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2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第十章第二节排列与组合
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第二节排列与组合
1.排列、组合的定义
排列的
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的
定义
合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数
组合数
定
义
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公
式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
C＝
＝
性
质
A＝n！，0！＝1
C＝1，C＝C，C＋C＝C
正确理解组合数的性质
(1)C＝C：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数.
(2)C＋C＝C：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有C种方法；②含特殊元素A有C种方法.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( )
(3)若组合式C＝C，则x＝m成立.( )
(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况.也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
二、选填题
1.从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )
A.6 B.8
C.12 D.16
解析：选C 由于lg a－lg b＝lg ，从3,5,7,11中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有A＝12种，所以得到不同的值有12个.
2.某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A.3种 B.6种
C.9种 D.18种
解析：选C CC＋CC＝2×3＋1×3＝9.
3.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )
A.8 B.24
C.48 D.120
解析：选C 因为末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.
4.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)
解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1 560(条)毕业留言.
答案：1 560
5.已知－＝，则m＝________.
解析：由已知得，m的取值范围为，原等式
可化为－＝，整理可得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2.
答案：2
考点一 排列问题[师生共研过关]
[典例精析]
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻.
[解] (1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有AA＝5 040(种).
(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种).
法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种).
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种).
(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种).
[解题技法]
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题
除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
[过关训练]
1.(2019·太原联考)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )
A.1 800 B.3 600
C.4 320 D.5 040
解析：选B 先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A种，所以共有AA＝3 600(种).
2.(2019·石家庄模拟)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有( )
A.250个 B.249个
C.48个 D.24个
解析：选C ①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A＝24(个).由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.
3.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有( )
A.1 108种 B.1 008种
C.960种 D.504种
解析：选B 将丙、丁两人进行捆绑，看成一人.将6人全排列有AA种排法；将甲排在排头，有AA种排法；乙排在排尾，有AA种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有AA种排法.则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有AA－AA－AA＋AA＝1 008(种).
考点二 组合问题[师生共研过关]
[典例精析]
某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？
[解] (1)从余下的34种商品中，
选取2种有C＝561(种)取法，
所以某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，
有C种或者C－C＝C＝5 984(种)取法.
所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.
(3)从20种真货中选取1种，
从15种假货中选取2种有CC＝2 100(种)取法.
所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，
共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种).
所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
(5)法一：(间接法)
选取3种商品的总数为C，因此共有选取方式
C－C＝6 545－455＝6 090(种).
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
法二：(直接法)
共有选取方式C＋CC＋CC＝6 090(种).
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
[解题技法]
组合问题的2类题型及求解方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
[过关训练]
1.(2018·南宁二中、柳州高中第二次联考)从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是( )
A.72 B.70
C.66 D.64
解析：选D 从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C·C＋C·C＝56种选法，三个数相邻共有C＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法.
2.(2019·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处.那么不同的搜寻方案有( )
A.10种 B.40种
C.70种 D.80种
解析：选B 若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有CC＝30种搜寻方案；若Grace参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C＝10种搜寻方案.综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案.
3.(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)
解析：从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故共有C－C＝20－4＝16(种).
答案：16
考点三 分组、分配问题[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一) 整体均分问题
[例1] 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.
[解析] 先把6个毕业生平均分成3组，有＝15(种)方法.再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90(种)分派方法.
[答案] 90
考法(二) 部分均分问题
[例2] 有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种.
[解析] 先把4名学生分为2,1,1共3组，有＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有A＝6(种)情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案.
[答案] 36
考法(三) 不等分问题
[例3] 若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法.
[解析] 将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；
第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；
第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法.
根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种取法.
再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法，
故共有60×6＝360种不同的分法.
[答案] 360
[规律探求]
看
个
性
考法(一)是整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数.
考法(二)是部分均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数.
考法(三)是不等分问题，解题时需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数
找
共
性
分组与分配问题是排列、组合问题的综合应用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配.
