2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第八章　立体几何8.2

§8.2　空间几何体的表面积与体积
最新考纲
考情考向分析
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
主要考查涉及空间几何体的表面积与体积．常以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，难度为中低档.



1．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图



侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l

3.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
几何体　　
表面积
体积
柱体
(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体
(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3

概念方法微思考
1．如何求旋转体的表面积？
提示　求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和．
2．如何求不规则几何体的体积？
提示　求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(　√　)
(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　√　)
(3)锥体的体积等于底面积与高之积．(　×　)
(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.(　√　)
(5)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　×　)
题组二　教材改编
2．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D. cm
答案　B
解析　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，
∴r2＝4，∴r＝2.
3．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．

答案　1∶47
解析　设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47.
题组三　易错自纠
4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．12π B.π C．8π D．4π
答案　A
解析　由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.
5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

答案　π
解析　由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其体积为π×22×2－π×22×2＝π.

题型一　求空间几何体的表面积
1．(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)
A．12π B．12π
C．8π D．10π
答案　B
解析　设圆柱的轴截面的边长为x，
则由x2＝8，得x＝2，
∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×()2＋2π××2＝12π.故选B.




2．(2019·抚顺模拟)下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为(　　)

A．4＋2＋2 B．4＋4
C．2＋4＋2 D．8＋4
答案　A
解析　该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，为三棱锥B1－ACD，

则其表面积为四个面面积之和S＝2×＋×2×2＋×(2)2＝4＋2＋2.
思维升华 空间几何体表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

题型二　求空间几何体的体积

命题点1　求以三视图为背景的几何体的体积
例1 (2017·全国Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)

A．90π B．63π
C．42π D．36π
答案　B
解析　方法一　(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．

将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故选B.
方法二　(估值法)由题意知，V圆柱