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2020年高考物理一轮复习文档：第5章天体运动第23讲 学案
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第23讲 天体运动的热点问题
考点一 卫星运行参量的分析与比较
1．理想模型：认为卫星绕中心天体都做匀速圆周运动。中心天体对卫星的万有引力提供向心力，即是匀速圆周运动的一种应用。
2．卫星的运行参数随轨道半径变化的规律
由G＝ma＝m＝mω2r＝mr＝m·4π2n2r可得：
⇒当r增大时越高越慢
3．地球同步卫星的六个“一定”
4．三类地球卫星和赤道上相对地面静止的物体的运动特点
(1)同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度、角速度、绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。
(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度和绕行方向与同步卫星相同。
假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )
A．地球的公转周期大于火星的公转周期
B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度
解析 由T＝2π ，得T地v火，B错误；由a＝得a地>a火，C错误；由ω＝ 得ω地>ω火，D正确。
答案 D
方法感悟
a、v、ω、T均与卫星(或行星)的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较，最终都归结到半径的比较。
1．有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．c在4 h内转过的圆心角是
C．在相同时间内b转过的弧长最长
D．d的运行周期可能是23 h
答案 C
解析 地球赤道上静止的物体随地球自转的向心加速度小于重力加速度，A错误；同步卫星c在4 h内转过的圆心角φ＝，B错误；相同时间内转过的弧长s＝vt由线速度v决定，卫星b的线速度最大，因此相同时间内b转过的弧长最长，C正确；d的轨道比同步卫星c的轨道高，其运行周期比c的大，故其运行周期一定大于24 h，D错误。
2．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时。假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )
A．距地面的高度变大 B．向心加速度变大
C．线速度变大 D．角速度变大
答案 A
解析 卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，即G＝m2r，得r＝ ，由于同步卫星的周期等于地球的自转周期，若地球自转变慢，自转周期变大，则同步卫星做圆周运动的半径会变大，离地面的高度变大，A项正确；由G＝ma得，a＝，半径变大，向心加速度变小，B项错误；由G＝m得，v＝ ，半径变大，线速度变小，C项错误；由ω＝分析得，同步卫星的周期变大，角速度变小，D项错误。
3. (2016·四川高考)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
A．a2>a1>a3 B．a3>a2>a1
C．a3>a1>a2 D．a1>a2>a3
答案 D
解析 卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有G＝m1a1，即a1＝，对于东方红二号，有G＝m2a2，即a2＝，由于h2>h1，故a1>a2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a＝ω2r，故a2>a3，所以a1>a2>a3，D正确，A、B、C错误。
考点二 宇宙速度的理解与计算
1．环绕速度与发射速度的比较
近地卫星的环绕速度v＝ ＝＝7.9_km/s，通常称为第一宇宙速度，它是地球周围的所有卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度。
2．三种宇宙速度
(多选)在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到 v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球。已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有( )
A．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大
B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大
C．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等
D．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大
解析 发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动，由＝，解得v＝ ，M为星球的质量，要使探测器脱离星球的吸引，则发射速度为v脱＝v＝，该速度与探测器的质量无关，由此式可知，探测器分别在地球和火星表面发射时的脱离速度不同，A、C错误；探测器受到的引力F＝，在两星球表面的引力之比＝·＝，B正确；探测器脱离星球的过程中，万有引力做负功，势能逐渐增大，D正确。
答案 BD
方法感悟
(1)第一宇宙速度的推导有两种方法：①由G＝m得v1＝ ；②由mg＝m得v1＝。
(2)第一宇宙速度的公式不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是M、R、g必须与相应星球对应，不能套用地球的参数。
