2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第一章　集合与常用逻辑用语1.3

§1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
最新考纲
考情考向分析
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2.理解全称量词和存在量词的意义．
3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.
逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.



1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真

2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，綈p(x)
存在性命题
存在M中的一个x，使p(x)成立
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，綈p(x)

概念方法微思考
含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？
提示　p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，綈p：真假相反．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“3≥2”是真命题．(　√　)
(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(　√　)
(3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(　×　)
(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．(　×　)
题组二　教材改编
2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．
3．命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________．
答案　存在一个正方形，这个正方形不是矩形
题组三　易错自纠
4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A.
5．(2018·大连质检)命题“∃x∈R，x2－x－1>0”的否定是(　　)
A．∀x∈R，x2－x－1≤0 B．∀x∈R，x2－x－1>0
C．∃x∈R，x2－x－1≤0 D．∃x∈R，x2－x－1≥0
答案　A
6．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
答案　1
解析　∵函数y＝tan x在上是增函数，
∴ymax＝tan ＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.
∴m的最小值为1.

题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断
1．命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是(　　)
A．p或q B．p且q C．q D．綈p
答案　B
解析　取x＝，y＝，可知命题p是假命题；
由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．
2．已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a21，所以p为假；因为x2＋x＋1＝0的判别式Δ0
D．∀x∈R，ex－x－1≥0
答案　C
解析　根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
(2)(2018·福州质检)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是(　　)
A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0，选项D为真命题，故选C.
(2)已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则(　　)
A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
答案　B
解析　因为3x>0，所以3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，
所以p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B.
题型三　命题中参数的取值范围
例3 (1)(2018·包头质检)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为____________．
答案　[e,4]
解析　若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]．

(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．
答案　
解析　当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，
g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，
得0≥－m，所以m≥.
引申探究
本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．
答案　
解析　当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，
由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.
思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
跟踪训练2 (1)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是______________．
答案　
解析　由“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．
设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．
故Δ＝25－4×a，
即实数a的取值范围为.


(2)已知c>0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值范围为________．
答案　∪(1，＋∞)
解析　由命题p为真知，00，x∈R恒成立，所以A不正确；
因为当x＝－5时，2－51，b>1时，显然ab>1，D正确．
8．(2018·鄂尔多斯模拟)已知命题p：∃x∈R，cos x＝；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则下列结论正确的是(　　)
A．命题p∧q是真命题 B．命题p∧(綈q)是真命题
C．命题(綈p)∧q是真命题 D．命题(綈p)∨(綈q)是假命题
答案　C
解析　因为对任意x∈R，都有cos x≤1成立，而>1，所以命题p：∃x∈R，cos x＝是假命题；因为对任意的x∈R，x2－x＋1＝2＋>0，
所以命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0是真命题．
由此对照各个选项，可知命题(綈p)∧q是真命题．
9．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为______________．
答案　∃x∈(0，＋∞)，≤x＋1
解析　因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．
10．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1