解决分组与分配问题的步骤：
第一，要弄清分配问题与分组问题的不同.把n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，分成k组，称为分组问题；
第二，解决分配问题，应先分组再分配；
第三，弄清分组问题的几种情况及其解决方案
[过关训练]
1.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A.12种 B.18种
C.24种 D.36种
解析：选D 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组，即2,1,1，有＝6种，再分配给3个人，有A＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种).
2.冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有______种.
解析：5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有·A＝150(种).
答案：150
考点四 排列、组合的综合问题[师生共研过关]
[典例精析]
(1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )
A.300 B.216
C.180 D.162
(2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个.(用数字作答)
[解析] (1)分两类：
第一类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C·C·A＝72(个)符合要求的四位数；
第二类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C·C·(A－A)＝108(个)符合要求的四位数.
根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180(个).
(2)当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时，若选出的三个偶数含有0，则千位上把剩余数字中任意一个放上即可，方法数是CAC＝72；若选出的三个偶数不含0，则千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是AC＝18，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋18＝90(个).
当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时，若选出的偶数是0，则再选出两个奇数，千位上只要在剩余数字中选一个放上即可，方法数为CAC＝72；若选出的偶数不是0，则再选出两个奇数后，千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是CCAC＝162，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋162＝234(个).
根据分类加法计数原理，可得符合要求的四位数共有90＋234＝324(个).
[答案] (1)C (2)324
[解题技法]
解决排列、组合综合问题的方法
(1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步.
(2)以元素为主时，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主时，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
(3)对于有附加条件的比较复杂的排列、组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，一般先把复杂问题分解成若干个简单的基本问题，然后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决，一般遵循先选后排的原则.
[过关训练]
1.(2019·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )
A.36种 B.24种
C.22种 D.20种
解析：选B 根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有AA＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有CAA＝12种推荐方法.故共有24种推荐方法.
2.(2019·成都诊断)从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为________.(用数字作答)
解析：根据题意，分2种情况讨论，若甲、乙之中只有一人参加，有C·C·A＝3 600(种)；若甲、乙两人都参加，有C·A·A＝1 440(种).则不同的安排种数为3 600＋1 440＝5 040.
答案：5 040
一、题点全面练
1.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )
A.16 B.18
C.24 D.32
解析：选C 将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A＝6(种)方法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空当中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法.
2.(2019·惠州调研)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )
A.24 B.18
C.16 D.10
解析：选D 分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C·A种可选的路线.所以小李可选的旅游路线数为A＋C·A＝10.
3.(2019·开封模拟)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )
A.6 B.12
C.18 D.19
解析：选D 从六科中选考三科的选法有C种，其中不选物理、政治、历史中任意一科的选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C－1＝19种.
4.(2019·沈阳教学质量监测)若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有( )
A.4种 B.8种
C.12种 D.24种
解析：选B 将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C×2＝8种站法.
5.(2018·甘肃二诊)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )
A.18种 B.24种
C.36种 D.48种
解析：选C 若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12种；若甲、乙抢的是一个8和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AC＝6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A＝6种，根据分类加法计数原理可得，共有12＋12＋6＋6＝36种情况.
6.(2019·南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )
A.120种 B.156种
C.188种 D.240种
解析：选A 记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA＝48种；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36种；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36种.所以编排方案共有48＋36＋36＝120种.
7.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A.48 B.72
C.90 D.96
解析：选D 由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛.
①当甲参加另外3场竞赛时，共有CA＝72种选择方案；
②当甲学生不参加任何竞赛时，共有A＝24种选择方案.
综上所述，所有参赛方案有72＋24＝96(种).
8.某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是( )
A.16 B.24
C.8 D.12
解析：选A 根据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其顺序，有A＝2种情况；②将这个整体与英语全排列，有A＝2种情况，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4种，则不同排课方案的种数是2×2×4＝16.
9.(2019·洛阳第一次统考)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种.(用数字作答)
解析：第一步，选2名同学报名某个社团，有CC＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有CC＝3种报法.由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法.
答案：36
10.(2018·莆田期中)某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法有________种.(用数字作答)
解析：由题设可分两类：一是甲地只选派1名女生，先考虑甲地有CC种情形，后考虑乙、丙两地，有A种情形，共有CCA＝36种情形；二是甲地选派2名女生，则甲地有C种情形，乙、丙两地有A种情形，共有CA＝6种情形.由分类加法计数原理可知共有36＋6＝42种情形.