1．若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的( )
A.倍 B. 倍
C. 倍 D.倍
答案 C
解析 地球卫星绕地球运动时，由牛顿第二定律得G＝m。同理，行星卫星绕该行星运动时，由牛顿第二定律得G＝m′。又M星＝pM地，R星＝qR地。由以上各式解得v星＝ v地，C正确。
2．我国“玉兔号”月球车被顺利送抵月球表面，并发回大量图片和信息。若该月球车在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2。已知地球半径为R1，月球半径为R2，地球表面处的重力加速度为g1，月球表面处的重力加速度为g2，则( )
A．“玉兔号”月球车在地球表面与月球表面质量之比为
B．地球的质量与月球的质量之比为
C．地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比为
D．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为
答案 D
解析 “玉兔号”无论在月球表面还是在地球表面质量都不会变化，A错误；地球表面月球车重力G1＝mg1，月球表面月球车重力G2＝mg2，可得地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比＝，C错误；在天体表面万有引力等于重力，即G1＝，G2＝，可得＝，B错误；分析可得地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比＝ ＝ ，D正确。
考点三 卫星的变轨问题
1．卫星变轨原理
(1)当卫星的速度减小时，卫星运行所需要的向心力小于所提供的万有引力，即G>m，卫星开始做近心运动，最终卫星在半径更小、速度更大的圆轨道上运动。
(2)当卫星的速度增大时，卫星运行所需要的向心力大于所提供的万有引力，即G
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
3．变轨过程各物理量分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点时的加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1
(多选)如图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图，假设“嫦娥三号”运行经过P点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q、高度为15 km，远地点为P、高度为100 km的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是( )
A．“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化
B．“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期
C．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度
D．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率可能小于经过P点时的速率
解析 “嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上的运动是匀速圆周运动，速度大小不变，A错误；由于圆轨道Ⅰ的轨道半径大于椭圆轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律，“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期，B正确；由于在Q点“嫦娥三号”所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度，C正确；根据开普勒第二定律可知“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率一定大于经过P点时的速率，D错误。
答案 BC
方法感悟
(1)一般变轨位置，不是在近地点，就是在远地点。
(2)卫星发射与回收过程，可以看成可逆过程去理解。
(3)速度：变轨前后，航天器在不同轨道上的速度大小，或根据离心运动的条件判断，或根据近心运动的条件判断，或根据开普勒第二定律判断(同一椭圆轨道上不同位置的速度)，或根据“越远越慢”判断。
(4)加速度：变轨前后，航天器的加速度大小可根据牛顿第二定律判断。
(5)周期：变轨前后，航天器在不同轨道上的运行周期的大小可根据开普勒第三定律＝k判断。
1．(2019·河南开封一模)2018年12月12日16时45分嫦娥四号探测器经过约110小时的奔月飞行到达月球附近。假设“嫦娥四号”在月球上空某高度处做圆周运动，运行速度为v1，为成功实施近月制动，使它进入更靠近月球的预定圆轨道，设其运行速度为v2。对这一变轨过程及变轨前后的速度对比正确的是( )
A．发动机向后喷气进入低轨道，v1>v2
B．发动机向后喷气进入低轨道，v1
D．发动机向前喷气进入低轨道，v1
解析 为成功实施近月制动，使“嫦娥四号”进入更靠近月球的预定圆轨道，故发动机应向前喷气减速，使“嫦娥四号”做近心运动，进入低轨道；在更靠近月球的预定圆轨道上运动时，轨道半径变小，根据万有引力提供向心力，则有：＝，解得：v＝，其中r为轨道半径，所以运行速度增大，即v1＜v2，故D正确，A、B、C错误。
2．(2018·银川一中模拟)我国于2017年11月发射“嫦娥五号”探月卫星，计划执行月面取样返回任务。“嫦娥五号”从月球返回地球的过程可以简单分成四步，如图所示第一步将“嫦娥五号”发射至月球表面附近的环月圆轨道Ⅰ，第二步在环月轨道的A处进行变轨进入月地转移轨道Ⅱ，第三步当接近地球表面附近时，又一次变轨，从B点进入绕地圆轨道Ⅲ，第四步再次变轨道后降落至地面，下列说法正确的是( )
