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2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版讲义:第四章 三角函数、解三角形4.6
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§4.6 正弦定理和余弦定理
最新考纲
考情考向分析
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
以利用正弦、余弦定理解三角形为主,常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查,加强数形结合思想的应用意识.题型多样,中档难度.
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)===2R
(2)a2=b2+c2-2bccos A;
b2=c2+a2-2cacos B;
c2=a2+b2-2abcos C
变形
(3)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
(4)sin A=,sin B=,sin C=;
(5)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;
(6)asin B=bsin A,
bsin C=csin B,
asin C=csin A
(7)cos A=;cos B=;cos C=
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a=bsin A
bsin A∠B是否可推出sin A>sin B?
提示 在△ABC中,由∠A>∠B可推出sin A>sin B.
2.如图,在△ABC中,有如下结论:bcos C+ccos B=a.试类比写出另外两个式子.
提示 acos B+bcos A=c;acos C+ccos A=b.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × )
(2)当b2+c2-a2>0时,三角形ABC为锐角三角形.( × )
(3)在△ABC中,=.( √ )
(4)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ )
题组二 教材改编
2.在△ABC中,acos A=bcos B,则这个三角形的形状为 .
答案 等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B,
即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=,
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
3.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积为 .
答案 2
解析 ∵=,∴sin B=1,∴B=90°,
∴AB=2,∴S△ABC=×2×2=2.
题组三 易错自纠
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c
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