答案：42
A
B
C
D
11.(2018·南阳二模)如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复.若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有______种.(用数字作答)
解析：根据题意，对于A，B两个方格，可在1,2,3,4中任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C＝6种情况，对于C，D两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4＝16种情况，则不同的填法共有16×6＝96种.
答案：96
二、专项培优练
易错专练——不丢怨枉分
1.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A.12种 B.10种
C.9种 D.8种
解析：选A 将4名学生均分为2个小组共有＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A＝2(种)分法；最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2(种)分法.
故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种).
2.(2019·马鞍山模拟)某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为( )
A.5 400 B.3 000
C.150 D.1 500
解析：选D 分两步：
第一步：从5个培训项目中选取3个，共C种情况；
第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共种情况.故选择情况数为CA＝1 500(种).
3.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是( )
A.40 B.60
C.80 D.100
解析：选A 根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有C＝20种选法，剩下的三个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这三个盒子的编号为4,5,6，则4号小球可以放入5,6号盒子，有2种选法，剩下的2个小球放入剩下的两个盒子，有1种情况，则不同的放法总数是20×2×1＝40.
4.(2019·赣州联考)将标号分别为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中.若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一盒子中，则不同的放法共有( )
A.12种 B.16种
C.18种 D.36种
解析：选C 先将标号为1,2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下的2个盒子中，共有·A＝6(种)情况，所以不同的放法共有3×6＝18(种).
5.将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有__________种.
解析：五个元素没有限制全排列数为A，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列A，可得这样的排列数有×2＝40(种).
答案：40
6.如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为________.
解析：用间接法.先从这8个点中任取3个点，最多构成三角形C个，再减去三点共线的情形即可.共有C－C－C＝42(个).
答案：42
7.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中.
(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？
(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？
解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C＝20种不同的放入方式.
(2)每种放入方式相当于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C＝120种不同的放入方式.
1.排列、组合的定义
排列的
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的
定义
合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数
组合数
定
义
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公
式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
C＝
＝
性
质
A＝n！，0！＝1
C＝1，C＝C，C＋C＝C
正确理解组合数的性质
(1)C＝C：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数.
(2)C＋C＝C：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有C种方法；②含特殊元素A有C种方法.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( )
(3)若组合式C＝C，则x＝m成立.( )
(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况.也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
二、选填题
1.从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )
A.6 B.8
C.12 D.16
解析：选C 由于lg a－lg b＝lg ，从3,5,7,11中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有A＝12种，所以得到不同的值有12个.
2.某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A.3种 B.6种
C.9种 D.18种
解析：选C CC＋CC＝2×3＋1×3＝9.
3.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )
A.8 B.24
C.48 D.120
解析：选C 因为末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.
4.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)
解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1 560(条)毕业留言.
答案：1 560
5.已知－＝，则m＝________.
解析：由已知得，m的取值范围为，原等式
可化为－＝，整理可得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2.
答案：2
考点一 排列问题[师生共研过关]
[典例精析]
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻.
[解] (1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有AA＝5 040(种).
(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种).
法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种).
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种).
(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种).
[解题技法]
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题
除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
[过关训练]
1.(2019·太原联考)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )
A.1 800 B.3 600
C.4 320 D.5 040
解析：选B 先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A种，所以共有AA＝3 600(种).
2.(2019·石家庄模拟)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有( )
A.250个 B.249个
C.48个 D.24个
解析：选C ①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A＝24(个).由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.
3.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有( )
A.1 108种 B.1 008种
C.960种 D.504种
解析：选B 将丙、丁两人进行捆绑，看成一人.将6人全排列有AA种排法；将甲排在排头，有AA种排法；乙排在排尾，有AA种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有AA种排法.则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有AA－AA－AA＋AA＝1 008(种).
考点二 组合问题[师生共研过关]
[典例精析]
某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？
[解] (1)从余下的34种商品中，
选取2种有C＝561(种)取法，
所以某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，
有C种或者C－C＝C＝5 984(种)取法.
