2020年高考物理一轮复习文档：第4章曲线运动第21讲 学案

第21讲　竖直平面内(斜面内)的圆周运动

1．竖直面内圆周运动的两个基本模型的比较

2．解题技巧

(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同。

(2)确定临界点：抓住绳模型中最高点v≥及杆模型中v≥0这两个临界条件。

(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。

(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合＝F向。

(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。

模型1　绳—球模型

[例1]　 如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取10 m/s2，求：

(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？

(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？

(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？

解析(1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得mg＋F1＝m①

由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值，亦即F1≥0②

联立①②得v≥，

代入数值得v≥2 m/s

所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s。

(2)对小球，由牛顿第二定律得mg＋F2＝m，

将v2＝4 m/s代入得，F2＝15 N。

(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图乙，由牛顿第二定律得

F3－mg＝m③

又F3≤45 N④

联立③④得v3≤4 m/s，所以小球的速度不能超过4 m/s。

答案　(1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s

模型2　杆—球模型

[例2]　 (2018·儋州市四校联考)如图所示，轻杆长为L，一端固定在水平轴上的O点，另一端系一个小球(可视为质点)。小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动，且能通过最高点，g为重力加速度。下列说法正确的是(　　)

A．小球通过最高点时速度可能小于

B．小球通过最高点时所受轻杆的作用力不可能为零

C．小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而增大

D．小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而减小

解析　小球在最高点时，杆对球可以表现为支持力，由牛顿第二定律得：mg－F＝m，则得v＝<，故A正确。当小球速度为时，由重力提供向心力，杆的作用力为零，故B错误。轻杆在最高点可以表现为拉力，此时根据牛顿第二定律有mg＋F＝m，则知v越大，F越大，即随小球速度的增大，杆的拉力增大；小球通过最高点时杆对球的作用力也可以表现为支持力，当表现为支持力时，有mg－F＝m，则知v越大，F越小，即随小球速度的增大，杆的支持力减小，故C、D错误。

答案　A

模型3　斜面上的圆周运动

[例3]　 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是(　　)

A. rad/s   B. rad/s

C．1.0 rad/s   D．0.5 rad/s

解析　物体随圆盘做圆周运动，运动到最低点时最容易滑动，因此物体在最低点且刚好要滑动时的转动角速度为最大值，这时，根据牛顿第二定律有，μmgcos30°－mgsin30°＝mrω2，求得ω＝1.0 rad/s，C正确，A、B、D错误。

答案　C

方法感悟

1．求解斜面上的圆周运动问题时，注意对物体所受重力沿斜面方向的分力以及沿斜面方向的静摩擦力进行分析，注意静摩擦力的方向是可变的。

2．斜面上圆周运动的临界问题

在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、轻绳控制、轻杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。解决方法可参照水平面内圆周运动和竖直面内的圆周运动临界问题的解决方法。

(1)静摩擦力控制下的圆周运动

(2)轻绳控制下的圆周运动

(3)轻杆控制下的圆周运动

1. 如图所示，长均为L的两根轻绳一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为(　　)

A.mg  B.mg  C．3mg  D．2mg

答案　A

解析　设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为θ＝30°，则有r＝Lcosθ＝L。根据题述，小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有mg＝m；小球在最高点速率为2v时，设每根绳的拉力大小为F，则有2Fcosθ＋mg＝m，联立解得F＝mg，A正确。

2. 如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法中正确的是(　　)

A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝

B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝

C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力

D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力

答案　C

解析　因是在圆形管道内做圆周运动，所以在最高点时，内壁可以给小球沿半径向外的支持力，所以小球通过最高点时的最小速度为零，故A、B错误；小球在水平线ab以下的管道中运动时，竖直向下的重力沿半径方向的分力沿半径方向向外，小球的向心力是沿半径指向圆心的，小球与外壁一定会相互挤压，所以小球一定会受到外壁的作用力，内侧管壁对小球一定无作用力，故C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，当速度较小时，重力沿半径方向上的分力大于或等于小球做圆周运动需要的向心力，此时小球与外壁不存在相互挤压，外侧管壁对小球没有作用力，故D错误。

3. (多选)如图所示，两个质量均为m的小物块a和b(可视为质点)静止在倾斜的匀质圆盘上，圆盘可绕垂直于盘面的固定轴转动，a到转轴的距离为l，b到转轴的距离为2l，物块与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面的夹角为30°。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，若a、b随圆盘以角速度ω 匀速转动，下列说法中正确的是(　　)

A．a在最高点时所受摩擦力可能为0

B．a在最低点时所受摩擦力可能为0

C．ω＝ 是a开始滑动的临界角速度

D．ω＝ 是b开始滑动的临界角速度

答案　AD

解析　a在最高点时可能由重力沿斜面的分力提供向心力，所以所受摩擦力可能为0，故A正确；a在最低点，由牛顿运动定律f－mgsinθ＝m，所以a在最低点时所受摩擦力不可能为0，故B错误；对a在最低点，由牛顿运动定律μmgcosθ－mgsinθ＝mω2l，代入数据解得ω＝，故C错误；对b在最低点，由牛顿运动定律μmgcosθ－mgsinθ＝mω2(2l)，代入数据解得ω＝ ，故D正确。