A．将“嫦娥五号”发射至轨道Ⅰ时所需的发射速度为7.9 km/s
B．“嫦娥五号”从环月轨道Ⅰ进入月地转移轨道Ⅱ需要加速
C．“嫦娥五号”从A沿月地转移轨道Ⅱ到达B点的过程中其动能一直增加
D．“嫦娥五号”在第四步变轨时需要加速
答案 B
解析 根据v＝，月球的第一宇宙速度比地球的要小，故A错误；“嫦娥五号”从轨道Ⅰ进入月地转移轨道Ⅱ是离心运动，所以需要加速，故B正确；刚开始的时候月球对“嫦娥五号”的引力大于地球对“嫦娥五号”的引力，所以动能要减小，之后当地球的引力大于月球的引力时，卫星的动能就开始增加，故C错误；“嫦娥五号”降落至地面的运动为向心运动，需要减速，故D错误。
考点四 卫星的追及相遇问题
对于卫星的追及相遇问题一般存在下列两种情况：
1．卫星对接、摧毁，最常见的是由低轨道向高轨道正常运行的卫星对接。
2．绕行方向相同的两卫星和天体的连线在同一直线上，处于内轨道的卫星周期T1小，处于外轨道的卫星周期T2大。
(1)当两卫星都在天体同侧时，那么当t满足下列式子时两卫星相距最近：
t－t＝2nπ(n＝1,2,3，…)。
(2)当两卫星在天体异侧时，那么当t满足下列式子时两卫星相距最近：
t－t＝π＋2nπ(n＝0,1,2，…)。
如图所示，A是地球的同步卫星。另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地心。
(1)求卫星B的运行周期；
(2)如果卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
解析 (1)根据万有引力提供向心力，有
对卫星B：G＝m(R＋h)
对地球表面上的物体：G＝m′g
联立解得TB＝2π 。
(2)由题意得(ωB－ω0)t＝2π
又ωB＝，解得t＝ 。
答案 (1)2π (2)
方法感悟
绕同一天体运动且绕向相同的两卫星，从第一次相距最近到第二次相距最近，实际情况就是周期小的比周期大的多转过了2π弧度。
1. (2016·天津高考)我国发射了“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
答案 C
解析 飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，A错误；同理，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室做近心运动，也不能实现对接，B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，D错误。
2．(多选)太阳系中某行星运行的轨道半径为R0，周期为T0。但天文学家在长期观测中发现，其实际运行的轨道总是存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离(行星仍然近似做匀速圆周运动)。天文学家认为形成这种现象的原因可能是该行星外侧还存在着一颗未知行星。假设两行星的运行轨道在同一平面内，且绕行方向相同，则这颗未知行星运行轨道的半径R和周期T是(认为未知行星近似做匀速圆周运动)( )
A．T＝ B．T＝T0
C．R＝R0 D．R＝R0
答案 BC
解析 行星的轨道发生最大的偏离时一定是行星与未知行星相距最近时，设某时刻行星和未知行星相距最近，经过t0时间，行星和未知行星再次相距最近，则行星转过的角度为θ1＝·t0，未知行星转过的角度为θ2＝·t0，有θ1－θ2＝2π，解得T＝T0，A错误，B正确；根据开普勒第三定律有＝，故有R＝R0，C正确，D错误。
考点五 双星与多星问题
1．双星模型
(1)特点
①是一个绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，不受其他星体影响，这个系统称为双星。如图所示。
②各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2。
③两个星体的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
④两个星体的轨道半径与它们之间距离的关系为：r1＋r2＝L。
(2)两个星体到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成正比，即＝。
(3)双星的运动周期T＝2π。(同学们自己可以证明)
(4)双星的总质量m1＋m2＝。(同学们自己可以证明)
2．多星模型
(1)三星模型
①三星同线：如图甲所示。
特点：三星转动方向相同，角速度大小相等，都绕O点转动。
②三星在三角形三个顶点：如图乙所示。
特点：万有引力的合力指向圆心O点，合力提供向心力；三星同向转动；角速度大小相等，都绕O点转动；三星质量可以相等，也可两星质量相等，也可三星质量均不等。
注：三星质量相等的情况只是理想情况，实际不存在。
(2)四星模型
一般都在同一平面内绕同一圆心做匀速圆周运动，它们的周期都相等。
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。
②另一种是三颗星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。
冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的( )
A．轨道半径约为卡戎的
B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的7倍
D．向心力大小约为卡戎的7倍
解析 双星系统内的两颗星运动的角速度相同，根据m1ω2r1＝m2ω2r2，得＝＝，A正确，B错误；根据v＝ωr，得＝＝，C错误；双星的向心力都为二者间的万有引力，所以向心力大小相同，D错误。
答案 A
方法感悟
通常研究卫星绕地球或行星绕太阳运行问题时，卫星到地球中心或行星到太阳中心间距与它们的轨道半径大小是相等的，但在宇宙多星问题中，星体间距与轨道半径是不同的，这点要注意区分。
