2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第九章　平面解析几何9.2

§9.2　两条直线的位置关系
最新考纲
考情考向分析
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点.



1.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，
则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
2.几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.
概念方法微思考
1.若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？
提示　当两条直线l1与l2的斜率都存在时，·＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l2也垂直.
2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？
提示　(1)将方程化为最简的一般形式.
(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　×　)
(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　√　)
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　×　)
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　√　)
(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上.(　√　)
题组二　教材改编
2.已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)
A. B.2－ C.－1 D.＋1
答案　C
解析　由题意得＝1.
解得a＝－1＋或a＝－1－.∵a>0，∴a＝－1＋.
3.已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
答案　1
解析　由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，
所以m＝1.
4.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________.
答案　－9
解析　由得
所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.
题组三　易错自纠
5.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于(　　)
A.2 B.－3
C.2或－3 D.－2或－3
答案　C
解析　直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.故选C.
6.直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是______.
答案　
解析　先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，
则两平行线间的距离为d＝＝.
7.若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.
答案　0或1
解析　由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.

题型一　两条直线的平行与垂直
例1　(2018·满洲里调研)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值.
解　(1)方法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，
l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2⇔解得a＝－1，
综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行.
方法二　由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，
得a(a2－1)－1×6≠0，
∴l1∥l2⇔
⇔可得a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2.当a≠－1时，l1与l2不平行.
(2)方法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，
故a＝0不成立；
当a≠1且a≠0时，
l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由·＝－1，得a＝.
方法二　由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，
可得a＝.
思维升华　(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
跟踪训练1　(1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为(　　)
A.－ B.0
C.－或0 D.2
答案　C
解析　若a≠0，则由l1∥l2⇒＝，故2a＋2＝－1，即a＝－；若a＝0，l1∥l2，故选C.
(2)(2018·营口模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值.
①l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
②l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.
解　①∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，
又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
②∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在.
∴k1＝k2，即＝1－a.
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，
即＝b.
故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
题型二　两直线的交点与距离问题
1.(2018·葫芦岛调研)若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是(　　)
A.－ B. C.－ D.
答案　A
解析　由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立解得M，N.又因为MN的中点是P(1，－1)，所以由中点坐标公式得k＝－.
2.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.
3.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.
答案　
解析　方法一　由方程组
解得
(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)
∴交点坐标为.
又∵交点位于第一象限，∴
解得－