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2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第九章 平面解析几何9.2
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§9.2 两条直线的位置关系
最新考纲
考情考向分析
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点.
1.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，
则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
2.几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.
概念方法微思考
1.若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？
提示 当两条直线l1与l2的斜率都存在时，·＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l2也垂直.
2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？
提示 (1)将方程化为最简的一般形式.
(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × )
(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( √ )
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.( × )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )
(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上.( √ )
题组二 教材改编
2.已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A. B.2－ C.－1 D.＋1
答案 C
解析 由题意得＝1.
解得a＝－1＋或a＝－1－.
∵a>0，∴a＝－1＋.
3.已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
答案 1
解析 由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，
所以m＝1.
4.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________.
答案 －9
解析 由得
所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.
题组三 易错自纠
5.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( )
A.2 B.－3
C.2或－3 D.－2或－3
答案 C
解析 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.故选C.
6.直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是______.
答案
解析 先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，
则两平行线间的距离为d＝＝.
7.若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.
答案 0或1
解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.
题型一 两条直线的平行与垂直
例1(2018·满洲里调研)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值.
解 (1)方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，
l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2⇔解得a＝－1，
综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行.
方法二 由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，
得a(a2－1)－1×6≠0，
∴l1∥l2⇔
⇔可得a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2.当a≠－1时，l1与l2不平行.
(2)方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，
故a＝0不成立；
当a≠1且a≠0时，
l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由·＝－1，得a＝.
方法二 由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，
可得a＝.
思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
跟踪训练1 (1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为( )
A.－ B.0
C.－或0 D.2
答案 C
解析 若a≠0，则由l1∥l2⇒＝，故2a＋2＝－1，即a＝－；若a＝0，l1∥l2，故选C.
(2)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0垂直，则m的值为( )
A.2或－3 B.2
C.－ D.
答案 C
解析 由l1⊥l2得2×m＋(m＋1)×3＝0，
整理得5m＋3＝0.解得m＝－.
题型二 两直线的交点与距离问题
1.(2018·葫芦岛调研)若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是( )
A.－ B. C.－ D.
答案 A
解析 由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立解得M，N.又因为MN的中点是P(1，－1)，所以由中点坐标公式得k＝－.
2.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.
3.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.
答案
解析 方法一 由方程组
解得
(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)
∴交点坐标为.
又∵交点位于第一象限，∴
解得－
y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2).
而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2,1)，斜率为k的动直线.
∵两直线的交点在第一象限，
∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，
∴动直线的斜率k需满足kPA
答案 或
解析 设点P的坐标为(a，b).
∵A(4，－3)，B(2，－1)，
∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2).
而AB的斜率kAB＝＝－1，
∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，
即x－y－5＝0.
∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0. ①
又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，
∴＝2，即4a＋3b－2＝±10， ②
由①②联立解得或
∴所求点P的坐标为(1，－4)或.
思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法
先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.
题型三 对称问题
命题点1 点关于点中心对称
例2 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________.
答案 x＋4y－4＝0
解析 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
命题点2 点关于直线对称
例3 如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A.3 B.6
C.2 D.2
答案 C
解析 直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.
命题点3 直线关于直线的对称问题
例4 直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是______________.
答案 x－2y＋3＝0
解析 设所求直线上任意一点P(x，y)，
则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由得
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即x－2y＋3＝0.
思维升华 解决对称问题的方法
(1)中心对称
①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
(2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，
则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
跟踪训练2 已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于(1,2)的对称直线.
解 (1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×－＋3＝0.②
由①②得
把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7).
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，
得关于l对称的直线方程为
－－2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0.
(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，
关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，
∴＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，∴M′(2,1).
l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，
∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，
即3x－y－5＝0.
妙用直线系求直线方程
在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系.
一、平行直线系
例1 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程.
解 由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，
又因为直线过点(1,2)，
所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
二、垂直直线系
例2 求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.
解 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，
所以设该直线方程为x－2y＋C＝0，
又直线过点A(2,1)，
所以有2－2×1＋C＝0，解得C＝0，
即所求直线方程为x－2y＝0.
三、过直线交点的直线系
例3 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.
解 方法一 解方程组得P(0,2).
∵l3的斜率为，且l⊥l3，∴直线l的斜率为－，由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，
即4x＋3y－6＝0.