(2018·南宁一模)2016年2月11日，科学家宣布“激光干涉引力波天文台(LIGO)”探测到由两个黑洞合并产生的引力波信号，这是在爱因斯坦提出引力波概念100周年后，引力波被首次直接观测到。在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。如图所示，黑洞A、B可视为质点，它们围绕连线上O点做匀速圆周运动，且AO大于BO，不考虑其他天体的影响。下列说法正确的是( )
A．黑洞A的向心力大于B的向心力
B．黑洞A的线速度大于B的线速度
C．黑洞A的质量大于B的质量
D．两黑洞之间的距离越大，A的周期越小
答案 B
解析 黑洞A与黑洞B之间的力为作用力与反作用力，大小相等，A错误；黑洞A与黑洞B角速度相等，由v＝rω得黑洞A的线速度大于黑洞B的线速度，B正确；对双星系统，质量与圆周运动的半径成反比，得黑洞A的质量小于黑洞B的质量，C错误；由T＝2π，知两黑洞的距离越大，周期越大，D错误。
课后作业
[巩固强化练]
1．(多选)“嫦娥四号”(专家称为“四号星”)在2018年发射升空，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面地科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料。已知引力常量为G，月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，“嫦娥四号”离月球中心的距离为r，绕月周期为T。根据以上信息判断下列说法正确的是( )
A．月球的第一宇宙速度为
B．“嫦娥四号”绕月运行的速度为
C．月球的平均密度为ρ＝
D．“嫦娥四号”必须减速运动才能返回地球
答案 AC
解析 第一宇宙速度是卫星在星球表面的运行速度，根据万有引力提供向心力得G＝m，在月球表面，万有引力等于重力，得G＝mg，联立解得v＝，A正确；“嫦娥四号”绕月运行的速度v＝ ＝ ，B错误；根据万有引力提供向心力得G＝m2r，且M＝ρ·πR3，可得ρ＝，C正确；“嫦娥四号”必须加速做离心运动才能返回地球，D错误。
2．科学家预测在银河系里可能有一个“与地球相似”的行星，这个行星存在孕育生命的可能性，若质量可视为均匀分布的球形“与地球相似”的行星的密度为ρ，半径为R，自转周期为T0，万有引力常量为G，则( )
A．该“与地球相似”的行星的同步卫星的运行速率为
B．该“与地球相似”的行星的同步卫星的轨道半径为
C．该“与地球相似”的行星表面重力加速度在两极的大小为GρRπ
D．该“与地球相似”的行星的卫星在星球表面附近做圆周运动的速率为πR
答案 C
解析 根据匀速圆周运动线速度公式以及行星的同步卫星周期为T0，知其运行速率为v＝，r是行星的同步卫星的轨道半径，并不是R，A错误；行星对其同步卫星的万有引力提供向心力，设同步卫星轨道半径为r，则有G＝mr，且M＝ρ·πR3，解得r＝R ，B错误；由mg星＝G，且M＝ρ·πR3，解得g星＝GρRπ，C正确；卫星在行星表面附近做圆周运动的速率为v＝＝2πR，D错误。
3. 央视新闻2018年3月11日报道：中国将建设324颗卫星组星座，“用户不在服务区”将成历史。即将建设的全球低轨卫星星座被命名为“鸿雁”。据悉，北京航天飞行控制中心已对“鸿雁一号”卫星实施变轨控制。如图为“鸿雁一号”卫星某次在近地点A由轨道1变轨为轨道2的示意图，下列说法中正确的是( )
A．“鸿雁一号”在轨道1的B点处的速度比在轨道1的A点处的速度大
B．“鸿雁一号”在轨道1的A点处的速度比在轨道2的A点处的速度大
C．“鸿雁一号”在轨道1的A点处的加速度与在轨道2的A点处的加速度相等
D．“鸿雁一号”在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能大
答案 C
解析 在轨道1上从A到B过程中引力做负功，速度减小，故“鸿雁一号”在轨道1的B点处的速度比在轨道1的A点处的速度小，A错误；从轨道1变轨到轨道2，需要在A点点火加速，故“鸿雁一号”在轨道1的A点处的速度比在轨道2的A点处的速度小，B错误；“鸿雁一号”在轨道1的A点处的受力等于在轨道2的A点处的受力，根据a＝可知“鸿雁一号”在轨道1的A点处的加速度与在轨道2的A点处的加速度相等，C正确；因为卫星在轨道1的A点处点火加速进入轨道2，所以在轨道2的机械能大于在轨道1的机械能，故D错误。
4. 我国即将展开深空探测，计划在2020年通过一次发射，实现火星环绕探测和软着陆巡视探测，已知太阳的质量为M，地球、火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径分别为R1和R2，速率分别为v1和v2，地球绕太阳运动的周期为T。当质量为m的探测器被发射到以地球轨道上的A点为近日点，火星轨道上的B点为远日点的轨道上围绕太阳运行时(如图所示)，只考虑太阳对探测器的作用，则( )
A．探测器在A点加速度的值等于
B．探测器在B点的加速度为
C．探测器在B点的动能为mv
D．探测器沿椭圆轨道从A飞行到B的时间为
T
答案 A
解析 万有引力提供向心力，探测器受到的万有引力F＝，在A点时的加速度aA＝＝，因为对地球有a地＝＝，所以aA＝，A正确；在B点时aB＝，B错误；如果探测器沿火星轨道运动，则速度为v2，动能为mv，在椭圆轨道B点时速度小于v2，则动能小于mv，C错误；设探测器沿椭圆轨道的周期为T0，由开普勒第三定律得T2∶T＝R∶3，探测器从A到B的时间t＝＝，D错误。
[真题模拟练]
5．(2017·全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )
A．周期变大 B．速率变大
C．动能变大 D．向心加速度变大
答案 C
解析 天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道运行，根据G＝ma＝＝mr可知，组合体运行的向心加速度、速率、周期不变，质量变大，则动能变大，选项C正确。