课后作业

 [巩固强化练]

1. 如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是(　　)

A．过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来

B．人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力

C．人在最低点时对座位的压力等于mg

D．人在最低点时对座位的压力大于mg

答案　D

解析　人过最高点时，FN＋mg＝m，当v≥时，不用保险带，人也不会掉下来，当v＝时，人在最高点时对座位产生的压力为mg，A、B均错误；人在最低点具有竖直向上的加速度，处于超重状态，故人此时对座位的压力大于mg，C错误、D正确。

2．(多选)“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为细绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型。已知绳长为l，重力加速度为g，则(　　)

A．小球运动到最低点Q时，处于失重状态

B．小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大

C．当v0>时，小球一定能通过最高点P

D．当v0<时，细绳始终处于绷紧状态

答案　CD

解析　小球运动到最低点Q时，由于加速度向上，故处于超重状态，A错误；小球在最低点时：FT1－mg＝m；在最高点时：FT2＋mg＝m，其中mv－mg·2l＝mv2，解得FT1－FT2＝6mg，故在P、Q两点绳对小球的拉力差与初速度v0无关，B错误；当v0＝时，可求得v＝，因为小球经过最高点的最小速度为，则当v0>时小球一定能通过最高点P，C正确；当v0＝时，由mv＝mgh得小球能上升的高度h＝l，即小球不能越过与悬点等高的位置，故当v0<时，小球将在最低点位置附近来回摆动，细绳始终处于绷紧状态，D正确。

3．如图所示，质量为M的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道在竖直面内做圆周运动。A、C点为圆周的最高点和最低点，B、D点是与圆心O同一水平线上的点。小滑块运动时，物体在地面上静止不动，则物体对地面的压力FN和地面对物体的摩擦力有关说法正确的是(　　)

A．小滑块在A点时，FN>Mg，摩擦力方向向左

B．小滑块在B点时，FN＝Mg，摩擦力方向向右

C．小滑块在C点时，FN＝(M＋m)g，M与地面无摩擦

D．小滑块在D点时，FN＝(M＋m)g，摩擦力方向向左

答案　B

解析　因为轨道光滑，所以小滑块与轨道之间没有摩擦力。小滑块在A点时，与轨道没有水平方向的作用力，所以轨道没有运动趋势，即摩擦力为零；当小滑块的速度v＝时，对轨道A点的压力为零，物体对地面的压力FN＝Mg，当小滑块的速度v>时，对轨道A点的压力向上，物体对地面的压力FN<Mg，故A错误；小滑块在B点时，对轨道的作用力水平向左，所以物体对地有向左运动的趋势，地面给物体向右的摩擦力；竖直方向上对轨道无作用力，所以物体对地面的压力FN＝Mg，故B正确；小滑块在C点时，地面对物体也没有摩擦力；竖直方向上小滑块对轨道的压力大于其重力，所以物体对地面的压力FN>(M＋m)g，故C错误；小滑块在D点时，类似于B点的分析，地面给物体向左的摩擦力，物体对地面的压力FN＝Mg，故D错误。

4. 如图所示，竖直环A的半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放一小球C，A、B、C的质量均为m。现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环之间的摩擦阻力)，则瞬时速度v必须满足(　　)

A．最小值  B．最大值

C．最小值  D．最大值

答案　D

解析　要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg＝m，对小球从最低点运动到最高点的过程应用机械能守恒定律得mv＝mg·2r＋mv，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为，A、C错误；为了不使环在竖直方向上跳起，则在最高点球有最大速度时，对环的压力为2mg，满足3mg＝m，从最低点到最高点由机械能守恒定律得mv＝mg·2r＋mv，可得小球在最低点瞬时速度的最大值为，B错误，D正确。

5．(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其F­v2图象如图乙所示。则(　　)

A．小球的质量为

B．当地的重力加速度大小为

C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向下

D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等

答案　AD

解析　由题图乙可知：当v2＝b时，杆对球的弹力恰好为零，此时只受重力，重力提供向心力，mg＝m＝m，即重力加速度 g＝，故B错误；当v2＝0时，向心力为零，杆对球的弹力恰好与球的重力等大反向，F弹＝mg＝a，即小球的质量m＝＝，故A正确；根据圆周运动的规律，当v2＝b时杆对球的弹力为零，当v2<b时，mg－F弹＝m，杆对球的弹力方向向上，当v2>b时，mg＋F弹＝m，杆对球的弹力方向向下，v2＝c>b，杆对小球的弹力方向向下，根据牛顿第三定律，小球对杆的弹力方向向上，故C错误；当v2＝2b时，mg＋F弹＝m＝m，又g＝，F弹＝m－mg＝mg，故D正确。

