2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第十一章第二节复数

第二节复__数

1.复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部.
(2)复数的分类：z＝a＋bi
有关复数的3点注意
(1)若一个复数是实数，仅注重虚部为0是不够的，还要考虑它的实部是否有意义.
(2)一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.
(3)两个不全为实数的复数不能比较大小.
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)复数的模：
向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0).
(2)复数加法的运算定律
设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
[熟记常用结论]
1.(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)，
i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*).
3.z· ＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.
4.复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量， 不共线，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.
5.复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解.(　　)
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　　)
(4)原点是实轴与虚轴的交点.(　　)
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
二、选填题
1.设x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则复数z＝x＋yi在复平面上对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　　　　　　 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：选D　由题意得所以x＝4，y＝－2，
所以复数z＝4－2i位于复平面的第四象限，故选D.
2.若复数z＝，其中i为虚数单位，则＝(　　)
A.1＋i B.1－i
C.－1＋i D.－1－i
解析：选B　∵z＝＝＝1＋i，∴＝1－i，故选B.
3.化简：＝________.
解析：＝＝＝1－i.
答案：1－i
4.已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则|z|＝________.
解析：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i＋2i2＝－1＋3i，
∴|z|＝＝.
答案：

考点一 复数的有关概念[基础自学过关]
[题组练透]
1.(2019·湘东五校联考)若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A.－1　　　　　　　　　 B.0
C.1 D.2
解析：选C　由纯虚数的概念得解得m＝1.
2.(2019·黄冈模拟)已知复数z＝＋的实部与虚部的和为2，则实数a的值为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：选D　易知z＝＋＝＋＝＋，由题意得＋＝2，解得a＝3.故选D.
3.(2018·唐山五校联考)已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　)
A.－3－i B.－3＋i
C.3＋i D.3－i
解析：选C　由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以＝3＋i，故选C.
4.(2019·重庆调研)已知i为虚数单位，复数z＝，则|z|＝________.
解析：|z|＝＝＝＝.
答案：
[名师微点]
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数.复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
考点二 复数的运算[基础自学过关]
[题组练透]
1.(2018·全国卷Ⅱ)＝(　　)
A.－－i　　　　　　 B.－＋i
C.－－i D.－＋i
解析：选D　＝＝＝－＋i.
2.(2019·合肥质检)已知i为虚数单位，则＝(　　)
A.5 B.5i
C.－－i D.－＋i
解析：选A　＝＝5，故选A.
3.(2019·贵阳模拟)设i为虚数单位，复数z满足i(z＋1)＝1，则复数z＝(　　)
A.1＋i B.1－i
C.－1－i D.－1＋i
解析：选C　由题意，得z＝－1＝－1－i，故选C.
4.(2018·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝(　　)
A.i B.－1＋i
C.－1－i D.－i
解析：选C　由已知可得＝＝＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C.
5.(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)
A.0　　　 　 　 　　　　 B.
C.1 D.
解析：选C　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C.
[名师微点]
复数代数形式运算问题的解题策略
复数的
加减法
在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的
乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的
除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式
考点三 复数的几何意义[基础自学过关]
[题组练透]
1.(2018·武汉调研)设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　　　　 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：选D　∵x，y是实数，∴(1－i)x＝x－xi＝1＋yi，∴解得
∴x＋yi在复平面内所对应的点为(1，－1)，位于第四象限.故选D.
2.(2019·沈阳质量监测)已知i为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　　　　 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：选B　＝＝－－i，其共轭复数为－＋i，在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.
3.若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，1) B.(－∞，－1)
C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)
解析：选B　因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，
又此点在第二象限，所以解得a＜－1.
4.设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　)
A.1＋i B.＋i
C.1＋i D.1＋i
解析：选B　因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i，故选B.
5.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________.
解析：由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，
根据＝λ＋μ，得
(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
∴解得
∴λ＋μ＝1.
答案：1
[名师微点]
1.准确理解复数的几何意义
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
2.与复数的几何意义相关问题的一般步骤
(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应.

