2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第十一章　算法、统计与统计案例11.4

§11.4　变量的相关性
最新考纲
考情考向分析
1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．
2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用．
4.了解回归分析的基本思想、方法及简单应用.
回归分析，独立性检验是全国卷高考重点考查的内容，必考一个解答题，选择、填空题中也会出现．主要考查回归方程，相关系数，利用回归方程进行预测，独立性检验的应用等.



1．变量间的相关关系

2．散点图
以一个变量的取值为横坐标，另一个变量的相应取值为纵坐标，在直角坐标系中描点，这样的图形叫做散点图．
3．回归直线方程与回归分析
(1)直线方程 ＝a＋bx，叫做Y对x的回归直线方程，b叫做回归系数．要确定回归直线方程，只要确定a与回归系数b.
(2)用最小二乘法求回归直线方程中的a，b有下列公式
＝， ＝－ ，其中的 ， 表示是由观察值按最小二乘法求得的a，b的估计值．
(3)相关性检验
①计算相关系数r，r具有以下性质：|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱；
②|r|>r0.05，表明有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系，回归直线方程有意义；否则寻找回归直线方程毫无意义．
4．独立性检验
(1)2×2列联表：

B

合计
A
n11
n12
n1＋

n21
n22
n2＋
合计
n＋1
n＋2
n

其中n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n＝n11＋n12＋n21＋n22.
(2)χ2统计量：
χ2＝.
(3)两个临界值：3.841与6.635
当χ2>3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；
当χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；
当χ2≤3.841时，认为事件A与B是无关的．
概念方法微思考
1．变量的相关关系与变量的函数关系有什么区别？
提示　相同点：两者均是指两个变量的关系．
不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．
②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．如何判断两个变量间的线性相关关系？
提示　散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，或者通过计算相关系数作出判断．
3．独立性检验的基本步骤是什么？
提示　列出2×2列联表，计算χ2值，根据临界值表得出结论．
4．回归直线方程是否都有实际意义？根据回归直线方程进行预报是否一定准确？
提示　(1)不一定都有实际意义．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．
(2)根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．(　×　)
(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．(　√　)
(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．(　√　)
(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得回归直线方程＝－2.352x＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮．(　×　)
(5)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的值越大．(　√　)
题组二　教材改编
2．为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力(　　)
A．回归分析 B．期望与方差
C．独立性检验 D．概率
答案　C
解析　“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断．
3．下面是2×2列联表：

y1
y2
合计
x1
a
21
73
x2
22
25
47
合计
b
46
120

则表中a，b的值分别为(　　)
A．94,72 B．52,50
C．52,74 D．74,52
答案　C
解析　∵a＋21＝73，∴a＝52.
又a＋22＝b，∴b＝74.
4．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋54.9.
零件数x (个)
10
20
30
40
50
加工时间y (min)
62

75
81
89
现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________．
答案　68
解析　由＝30，得＝0.67×30＋54.9＝75.
设表中的“模糊数字”为a，
则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.
题组三　易错自纠
5．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n＝1 000)，利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关．计算得χ2＝4.453，经查阅临界值表知P(χ2>3.841)≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是(　　)
A．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病
B．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病
C．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
D．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
答案　C
解析　由已知数据可得，有1－0.05＝95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”．
6．在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)
学生的编号i
1
2
3
4
5
数学成绩x
80
75
70
65
60
物理成绩y
70
66
68
64
62

现已知其回归直线方程为＝0.36x＋，则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为______．(四舍五入到整数)
答案　73
解析　＝＝70，
＝＝66，
所以66＝0.36×70＋，＝40.8，
即回归直线方程为＝0.36x＋40.8.
当x＝90时，＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73.


题型一　相关关系的判断
例1 (1)观察下列各图形，

其中两个变量x，y具有相关关系的图是(　　)
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
答案　C
解析　由散点图知③中的点都分布在一条直线附近．④中的点都分布在一条曲线附近，所以③④中的两个变量具有相关关系．
(2)(2018·沈阳质检)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)的柱形图．以下结论不正确的是(　　)

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
答案　D
解析　从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；
2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；
虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，C选项正确；
自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.
思维升华 判定两个变量正，负相关性的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
(2)相关系数：当r>0时，正相关；当r0时，正相关；当