方法二 设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，
解得λ＝11.
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不能确定
答案 C
解析 直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.
故选C.
2.已知直线l1：x＋my＋7＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0互相平行，则实数m等于( )
A.－1或3 B.－1
C.－3 D.1或－3
答案 A
解析 当m＝0时，显然不符合题意；
当m≠0时，由题意得，＝≠，
解得m＝－1或m＝3，故选A.
3.已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( )
A.－10 B.－2 C.0 D.8
答案 A
解析 因为l1∥l2，
所以kAB＝＝－2.解得m＝－8.
又因为l2⊥l3，所以－×(－2)＝－1，
解得n＝－2，所以m＋n＝－10.
4.过点M(－3,2)，且与直线x＋2y－9＝0平行的直线方程是( )
A.2x－y＋8＝0 B.x－2y＋7＝0
C.x＋2y＋4＝0 D.x＋2y－1＝0
答案 D
解析 方法一 因为直线x＋2y－9＝0的斜率为－，
所以与直线x＋2y－9＝0平行的直线的斜率为－，
又所求直线过M(－3,2)，
所以所求直线的点斜式方程为y－2＝－(x＋3)，
化为一般式得x＋2y－1＝0.故选D.
方法二 由题意，设所求直线方程为x＋2y＋c＝0，将M(－3，2)代入，解得c＝－1，所以所求直线为x＋2y－1＝0.故选D.
5. (2018·盘锦模拟)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为( )
A. B.4
C. D.2
答案 C
解析 ∵l1∥l2，∴a≠2且a≠0，
∴＝≠，解得a＝－1，
∴l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，
∴l1与l2的距离d＝＝.
6.已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为( )
A. B.－
C.2 D.－2
答案 A
解析 直线y＝2x＋3与y＝－x的交点为A(－1,1)，而直线y＝2x＋3上的点(0,3)关于y＝－x的对称点为B(－3，0)，而A，B两点都在l2上，所以＝＝.
7.已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝______；若l1⊥l2，则a＝______；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________.
答案 －1 1 2
解析 若直线l1的倾斜角为，则－a＝k＝tan ＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋1×(－1)＝0，故a＝1；若l1∥l2，则a＝－1，l1：x－y＋1＝0，两平行直线间的距离d＝＝2.
8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝____.
答案
解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，
于是 解得
故m＋n＝.
9.直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为______________.
答案 x－2y＝0
解析 由
解得直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)，
所以可设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k－1＝0.
在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得＝，
解得k＝(k＝2舍去)，
所以直线l2的方程为x－2y＝0.
10.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________.
答案 6x－y－6＝0
解析 设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以
解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
11.已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2).
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.
(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
∴解得
故直线经过的定点为M(2，－2).
(2)证明 过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4，
∴|PQ|<4，故所证成立.
12.已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.
解 (1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，
所以＝，即＝，
又a>0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0).
若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且＝，即c＝或，
所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有＝，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能.
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得(舍去)
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得
所以存在点P同时满足三个条件.
13.已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A.(－2,4) B.(－2，－4)
C.(2,4) D.(2，－4)
答案 C
解析 设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则
解得
∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，
即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，
∴AC所在直线方程为y－2＝(x＋4)，
即x－3y＋10＝0.
联立解得
则C(2,4).故选C.
14. (2018·赤峰质检)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为( )
A. B. C.2 D.2
答案 A
解析 联立解得x＝1，y＝2.
把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.
∴m＝－5－2n.
∴点(m，n)到原点的距离
d＝＝
＝≥，
当n＝－2，m＝－1时取等号.
∴点(m，n)到原点的距离的最小值为.
15.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(1,0)，B(0,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A.4x＋2y＋3＝0 B.2x－4y＋3＝0
C.x－2y＋3＝0 D.2x－y＋3＝0
答案 B
解析 因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，
又A(1，0)，B(0,2)，
故AB的中点为，kAB＝－2，
故AB的中垂线方程为y－1＝，
即2x－4y＋3＝0.
16.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,4)对称，求直线l的方程.
解 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝，∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b，取直线l上的一点P，则点P关于点(2,4)的对称点为，∴8－b－＝(4－m)＋b＋，解得b＝.∴直线l的方程是y＝x＋，即6x－8y＋9＝0.
