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2020版高考数学(理)新增分大一轮人教通用版讲义:第四章 三角函数、解三角形4.4
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§4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
最新考纲
考情考向分析
1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出y=Asin(ωx+φ)的图象.
2.了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.
3.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
以考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主,常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查,加强数形结合思想的应用意识.题型为选择题和填空题,中档难度.
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈R
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T=
f==
ωx+φ
φ
2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个特征点
如下表所示:
x
ωx+φ
0
π
2π
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径
概念方法微思考
1.怎样从y=sin ωx的图象变换得到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象?
提示 向左平移个单位长度.
2.函数y=sin(ωx+φ)图象的对称轴是什么?
提示 x=+-(k∈Z).
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y=sin的图象是由y=sin的图象向右平移个单位长度得到的.( √ )
(2)将函数y=sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数y=sin(ωx-φ)的图象.( × )
(3)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( √ )
(4)函数y=sin x的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,所得图象对应的函数解析式为y=sin x.( × )
题组二 教材改编
2.为了得到函数y=2sin的图象,可以将函数y=2sin 2x的图象向________平移________个单位长度.
答案 右
3.y=2sin的振幅、频率和初相分别为__________________.
答案 2,,-
4.如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b,则这段曲线的函数解析式为__________________________.
答案 y=10sin+20,x∈[6,14]
解析 从题图中可以看出,从6~14时的是函数
y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期,
所以A=×(30-10)=10,
b=×(30+10)=20,
又×=14-6,
所以ω=.
又×10+φ=2π+2kπ,k∈Z,取φ=,
所以y=10sin+20,x∈[6,14].
题组三 易错自纠
5.要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin 4x的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案 A
解析 ∵y=sin=sin,
∴要得到y=sin的图象,只需将函数y=sin 4x的图象向左平移个单位长度.
6.将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为_____________.
答案 y=2sin
解析 函数y=2sin的周期为π,将函数y=2sin的图象向右平移个周期,即个单位长度,所得函数为y=2sin=2sin.
7.(2018·乌海模拟)y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.
答案
解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2,横坐标之差恰为半个周期π,故它们之间的距离为.
8.(2018·沈阳质检)若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0
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