2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第八章　立体几何与空间向量8.6

§8.6　空间向量及其运算
最新考纲
考情考向分析
1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容.一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.



1.空间向量的有关概念及定理

语言描述
共线向量
(平行向量)
如果空间一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量
共线向
量定理
两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb
共面向
量定理
如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb
空间向量
分解定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc

2.两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，通常规定0≤〈a，b〉≤π.
3.两条异面直线所成的角
把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角.
4.数量积及坐标运算
(1)两个向量的数量积：
①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；
②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；
③|a|2＝a·a，|a|＝.
(2)向量的坐标运算：

a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
数乘向量
λa＝(λa1，λa2，λa3)
共线
a∥b(b≠0)⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a∥b⇔＝＝(b与三个坐标平面都不平行)
垂直
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夹角公式
cos〈a，b〉＝

概念方法微思考
1.共线向量与共面向量相同吗？
提示　不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.
2.零向量能作为基向量吗？
提示　不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.
3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？
提示　无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.(　√　)
(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c).(　×　)
(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　×　)
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.(　×　)
(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　√　)
(6)若a·b