最新考纲
考情考向分析
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点.
1.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，
则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
2.几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.
概念方法微思考
1.若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？
提示 当两条直线l1与l2的斜率都存在时，·＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l2也垂直.
2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？
提示 (1)将方程化为最简的一般形式.
(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × )
(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( √ )
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.( × )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )
(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上.( √ )
题组二 教材改编
2.已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A. B.2－ C.－1 D.＋1
答案 C
解析 由题意得＝1.
解得a＝－1＋或a＝－1－.
∵a>0，∴a＝－1＋.
3.已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
答案 1
解析 由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，
所以m＝1.
4.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________.
答案 －9
解析 由得
所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.
题组三 易错自纠
5.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( )
A.2 B.－3
C.2或－3 D.－2或－3
答案 C
解析 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.故选C.
6.直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是______.
答案
解析 先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，
则两平行线间的距离为d＝＝.
7.若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.
答案 0或1
解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.
题型一 两条直线的平行与垂直
例1(2018·满洲里调研)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值.
解 (1)方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，
l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2⇔解得a＝－1，
综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行.
方法二 由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，
得a(a2－1)－1×6≠0，
∴l1∥l2⇔
⇔可得a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2.当a≠－1时，l1与l2不平行.
(2)方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，
故a＝0不成立；
当a≠1且a≠0时，
l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由·＝－1，得a＝.
方法二 由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，
可得a＝.
思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
跟踪训练1 (1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为( )
A.－ B.0
C.－或0 D.2
答案 C
解析 若a≠0，则由l1∥l2⇒＝，故2a＋2＝－1，即a＝－；若a＝0，l1∥l2，故选C.
(2)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0垂直，则m的值为( )
A.2或－3 B.2
C.－ D.
答案 C
解析 由l1⊥l2得2×m＋(m＋1)×3＝0，
整理得5m＋3＝0.解得m＝－.
题型二 两直线的交点与距离问题
1.(2018·葫芦岛调研)若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是( )
A.－ B. C.－ D.
答案 A
解析 由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立解得M，N.又因为MN的中点是P(1，－1)，所以由中点坐标公式得k＝－.
2.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.
3.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.
答案
解析 方法一 由方程组
解得
(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)
∴交点坐标为.
又∵交点位于第一象限，∴
解得－
y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2).
而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2,1)，斜率为k的动直线.
∵两直线的交点在第一象限，
∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，
∴动直线的斜率k需满足kPA
答案 或
解析 设点P的坐标为(a，b).
∵A(4，－3)，B(2，－1)，
∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2).
而AB的斜率kAB＝＝－1，
∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，
即x－y－5＝0.
∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0. ①
又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，
∴＝2，即4a＋3b－2＝±10， ②
由①②联立解得或
∴所求点P的坐标为(1，－4)或.
思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法
先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.
题型三 对称问题
命题点1 点关于点中心对称
例2 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________.
答案 x＋4y－4＝0
解析 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
命题点2 点关于直线对称
例3 如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A.3 B.6
C.2 D.2
答案 C
解析 直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.
命题点3 直线关于直线的对称问题
例4 直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是______________.
答案 x－2y＋3＝0
解析 设所求直线上任意一点P(x，y)，
则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由得
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即x－2y＋3＝0.
思维升华 解决对称问题的方法
(1)中心对称
①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
(2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，
则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
跟踪训练2 已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于(1,2)的对称直线.
解 (1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×－＋3＝0.②
由①②得
把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7).
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，
得关于l对称的直线方程为
－－2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0.
(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，
关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，
∴＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，∴M′(2,1).
l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，
∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，
即3x－y－5＝0.
妙用直线系求直线方程
在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系.
一、平行直线系
例1 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程.
解 由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，
又因为直线过点(1,2)，
所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
二、垂直直线系
例2 求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.
解 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，
所以设该直线方程为x－2y＋C＝0，
又直线过点A(2,1)，
所以有2－2×1＋C＝0，解得C＝0，
即所求直线方程为x－2y＝0.
三、过直线交点的直线系
例3 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.
解 方法一 解方程组得P(0,2).
∵l3的斜率为，且l⊥l3，∴直线l的斜率为－，由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，
即4x＋3y－6＝0.
