2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第五章　平面向量与复数5.4

§5.4　平面向量的综合应用
最新考纲
考情考向分析
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.
主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.



1．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型
所用知识
公式表示
线平行、点共线等问题
平行向量基本定理
a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直问题
数量积的运算性质
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题
数量积的定义
cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题
数量积的定义
|a|＝＝，
其中a＝(x，y)，a为非零向量

(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
2．向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．
3．向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．
概念方法微思考
1．根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？
提示　(1)线段的长度问题．(2)直线或线段平行问题．(3)直线或线段垂直问题．(4)角的问题等．
2．如何用向量解决平面几何问题？
提示　用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若∥，则A，B，C三点共线．(　√　)
(2)在△ABC中，若·0，n>0，
则由·＝2·，
得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，
所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.
故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
(2)在△ABC中，AB＝2AC＝6，·＝2，点P是△ABC所在平面内一点，则当2＋2＋2取得最小值时，·＝________.
答案　－9
解析　∵·＝2，
∴·－2＝·(－)
＝·＝0，
∴⊥，即BA⊥AC.
以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，

则B(6,0)，C(0,3)，设P(x，y)，
∴2＋2＋2＝x2＋y2＋(x－6)2＋y2＋x2＋(y－3)2
＝3x2－12x＋3y2－6y＋45
＝3[(x－2)2＋(y－1)2＋10]．
∴当x＝2，y＝1时，2＋2＋2有最小值，此时·＝(2,1)·(－6,3)＝－9.
思维升华 向量与平面几何综合问题的解法
(1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示．
(2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
跟踪训练1 (1)已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝2，A为钝角，M是BC边的中点，则·等于(　　)

A．3 B．4
C．5 D．6
答案　C
解析　∵M 是BC边的中点，
∴＝(＋)，
∵O 是△ABC 的外接圆的圆心，
∴·＝||·||cos∠BAO
＝||2＝×(2)2＝6.
同理可得·＝||2＝×(2)2＝4.
∴·＝(＋)·
＝·＋·＝×(6＋4)＝5.
(2)(2018·乌海模拟)在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的任意一点，则·＋·的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．－2 D．－1
答案　C
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A(0,2)．

设点P的坐标为(x，y)，
则＝，＝(－x，－y)，
故·＋·＝·
＝2·＝2
＝2－2≥－2，
当且仅当x＝0，y＝1时等号成立．
所以·＋·的最小值为－2.
题型二　向量在解析几何中的应用
例2 (1)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　如图，由||＝1知点P的轨迹是以A为圆心，以1为半径的圆．

由＝知，
点M为PC的中点，
取AC的中点N，连接MN，
则|MN|＝|AP|＝，
所以点M的轨迹是以N为圆心，以为半径的圆．
因为||＝3，
所以||的最大值为3＋＝，||2的最大值为.故选B.
(2)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
答案　[－5，1]
解析　方法一　因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，
所以设P点坐标为(x，±)(－5≤x≤5)．
因为A(－12,0)，B(0,6)，
所以＝(－12－x，－)
或＝(－12－x，)，
＝(－x,6－)或＝(－x,6＋)．因为·≤20，先取P(x，)进行计算，
所以(－12－x)·(－x)＋(－)(6－)≤20，
即2x＋5≤.
当2x＋5