[真题模拟练]

6. (2015·天津高考)未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示，当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是(　　)

A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大

B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小

C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大

D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小

答案　B

解析　旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即mg＝mω2r，解得ω＝ ，要使g不变，旋转舱的半径越大，角速度应越小，而且与宇航员的质量无关，B正确。

7. (2017·江苏高考)如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上，物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F。小环和物块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动。整个过程中，物块在夹子中没有滑动。小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)

A．物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2F

B．小环碰到钉子P时，绳中的张力大于2F

C．物块上升的最大高度为

D．速度v不能超过

答案　D

解析　由题意知，F为夹子与物块间的最大静摩擦力，但在实际运动过程中，夹子与物块间的静摩擦力没有达到最大，故物块向右匀速运动时，绳中的张力等于Mg，A错误；小环碰到钉子时，物块做圆周运动，FT－Mg＝M，绳中的张力大于物块的重力Mg，当绳中的张力大于2F时，物块将从夹子中滑出，即2F－Mg＝M，此时速度v＝ ，故B错误，D正确；由机械能守恒定律知，物块能上升的最大高度h＝，所以C错误。

8. (2016·全国卷Ⅱ)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点(　　)

A．P球的速度一定大于Q球的速度

B．P球的动能一定小于Q球的动能

C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力

D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度

答案　C

解析　设小球的质量为m，绳长为L，根据动能定理得mgL＝mv2，解得v＝，LP<LQ，所以vP<vQ，故A项错误；小球动能Ek＝mgL，其中mP>mQ，LP<LQ，所以无法判断它们的动能大小关系，B项错误；F拉－mg＝，将v＝代入得F拉＝3mg，因为mP>mQ，所以P球所受绳的拉力大于Q球所受绳的拉力，故C项正确；向心加速度a＝＝2g，所以在轨迹的最低点，P、Q两球的向心加速度相同，故D项错误。

9. (2018·咸阳一模)固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道的最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面，如图所示。今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A点进入圆弧轨道运动，只要适当调节释放点的高度，总能使球通过最高点D，则小球通过D点后(　　)

A．一定会落到水平面AE上

B．一定会再次落到圆弧轨道上

C．可能会再次落到圆弧轨道上

D．不能确定

答案　A

解析　设小球恰好能够通过最高点D，根据mg＝m，得：vD＝，知在最高点的最小速度为。小球经过D点后做平抛运动，根据R＝gt2得：t＝。则平抛运动的水平位移为：x＝·＝R，知小球一定落在水平面AE上。故A正确，B、C、D错误。

10. (2018·绵阳诊断)如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力。则球B在最高点时(　　)

A．球B的速度为零

B．球A的速度大小为

C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg

D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg

答案　C

解析　球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝m，解得vB＝，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA＝，故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球受重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得：F＝1.5mg，由牛顿第三定律知，C正确，D错误。

11. (2018·沈阳模拟)用光滑圆管制成如图所示的轨道，竖直立于水平地面上，其中ABC为圆轨道的一部分，CD为倾斜直轨道，二者相切于C点，已知圆轨道的半径R＝1 m，倾斜轨道CD与水平地面的夹角为θ＝37°，现将一小球以一定的初速度从A点射入圆管，小球直径略小于圆管的直径，取重力加速度g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求小球通过倾斜轨道CD的最长时间(结果保留一位有效数字)。

答案　0.7 s

解析　小球通过倾斜轨道时间若最长，则小球到达圆轨道的最高点的速度为0，从最高点到C点：

对小球由动能定理可得：mgh＝mv

由几何关系得：h＝R－Rcosθ

小球在CD段做匀加速直线运动，由位移公式得：

L＝vCt＋at2

CD的长度为：L＝

对小球利用牛顿第二定律可得：mgsinθ＝ma

代入数据联立解得：t≈0.7 s。

12. (2018·开封模拟)如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN调节其与水平面所成的倾角。板上一根长为l＝0.60 m的轻绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在板上的O点。当平板的倾角固定为α时，先将轻绳平行于水平轴MN拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v0＝3.0 m/s。若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角α的值应在什么范围内？(取重力加速度g＝10 m/s2)

答案　0°≤α≤30°

解析　小球在倾斜平板上运动时受到绳子拉力、平板弹力、重力。在垂直平板方向上合力为0，重力在沿平板方向的分量为mgsinα

小球在最高点时，由绳子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，有FT＋mgsinα＝m①

研究小球从释放到最高点的过程，根据动能定理有

－mglsinα＝mv－mv②

若恰好能通过最高点，则绳子拉力FT＝0③

联立①②③解得sinα＝，解得α＝30°

故α的范围为0°≤α≤30°。