方法二 设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，
解得λ＝11.
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不能确定
答案 C
解析 直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.
故选C.
2.已知直线l1：x＋my＋7＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0互相平行，则实数m等于( )
A.－1或3 B.－1
C.－3 D.1或－3
答案 A
解析 当m＝0时，显然不符合题意；
当m≠0时，由题意得，＝≠，
解得m＝－1或m＝3，故选A.
3.已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( )
A.－10 B.－2 C.0 D.8
答案 A
解析 因为l1∥l2，
所以kAB＝＝－2.解得m＝－8.
又因为l2⊥l3，所以－×(－2)＝－1，
解得n＝－2，所以m＋n＝－10.
4.过点M(－3,2)，且与直线x＋2y－9＝0平行的直线方程是( )
A.2x－y＋8＝0 B.x－2y＋7＝0
C.x＋2y＋4＝0 D.x＋2y－1＝0
答案 D
解析 方法一 因为直线x＋2y－9＝0的斜率为－，
所以与直线x＋2y－9＝0平行的直线的斜率为－，
又所求直线过M(－3,2)，
所以所求直线的点斜式方程为y－2＝－(x＋3)，
化为一般式得x＋2y－1＝0.故选D.
方法二 由题意，设所求直线方程为x＋2y＋c＝0，将M(－3，2)代入，解得c＝－1，所以所求直线为x＋2y－1＝0.故选D.
5. (2018·盘锦模拟)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为( )
A. B.4
C. D.2
答案 C
解析 ∵l1∥l2，∴a≠2且a≠0，
∴＝≠，解得a＝－1，
∴l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，
∴l1与l2的距离d＝＝.
6.已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为( )
A. B.－
C.2 D.－2
答案 A
解析 直线y＝2x＋3与y＝－x的交点为A(－1,1)，而直线y＝2x＋3上的点(0,3)关于y＝－x的对称点为B(－3，0)，而A，B两点都在l2上，所以＝＝.
7.已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝______；若l1⊥l2，则a＝______；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________.
答案 －1 1 2
解析 若直线l1的倾斜角为，则－a＝k＝tan ＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋1×(－1)＝0，故a＝1；若l1∥l2，则a＝－1，l1：x－y＋1＝0，两平行直线间的距离d＝＝2.
8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝____.
答案
解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，
于是 解得
故m＋n＝.
9.直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为______________.
答案 x－2y＝0
解析 由
解得直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)，
所以可设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k－1＝0.
在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得＝，
解得k＝(k＝2舍去)，
所以直线l2的方程为x－2y＝0.
10.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________.
答案 6x－y－6＝0
解析 设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以
解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
11.已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2).
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.
(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
∴解得
故直线经过的定点为M(2，－2).
(2)证明 过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4，
∴|PQ|<4，故所证成立.
12.已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.
解 (1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，
所以＝，即＝，
又a>0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0).
若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且＝，即c＝或，
所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有＝，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能.
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得(舍去)
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得
所以存在点P同时满足三个条件.
13.已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A.(－2,4) B.(－2，－4)
C.(2,4) D.(2，－4)
答案 C
解析 设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则
解得
∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，
即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，
∴AC所在直线方程为y－2＝(x＋4)，
即x－3y＋10＝0.
联立解得
则C(2,4).故选C.
14. (2018·赤峰质检)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为( )
A. B. C.2 D.2
答案 A
解析 联立解得x＝1，y＝2.
把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.
∴m＝－5－2n.
∴点(m，n)到原点的距离
d＝＝
＝≥，
当n＝－2，m＝－1时取等号.
∴点(m，n)到原点的距离的最小值为.
15.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(1,0)，B(0,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A.4x＋2y＋3＝0 B.2x－4y＋3＝0
C.x－2y＋3＝0 D.2x－y＋3＝0
答案 B
解析 因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，
又A(1，0)，B(0,2)，
故AB的中点为，kAB＝－2，
故AB的中垂线方程为y－1＝，
即2x－4y＋3＝0.
16.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,4)对称，求直线l的方程.
解 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝，∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b，取直线l上的一点P，则点P关于点(2,4)的对称点为，∴8－b－＝(4－m)＋b＋，解得b＝.∴直线l的方程是y＝x＋，即6x－8y＋9＝0.
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