所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.
(3)从20种真货中选取1种，
从15种假货中选取2种有CC＝2 100(种)取法.
所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，
共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种).
所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
(5)法一：(间接法)
选取3种商品的总数为C，因此共有选取方式
C－C＝6 545－455＝6 090(种).
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
法二：(直接法)
共有选取方式C＋CC＋CC＝6 090(种).
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
[解题技法]
组合问题的2类题型及求解方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
[过关训练]
1.(2018·南宁二中、柳州高中第二次联考)从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是( )
A.72 B.70
C.66 D.64
解析：选D 从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C·C＋C·C＝56种选法，三个数相邻共有C＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法.
2.(2019·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处.那么不同的搜寻方案有( )
A.10种 B.40种
C.70种 D.80种
解析：选B 若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有CC＝30种搜寻方案；若Grace参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C＝10种搜寻方案.综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案.
3.(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)
解析：从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故共有C－C＝20－4＝16(种).
答案：16
考点三 分组、分配问题[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一) 整体均分问题
[例1] 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.
[解析] 先把6个毕业生平均分成3组，有＝15(种)方法.再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90(种)分派方法.
[答案] 90
考法(二) 部分均分问题
[例2] 有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种.
[解析] 先把4名学生分为2,1,1共3组，有＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有A＝6(种)情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案.
[答案] 36
考法(三) 不等分问题
[例3] 若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法.
[解析] 将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；
第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；
第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法.
根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种取法.
再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法，
故共有60×6＝360种不同的分法.
[答案] 360
[规律探求]
看
个
性
考法(一)是整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数.
考法(二)是部分均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数.
考法(三)是不等分问题，解题时需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数
找
共
性
分组与分配问题是排列、组合问题的综合应用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配.
解决分组与分配问题的步骤：
第一，要弄清分配问题与分组问题的不同.把n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，分成k组，称为分组问题；
第二，解决分配问题，应先分组再分配；
第三，弄清分组问题的几种情况及其解决方案
[过关训练]
1.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A.12种 B.18种
C.24种 D.36种
解析：选D 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组，即2,1,1，有＝6种，再分配给3个人，有A＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种).
2.冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有______种.
解析：5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有·A＝150(种).
答案：150
考点四 排列、组合的综合问题[师生共研过关]
[典例精析]
(1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )
A.300 B.216
C.180 D.162
(2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个.(用数字作答)
[解析] (1)分两类：
第一类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C·C·A＝72(个)符合要求的四位数；
第二类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C·C·(A－A)＝108(个)符合要求的四位数.
根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180(个).
(2)当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时，若选出的三个偶数含有0，则千位上把剩余数字中任意一个放上即可，方法数是CAC＝72；若选出的三个偶数不含0，则千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是AC＝18，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋18＝90(个).
当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时，若选出的偶数是0，则再选出两个奇数，千位上只要在剩余数字中选一个放上即可，方法数为CAC＝72；若选出的偶数不是0，则再选出两个奇数后，千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是CCAC＝162，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋162＝234(个).
根据分类加法计数原理，可得符合要求的四位数共有90＋234＝324(个).
[答案] (1)C (2)324
[解题技法]
解决排列、组合综合问题的方法
(1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步.
(2)以元素为主时，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主时，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
(3)对于有附加条件的比较复杂的排列、组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，一般先把复杂问题分解成若干个简单的基本问题，然后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决，一般遵循先选后排的原则.
[过关训练]
1.(2019·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )
A.36种 B.24种
C.22种 D.20种
解析：选B 根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有AA＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有CAA＝12种推荐方法.故共有24种推荐方法.
2.(2019·成都诊断)从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为________.(用数字作答)
解析：根据题意，分2种情况讨论，若甲、乙之中只有一人参加，有C·C·A＝3 600(种)；若甲、乙两人都参加，有C·A·A＝1 440(种).则不同的安排种数为3 600＋1 440＝5 040.