6．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案 BC
解析 依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：G＝m1ω2r1，对m2：G＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝，联立以上各式可解得：r1＝L，r2＝L，m1＋m2＝，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝，C正确；质量之积m1m2＝·＝·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。
7．(2018·江苏高考)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )
A．周期 B．角速度
C．线速度 D．向心加速度
答案 A
解析 设地球质量为M，人造卫星质量为m，人造卫星做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有G＝m＝mω2r＝m2r＝ma，得v＝，ω＝，T＝2π ，a＝，因为“高分四号”的轨道半径比“高分五号”的轨道半径大，所以A正确，B、C、D错误。
8．(2018·天津高考) (多选)2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )
A．密度 B．向心力的大小
C．离地高度 D．线速度的大小
答案 CD
解析 根据题意，已知卫星运动的周期T，地球的半径R，地球表面的重力加速度g，卫星受到的万有引力充当向心力，故有G＝mr，等式两边卫星的质量被抵消，且卫星体积未知，则不能计算卫星的密度，更不能计算卫星的向心力大小，A、 B错误；由G＝mr，解得r＝ ，而r＝R＋h，故可计算卫星距离地球表面的高度，C正确；根据公式v＝，轨道半径可以求出，周期已知，故可以计算出卫星绕地球运动的线速度，D正确。
9．(2016·全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h
答案 B
解析 卫星围绕地球运转时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即＝m2r，解得周期T＝2π，由此可见，卫星的轨道半径r越小，周期T就越小，周期最小时，三颗卫星连线构成的等边三角形与赤道圆相切，如图所示，此时卫星轨道半径r＝2R，T＝2π ，又因为T0＝2π ＝24 h，所以T＝ ·T0＝ ×24 h≈4 h，B正确。
10．(2015·全国卷Ⅰ)(多选)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落。已知探测器的质量约为1.3×103 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2。则此探测器( )
A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s
B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N
C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
答案 BD
解析 由题述地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.7倍，由公式G＝mg，可得月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，即g月≈1.6 m/s2，由v2＝2g月h，解得此探测器在着陆瞬间的速度v≈3.6 m/s，选项A错误；由平衡条件可得悬停时受到的反冲作用力约为F＝mg月＝1.3×103×1.6 N≈2×103 N，选项B正确；从离开近月圆轨道到着陆这段时间，由于受到了反冲作用力，且反冲作用力对探测器做负功，所以探测器机械能减小，选项C错误；由G＝m，G＝mg，解得v＝，由于地球半径和地球表面的重力加速度均大于月球，所以探测器在近月圆轨道上运行的线速度要小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度，选项D正确。
11．(2014·全国卷Ⅰ)(多选)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。则下列说法中正确的是( )
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径(AU)
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
A．各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
答案 BD
解析 设地球的运转周期为T0、角速度为ω0、轨道半径为r0，则其他行星的轨道半径为r＝kr0、角速度为ω，
根据万有引力提供向心力得
＝mωr0
＝m′ω2r
联立解得ω＝ω0
各行星要再次冲日需满足ω0t－ωt＝2π
即t＝T0，其中k＝1.5、5.2、9.5、19、30。
根据上式结合k值并由数学知识可知行星冲日的时间间隔一定大于1年，并且k值越大时间间隔越短，所以A错误，D正确；木星冲日的时间间隔t木≈1.09年，B正确；k天＝2k土，由于t不正比于，所以t天≠t土，C错误。
12．(2018·唐山统考)(多选)荷兰“Mars One”研究所推出了2023年让志愿者登陆火星、建立人类聚居地的计划，2013年该机构通过电视真人秀的方式招募首批4名志愿者，并于2024年前往火星，登陆火星需经历如图所示的变轨过程。已知引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．飞船在轨道上运行时，运行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠ
B．飞船在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
C．飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度
答案 ACD
解析 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个轨道半长轴依次变大，由开普勒第三定律可知，三个轨道所对应的周期也依次增大，故A项正确；飞船由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ需要减速，所以需要在P点朝速度方向喷气，飞船发动机对飞船做负功，飞船的机械能减少，B项错误，C项正确；若轨道Ⅰ贴近火星表面，则有G＝mω2R，M＝ρ·πR3，联立两式可求得火星密度ρ＝，D项正确。
13．(2018·南昌模拟) 如图所示，地球绕太阳公转，而月球又绕地球转动。它们的运动均可近似看成匀速圆周运动。如果要估算太阳对月球与地球对月球的引力之比，已知地球绕太阳公转的周期和月球绕地球运动周期，还需要测量的物理量是( )
A．地球绕太阳公转的半径
B．月球绕地球转动的半径
C．月球绕地球转动的半径和地球绕太阳公转的半径
D．月球的质量和地球绕太阳公转的半径
答案 C
解析 太阳对月球的引力F1＝，地球对月球的引力F2＝，m为月球质量，r日为月球到太阳的距离，月球到太阳的距离可认为与地球到太阳的距离相等；r地为月球到地球的距离。设地球的公转周期为T地，月球的公转周期为T月，则＝r日，＝r地，所求比值F1∶F2＝∶＝∶，T地、T月已知，还要知道r日、r地，C正确。
14．(2018·福建质量检查)位于贵州的“中国天眼”(FAST)是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜。通过FAST测得水星与太阳的视角为θ(水星、太阳分别与观察者的连线所夹的角)，如图所示。若最大视角的正弦值为k，地球和水星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，则水星的公转周期为( )
A.年 B. 年
C.年 D. 年
答案 C
解析 本题应先理解最大视角的定义，如图所示，连接太阳、水星，构成虚线三角形，由正弦定理得＝，sinα＝1，即α＝90°时θ最大，即此时观察者与水星的连线应与水星轨道相切，由三角函数可得sinθ＝，结合题中已知条件sinθ＝k，由万有引力提供向心力G＝mr，解得：T＝2π ，故＝＝＝，得T水＝T地·，而T地＝1年，故T水＝年，故选C。
考点一 卫星运行参量的分析与比较
1．理想模型：认为卫星绕中心天体都做匀速圆周运动。中心天体对卫星的万有引力提供向心力，即是匀速圆周运动的一种应用。
2．卫星的运行参数随轨道半径变化的规律
由G＝ma＝m＝mω2r＝mr＝m·4π2n2r可得：
⇒当r增大时越高越慢
3．地球同步卫星的六个“一定”
4．三类地球卫星和赤道上相对地面静止的物体的运动特点
(1)同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度、角速度、绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。
(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度和绕行方向与同步卫星相同。
假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )
A．地球的公转周期大于火星的公转周期
B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度
解析 由T＝2π ，得T地
答案 D
方法感悟
a、v、ω、T均与卫星(或行星)的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较，最终都归结到半径的比较。
1．有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．c在4 h内转过的圆心角是
C．在相同时间内b转过的弧长最长
D．d的运行周期可能是23 h
答案 C
解析 地球赤道上静止的物体随地球自转的向心加速度小于重力加速度，A错误；同步卫星c在4 h内转过的圆心角φ＝，B错误；相同时间内转过的弧长s＝vt由线速度v决定，卫星b的线速度最大，因此相同时间内b转过的弧长最长，C正确；d的轨道比同步卫星c的轨道高，其运行周期比c的大，故其运行周期一定大于24 h，D错误。
2．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时。假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )
A．距地面的高度变大 B．向心加速度变大
C．线速度变大 D．角速度变大
答案 A
解析 卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，即G＝m2r，得r＝ ，由于同步卫星的周期等于地球的自转周期，若地球自转变慢，自转周期变大，则同步卫星做圆周运动的半径会变大，离地面的高度变大，A项正确；由G＝ma得，a＝，半径变大，向心加速度变小，B项错误；由G＝m得，v＝ ，半径变大，线速度变小，C项错误；由ω＝分析得，同步卫星的周期变大，角速度变小，D项错误。
3. (2016·四川高考)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
A．a2>a1>a3 B．a3>a2>a1
C．a3>a1>a2 D．a1>a2>a3
答案 D
解析 卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有G＝m1a1，即a1＝，对于东方红二号，有G＝m2a2，即a2＝，由于h2>h1，故a1>a2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a＝ω2r，故a2>a3，所以a1>a2>a3，D正确，A、B、C错误。
