2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第四章　三角函数、解三角形4.3

§4.3　三角函数的图象与性质
最新考纲
考情考向分析
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在内的单调性.
以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.



1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间

[2kπ－π，2kπ]

递减区间

[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)


对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无

概念方法微思考
1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？
提示　正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．
2．思考函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？
提示　(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．(　×　)
(2)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　×　)
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　×　)
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　×　)
(5)y＝sin|x|是偶函数．(　√　)
题组二　教材改编
2．函数f(x)＝cos的最小正周期是________．
答案　π
3．y＝3sin在区间上的值域是________．
答案　
解析　当x∈时，2x－∈，
sin∈，
故3sin∈，
即y＝3sin的值域为.
4．函数y＝－tan的单调递减区间为________________．
答案　(k∈Z)
解析　由－＋kπcos 97°.

题型一　三角函数的定义域
1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋(k∈Z)，故选D.
2．函数y＝的定义域为________．
答案　(k∈Z)
解析　方法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．

在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
方法二　利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．

所以定义域为.

3．函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________．
答案　
解析　要使函数有意义，则
即
解得
所以2kπ