答案：5 040
一、题点全面练
1.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )
A.16 B.18
C.24 D.32
解析：选C 将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A＝6(种)方法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空当中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法.
2.(2019·惠州调研)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )
A.24 B.18
C.16 D.10
解析：选D 分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C·A种可选的路线.所以小李可选的旅游路线数为A＋C·A＝10.
3.(2019·开封模拟)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )
A.6 B.12
C.18 D.19
解析：选D 从六科中选考三科的选法有C种，其中不选物理、政治、历史中任意一科的选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C－1＝19种.
4.(2019·沈阳教学质量监测)若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有( )
A.4种 B.8种
C.12种 D.24种
解析：选B 将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C×2＝8种站法.
5.(2018·甘肃二诊)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )
A.18种 B.24种
C.36种 D.48种
解析：选C 若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12种；若甲、乙抢的是一个8和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AC＝6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A＝6种，根据分类加法计数原理可得，共有12＋12＋6＋6＝36种情况.
6.(2019·南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )
A.120种 B.156种
C.188种 D.240种
解析：选A 记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA＝48种；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36种；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36种.所以编排方案共有48＋36＋36＝120种.
7.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A.48 B.72
C.90 D.96
解析：选D 由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛.
①当甲参加另外3场竞赛时，共有CA＝72种选择方案；
②当甲学生不参加任何竞赛时，共有A＝24种选择方案.
综上所述，所有参赛方案有72＋24＝96(种).
8.某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是( )
A.16 B.24
C.8 D.12
解析：选A 根据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其顺序，有A＝2种情况；②将这个整体与英语全排列，有A＝2种情况，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4种，则不同排课方案的种数是2×2×4＝16.
9.(2019·洛阳第一次统考)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种.(用数字作答)
解析：第一步，选2名同学报名某个社团，有CC＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有CC＝3种报法.由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法.
答案：36
10.(2018·莆田期中)某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法有________种.(用数字作答)
解析：由题设可分两类：一是甲地只选派1名女生，先考虑甲地有CC种情形，后考虑乙、丙两地，有A种情形，共有CCA＝36种情形；二是甲地选派2名女生，则甲地有C种情形，乙、丙两地有A种情形，共有CA＝6种情形.由分类加法计数原理可知共有36＋6＝42种情形.
答案：42
A
B
C
D
11.(2018·南阳二模)如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复.若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有______种.(用数字作答)
解析：根据题意，对于A，B两个方格，可在1,2,3,4中任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C＝6种情况，对于C，D两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4＝16种情况，则不同的填法共有16×6＝96种.
答案：96
二、专项培优练
易错专练——不丢怨枉分
1.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A.12种 B.10种
C.9种 D.8种
解析：选A 将4名学生均分为2个小组共有＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A＝2(种)分法；最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2(种)分法.
故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种).
2.(2019·马鞍山模拟)某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为( )
A.5 400 B.3 000
C.150 D.1 500
解析：选D 分两步：
第一步：从5个培训项目中选取3个，共C种情况；
第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共种情况.故选择情况数为CA＝1 500(种).
3.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是( )
A.40 B.60
C.80 D.100
解析：选A 根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有C＝20种选法，剩下的三个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这三个盒子的编号为4,5,6，则4号小球可以放入5,6号盒子，有2种选法，剩下的2个小球放入剩下的两个盒子，有1种情况，则不同的放法总数是20×2×1＝40.
4.(2019·赣州联考)将标号分别为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中.若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一盒子中，则不同的放法共有( )
A.12种 B.16种
C.18种 D.36种
解析：选C 先将标号为1,2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下的2个盒子中，共有·A＝6(种)情况，所以不同的放法共有3×6＝18(种).
5.将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有__________种.
解析：五个元素没有限制全排列数为A，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列A，可得这样的排列数有×2＝40(种).
答案：40
6.如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为________.
解析：用间接法.先从这8个点中任取3个点，最多构成三角形C个，再减去三点共线的情形即可.共有C－C－C＝42(个).
答案：42
7.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中.
(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？
(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？
解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C＝20种不同的放入方式.
(2)每种放入方式相当于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C＝120种不同的放入方式.
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