一、题点全面练
1.(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝(　　)
A.－3－i　　　　　　　　 B.－3＋i
C.3－i D.3＋i
解析：选D　(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.
2.(2019·南昌模拟)已知复数z满足(1＋i)z＝2，则复数z的虚部为(　　)
A.1 B.－1
C.i D.－i
解析：选B　∵(1＋i)z＝2，∴z＝＝＝1－i，则复数z的虚部为－1.故选B.
3.(2018·福州模拟)若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
解析：选A　因为复数z＝＋1＝＋1＝＋1－i为纯虚数，所以＋1＝0，且－≠0，解得a＝－2.故选A.
4.(2019·石家庄质检)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则共轭复数＝(　　)
A.1＋i B.1－i
C.－1－i D.－1＋i
解析：选B　由题意，得z＝i(1－i)＝1＋i，所以＝1－i.
5.(2019·重庆六校联考)若z＝4＋3i，则＝(　　)
A.1 B.－1
C.＋i D.－i
解析：选D　因为z＝4＋3i，所以＝4－3i，|z|＝5，故＝－i.
6.若复数z＝(a＋i)2(a∈R)在复平面内对应的点在y轴上，则|z|＝(　　)
A.1 B.3
C.2 D.4
解析：选C　由z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai在复平面内对应的点在y轴上，知a2－1＝0，即a＝±1，所以z＝±2i，故|z|＝2.
7.(2018·南宁模拟)已知(1＋i)·z＝i(i是虚数单位)，那么复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：选A　因为z＝＝＋i，所以复数z在复平面内对应的点为，在第一象限，故选A.
8.已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________.
解析：因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，
所以解得所以＝2.
答案：2
9.复数|1＋i|＋2＝________.
解析：原式＝＋＝＋＝＋i－＝i.
答案：i
10.设z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________.
解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，
所以1＝a－bi，z2＝z1－i1＝a＋bi－i(a－bi)＝a＋bi－ai－b＝a－b＋(b－a)i，因为z2的实部是－1，
所以a－b＝－1，所以z2的虚部为b－a＝1.
答案：1
11.已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位.
(1)求复数z；
(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围.
解：(1)因为z＝bi(b∈R)，
所以＝＝＝＋i.
又因为是实数，所以＝0，
所以b＝－2，即z＝－2i.
(2)因为z＝－2i，m∈R，
所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2
＝(m2－4)－4mi，
又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，
所以解得m＜－2，
即实数m的取值范围为(－∞，－2).
12.若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋是实数；
②z＋3的实部与虚部互为相反数.
这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由.
解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.
理由如下：
设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝＋i.
∵z＋是实数，
∴b－＝0.
又∵b≠0，∴a2＋b2＝5.①
又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，
∴a＋3＋b＝0.②
联立①②得
解得或
故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1.△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的(　　)
A.内心 B.垂心
C.重心 D.外心
解析：选D　由几何意义知，复数z对应的点到△ABC的三个顶点距离相等，z对应的点是△ABC的外心.
2.设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.(－1,1)
C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)
解析：选B　∵|z1|＝，|z2|＝，
∴＜，即a2＋4＜5，
∴a2＜1，即－1＜a＜1.
3.若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝________，c＝________.
解析：∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.
由根与系数的关系知
∴b＝－2，c＝3.
答案：－2　3
(二)交汇专练——融会巧迁移
4.[与集合交汇]已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m的值为________.
解析：∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1∉M，
∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，
∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，
解得m＝6或m＝3，经检验符合题意.
答案：3或6
5.[与新定义交汇]定义运算＝ad－bc.若复数x＝，y＝，则y＝________.
解析：因为x＝＝＝－i，
所以y＝＝＝－2.
答案：－2
6.[与集合交汇]设f(n)＝n＋n(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为________.
解析：f(n)＝n＋n＝in＋(－i)n，
f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…，
∴集合{f(n)}中共有3个元素.
答案：3
7.[与圆交汇]已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为________.
解析：∵|z－2|＝＝，
∴(x－2)2＋y2＝3.
由图可知max＝＝.
答案：