2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第七章　不等式、推理与证明7.6

§7.6　直接证明与间接证明
最新考纲
考情考向分析
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.
2.了解反证法的思考过程和特点.
常以立体几何中的证明及相关选修内容中平面几何，不等式的证明为载体加以考查，注意提高分析问题、解决问题的能力；在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中档.



1.直接证明
内容
综合法
分析法
定义
从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法
从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法
特点
从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件
从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件
步骤的
符号
表示
P0(已知)⇒P1⇒P2⇒P3⇒P4(结论)
B(结论)⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A(已知)

2.间接证明
(1)反证法的定义：
一般地，由证明p⇒q转向证明
綈q⇒r⇒…⇒t
t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.
(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤：
①分清命题的条件和结论；
②做出与命题结论相矛盾的假定；
③由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；
④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真.
概念方法微思考
1.直接证明中的综合法是演绎推理吗？
提示　是.用综合法证明时常省略大前提.
2.综合法与分析法的推理过程有何区别？
提示　综合法是执因索果，分析法是执果索因，推理方式是互逆的.
3.反证法是“要证原命题成立，只需证其逆否命题成立”的推理方法吗？
提示　不是.反证法是命题中“p与綈p”关系的应用.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.(　×　)
(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.(　×　)
(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a0，Q>0，∴P>Q.
3.设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，则＋等于(　　)
A.1 B.2 C.4 D.6
答案　B
解析　由题意，得x＝，y＝，b2＝ac，
∴xy＝，
＋＝＝
＝＝
＝＝
＝＝2.
题组三　易错自纠
4.若a，b，c为实数，且a
答案　B
解析　a2－ab＝a(a－b)，
∵a0，
∴ab>b2，②
由①②得a2>ab>b2.
5.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是(　　)
A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
答案　A
解析　方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.
6.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________.
答案　等边三角形
解析　由题意得2B＝A＋C，
∵A＋B＋C＝π，
∴B＝，又b2＝ac，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，
∴a2＋c2－2ac＝0，
即(a－c)2＝0，∴a＝c，
∴A＝C，
∴A＝B＝C＝，
∴△ABC为等边三角形.

题型一　综合法的应用
例1　已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：
(1)＋＋≤；
(2)＋＋≥.
证明　(1)∵(＋＋)2＝(a＋b＋c)＋2＋2＋2≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，
∴＋＋≤(当且仅当a＝b＝c时取等号).
(2)∵a>0，∴3a＋1>1，
∴＋(3a＋1)≥2＝4，
∴≥3－3a，
同理得≥3－3b，≥3－3c，
以上三式相加得
4≥9－3(a＋b＋c)＝6，
∴＋＋≥(当且仅当a＝b＝c＝时取等号).
思维升华　(1)从已知出发，逐步推理直到得出所证结论的方法为综合法；(2)计算题的计算过程也是根据已知的式子进行逐步推导的过程，也是使用的综合法.
跟踪训练1　设Tn是数列{an}的前n项之积，并满足：Tn＝1－an.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)令bn＝，证明：{bn}的前n项和Sn0，a＋≥2显然成立
，
所以要证的不等式成立.
题型三　反证法的应用
例3　设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a0，得ab＝1.
(1)由均值不等式及ab＝1，
有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立.
(2)假设a2＋a－x2，f(x1)1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是(　　)
A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤
答案　C
解析　若a＝，b＝，则a＋b>1，
但a1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
下面用反证法证明：
假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，
因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.
6.用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设________.
答案　x≠－1且x≠1
解析　“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”.
7.如果a＋b>a＋b成立，则a，b应满足的条件是__________________________.
答案　a≥0，b≥0且a≠b
解析　∵a＋b－(a＋b)
＝(a－b)＋(b－a)
＝(－)(a－b)
＝(－)2(＋).
∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(－)2(＋)>0.
∴a＋b>a＋b成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.
8.已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N＋，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为____________.
答案　cn＋10，如果不等式＋≥恒成立，则m的最大值为________.
答案　9
解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0.
所以不等式可化为m≤(2a＋b)
＝5＋2.
因为5＋2≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，
即其最小值为9，所以m≤9，即m的最大值等于9.
10.在不等边三角形ABC中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足________.
答案　a2>b2＋c2
解析　由余弦定理cos A＝lg a＋lg b＋lg c.
证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴≥ >0，≥ >0，≥ >0.
由于a，b，c是不全相等的正数，
∴上述三个不等式中等号不能同时成立，
∴··>abc>0成立.
上式两边同时取常用对数，得
lg>lg abc，
∴lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c.
12.若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
解　(1)由题设得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知，
g(1)＝1，g(b)＝b，
即b2－b＋＝b，
解得b＝1或b＝3.
因为b>1，所以b＝3.
(2)假设存在常数a，b (a>－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数，
因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，
所以有即
解得a＝b，这与已知矛盾.故不存在.

13.已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f ，B＝f()，C＝f ，则A，B，C的大小关系为(　　)
A.A≤B≤C B.A≤C≤B
C.B≤C≤A D.C≤B≤A
答案　A
解析　∵≥≥，
又f(x)＝x在R上是减函数.
∴f ≤f()≤f ，即A≤B≤C.
14.有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.
答案　1和3
解析　由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.

15.已知函数f(x)＝2e2x－2ax＋a－2e－1，其中a∈R，e为自然对数的底数.若函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点，则a的取值范围是(　　)
A.(2e－1,2e2－2e－1) B.(2,2e－1)
C.(2e2－2e－1,2e2) D.(2,2e2)
答案　A
解析　f(x)＝2e2x－2ax＋a－2e－1，
则f′(x)＝4e2x－2a，x∈(0,1)，
∵4