2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第十二章系列4选讲12.1第2课时

第2课时　参数方程
最新考纲
考情考向分析
1.了解参数方程，了解参数的意义.
2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
了解参数的意义，重点考查直线参数方程中参数的几何意义及圆、椭圆的参数方程与普通方程的互化，往往与极坐标结合考查.在高考选做题中以解答题形式考查，难度为中档.



1.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程.
2.常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
(t为参数)
圆
x2＋y2＝r2
(θ为参数)
椭圆
＋＝1(a>b>0)
(φ为参数)
抛物线
y2＝2px(p>0)
(t为参数)

概念方法微思考
1.在直线的参数方程(t为参数)中，
(1)t的几何意义是什么？
(2)如何利用t的几何意义求直线上任意两点P1，P2的距离？
提示　(1)t表示在直线上过定点P0(x0，y0)与直线上的任一点P(x，y)构成的有向线段P0P的数量.
(2)|P1P2|＝|t1－t2|＝.
2.圆的参数方程中参数θ的几何意义是什么？
提示　θ的几何意义为该圆的圆心角.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数.(　√　)
(2)方程(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.(　√　)
(3)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　×　)
题组二　教材改编
2.曲线(θ为参数)的对称中心(　　)
A.在直线y＝2x上 B.在直线y＝－2x上 C.在直线y＝x－1上 D.在直线y＝x＋1上
答案　B
解析　由得
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上.
3.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：
(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值.
解　直线l的普通方程为x－y－a＝0，
椭圆C的普通方程为＋＝1，
∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，
则3－a＝0，∴a＝3.
题组三　易错自纠
4.直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l的斜率.
解　将直线l的参数方程化为普通方程为
y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.
5.设P(x，y)是曲线C：(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求的取值范围.
解　由曲线C：(θ为参数)，
得(x＋2)2＋y2＝1，表示圆心为(－2,0)，半径为1的圆.
表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设＝k，则原问题转化为y＝kx和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离d≤r，所以≤1，解得－≤k≤，
所以的取值范围为.
6.已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数).
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)设点P(m,0)，若直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值.
解　(1)曲线C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，
化为ρ2＝2ρcos θ，可得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
直线l的参数方程是(t为参数)，
消去参数t可得x＝y＋m，
即直线l的普通方程为y－x＋m＝0.
(2)把(t为参数)代入方程x2＋y2＝2x，
化为t2＋(m－)t＋m2－2m＝0， ①
由Δ>0，解得－10且λ≠1)，P点的轨迹是圆.”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”.已知点M与长度为3的线段OA两端点的距离之比为＝，建立适当坐标系，求出M点的轨迹方程并化为参数方程.
解　由题意，以OA所在直线为x轴，过O点作OA的垂线为y轴，建立直角坐标系，
设M(x，y)，则O(0,0)，A(3,0).
因为＝，即＝，
化简得(x＋1)2＋y2＝4，
所以点M的轨迹是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆.
由圆的参数方程可得
思维升华 消去参数的方法一般有三种
(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数.
(2)利用三角恒等式消去参数.
(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.
将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.
题型二　参数方程的应用
例1 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.
解　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为
y＝tan α·x＋2－tan α，
当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0. ①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cos α＋sin α＝0，
于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
思维升华 (1)解决直线与椭圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与椭圆的位置关系来解决.
(2)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.
跟踪训练1 已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数).
(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；
(2)设A(1,0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与到直线l的距离相等，求点P的坐标.
解　(1)椭圆C的参数方程为(θ为参数)，
直线l的普通方程为x－y＋9＝0.
(2)设P(2cos θ，sin θ)，
则|AP|＝＝2－cos θ，
P到直线l的距离
d＝＝.
由|AP|＝d，得3sin θ－4cos θ＝5，
又sin2θ＋cos2θ＝1，得sin θ＝，cos θ＝－.
故P.
题型三　极坐标方程和参数方程的综合应用
例2 (2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径.
解　(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；
消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2).
设P(x，y)，由题设得
消去k得x2－y2＝4(y≠0).
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0).
(2)C的极坐标方程为
ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0