0，＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝4，b＝12时，等号成立．由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，
令f(x)＝x2－4x－2＝(x－2)2－6，
所以f(x)的最小值为－6，
所以－6≥－m，即m≥6.
6．(2019·青岛模拟)已知x＞0，y＞0，(lg 2)x＋(lg 8)y＝lg 2，则＋的最小值是________．
解析：因为(lg 2)x＋(lg 8)y＝lg 2，所以x＋3y＝1，则＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，故＋的最小值为4.
答案：4
7．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值为________．
解析：30＝4x2＋9y2＋3xy≥2＋3xy，
即30≥15xy，所以xy≤2，
当且仅当4x2＝9y2，即x＝，y＝时等号成立．
故xy的最大值为2.
答案：2
8．规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．
解析：由题意得1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，
解得＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值为1.
又f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
当且仅当＝，即x＝1时取等号，
故函数f(x)的最小值为3.
答案：1　3
9．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1.
又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，
当且仅当＝，即x＝16且y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2 ＝18.
当且仅当＝，即x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
10．(1)当x＜时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设0＜x＜2，求函数y＝的最大值．
解：(1)y＝(2x－3)＋＋
＝－＋.
当x＜时，有3－2x＞0，
∴＋≥2 ＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.
(2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0，
∴y＝＝·≤ ·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．已知a＞b＞1，且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为(　　)
A．3 B.
C．2 D.
解析：选A　令logab＝t，由a＞b＞1得0＜t＜1,2logab＋3logba＝2t＋＝7，得t＝，即logab＝，a＝b2，所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝2时取等号．故a＋的最小值为3.
2．若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为(　　)
A．2 B.
C. D．1＋
解析：选A　由a，b为正数，且＋＝1，得b＝＞0，所以a－1＞0，
所以＋＝＋＝＋
≥2 ＝2，
当且仅当＝和＋＝1同时成立，
即a＝b＝3时等号成立，
所以＋的最小值为2.
3．函数y＝1－2x－(x＜0)的值域为________．
解析：∵x＜0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋≥1＋2 ＝1＋2，当且仅当x＝－时取等号，故函数y＝1－2x－(x＜0)的值域为[1＋2，＋∞)．
答案：[1＋2，＋∞)
(二)交汇专练——融会巧迁移
4．[与函数交汇]已知函数f(x)＝loga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若直线＋＝－2(m＞0，n＞0)也经过点A，则3m＋n的最小值为(　　)
A．16 B．8
C．12 D．14
解析：选B　由题意，函数f(x)＝loga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)，
令x＋4＝1，可得x＝－3，代入可得y＝－1，
∴图象恒过定点A(－3，－1)．
∵直线＋＝－2(m＞0，n＞0)也经过点A，
∴＋＝2，即＋＝1.
∴3m＋n＝(3m＋n)＝＋＋＋≥2 ＋5＝8(当且仅当n＝m＝2时，取等号)
∴3m＋n的最小值为8.
5．[与数列交汇]已知首项与公比相等的等比数列{an}中，若m，n∈N*，满足ama＝a，则＋的最小值为(　　)
A．1 B.
C．2 D.
解析：选A　根据题意，设{an}的公比为q，
则am＝qm，an＝qn，a4＝q4.
由ama＝a得qm＋2n＝q8，
∴m＋2n＝8，∴＝1.
又m，n∈N*，∴＋＝＋＝＋＋＋≥＋2 ＝1，
当且仅当＝，即m＝2n＝4时取“＝”，
∴＋的最小值为1.
6．[与解析几何交汇]若直线mx＋ny＋2＝0(m＞0，n＞0)被圆(x＋3)2＋(y＋1)2＝1所截得的弦长为2，则＋的最小值为(　　)
A．4 B．6
C．12 D．16
解析：选B　圆心坐标为(－3，－1)，半径为1，又直线被圆截得的弦长为2，所以直线过圆心，所以－3m－n＋2＝0，3m＋n＝2，所以＋＝(3m＋n)＝≥＝6，当且仅当＝时取等号，因此＋的最小值为6，故选B.
7．[与线性规划交汇]已知x，y满足z＝2x＋y的最大值为m，若正数a，b满足a＋b＝m，则＋的最小值为__________．
解析：画出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，

z＝2x＋y的几何意义为直线2x＋y－z＝0在y轴上的截距，由图可知，当直线过点M时，直线2x＋y－z＝0在y轴上的截距最大，即目标函数z＝2x＋y取得最大值，由解得M(3,0)，所以z的最大值为2×3＋0＝6，即m＝6，所以a＋b＝6，故＋＝·(a＋b)＝≥＝，当且仅当＝，即b＝4，a＝2时等号成立．
答案：