2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第十二章系列4选讲12.1第1课时

§12.1　坐标系与参数方程
第1课时　坐标系
最新考纲
考情考向分析
1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.
3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.
会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.



1.平面直角坐标系
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
2.极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念

在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.
(2)极坐标与直角坐标的互化

设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面关系式成立：
或，这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
3.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆

ρ＝r(0≤θ0).由题意知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0).
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，
于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB
＝4cos α·
＝2≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.


1.在极坐标系中，已知圆C被直线θ＝截得的弦长为，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.
解　由已知在直线ρsin＝－中，
令θ＝0，得ρ＝1，
∴圆C的圆心的极坐标为C(1,0).
又圆C被直线θ＝截得的弦长为，
∴圆心C到直线θ＝的距离为d＝1×sin＝，
∴圆C的半径为r＝＝1.
又圆C过坐标原点，
∴圆C的极坐标方程为＝cos θ，即ρ＝2cos θ.
2.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数).以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的普通方程；
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝4，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.
解　(1)圆C的参数方程为(φ为参数)，
消去参数可得圆C的普通方程为x2＋(y－3)2＝9.
(2)化圆C的普通方程为极坐标方程得ρ＝6sin θ，
设P(ρ1，θ1)，则由解得ρ1＝3，θ1＝，
设Q(ρ2，θ2)，则由
解得ρ2＝4，θ2＝，∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1.
3.已知直线l的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4.
(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|·|OB|的值.
解　(1)∵直线l的参数方程为(t为参数)，
∴直线l的普通方程为y＝＋(x－1)，
即y＝x，∴直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，
又∵曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴x2＋y2＝4x＋2y－4，即(x－2)2＋(y－)2＝3，
∴曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－)2＝3.
(2)∵将直线l：θ＝代入曲线C的极坐标方程ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4，得ρ2－5ρ＋4＝0，
设直线l与曲线C的两交点A，B的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，∴|OA|·|OB|＝ρ1ρ2＝4.

4.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为其中α为参数，曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)当0