2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第四章　三角函数、解三角形4.6

§4.6　正弦定理和余弦定理
最新考纲
考情考向分析
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度.



1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)＝＝＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A

(7)cos A＝；
cos B＝；
cos C＝

2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin A∠B是否可推出sin A>sin B?
提示　在△ABC中，由∠A>∠B可推出sin A>sin B.

2．如图，在△ABC中，有如下结论：bcos C＋ccos B＝a.试类比写出另外两个式子．
提示　acos B＋bcos A＝c；
acos C＋ccos A＝b.

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　×　)
(2)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　×　)
(3)在△ABC中，＝.(　√　)
(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　√　)
题组二　教材改编
2．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为 ．
答案　等腰三角形或直角三角形
解析　由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．
3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为 ．
答案　2
解析　∵＝，∴sin B＝1，∴B＝90°，
∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.
题组三　易错自纠
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c