考点二 宇宙速度的理解与计算
1．环绕速度与发射速度的比较
近地卫星的环绕速度v＝ ＝＝7.9_km/s，通常称为第一宇宙速度，它是地球周围的所有卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度。
2．三种宇宙速度
(多选)在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到 v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球。已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有( )
A．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大
B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大
C．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等
D．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大
解析 发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动，由＝，解得v＝ ，M为星球的质量，要使探测器脱离星球的吸引，则发射速度为v脱＝v＝，该速度与探测器的质量无关，由此式可知，探测器分别在地球和火星表面发射时的脱离速度不同，A、C错误；探测器受到的引力F＝，在两星球表面的引力之比＝·＝，B正确；探测器脱离星球的过程中，万有引力做负功，势能逐渐增大，D正确。
答案 BD
方法感悟
(1)第一宇宙速度的推导有两种方法：①由G＝m得v1＝ ；②由mg＝m得v1＝。
(2)第一宇宙速度的公式不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是M、R、g必须与相应星球对应，不能套用地球的参数。
1．若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的( )
A.倍 B. 倍
C. 倍 D.倍
答案 C
解析 地球卫星绕地球运动时，由牛顿第二定律得G＝m。同理，行星卫星绕该行星运动时，由牛顿第二定律得G＝m′。又M星＝pM地，R星＝qR地。由以上各式解得v星＝ v地，C正确。
2．我国“玉兔号”月球车被顺利送抵月球表面，并发回大量图片和信息。若该月球车在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2。已知地球半径为R1，月球半径为R2，地球表面处的重力加速度为g1，月球表面处的重力加速度为g2，则( )
A．“玉兔号”月球车在地球表面与月球表面质量之比为
B．地球的质量与月球的质量之比为
C．地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比为
D．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为
答案 D
解析 “玉兔号”无论在月球表面还是在地球表面质量都不会变化，A错误；地球表面月球车重力G1＝mg1，月球表面月球车重力G2＝mg2，可得地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比＝，C错误；在天体表面万有引力等于重力，即G1＝，G2＝，可得＝，B错误；分析可得地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比＝ ＝ ，D正确。
考点三 卫星的变轨问题
1．卫星变轨原理
(1)当卫星的速度减小时，卫星运行所需要的向心力小于所提供的万有引力，即G>m，卫星开始做近心运动，最终卫星在半径更小、速度更大的圆轨道上运动。
(2)当卫星的速度增大时，卫星运行所需要的向心力大于所提供的万有引力，即G
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
3．变轨过程各物理量分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点时的加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1
(多选)如图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图，假设“嫦娥三号”运行经过P点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q、高度为15 km，远地点为P、高度为100 km的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是( )
A．“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化
B．“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期
C．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度
D．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率可能小于经过P点时的速率
解析 “嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上的运动是匀速圆周运动，速度大小不变，A错误；由于圆轨道Ⅰ的轨道半径大于椭圆轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律，“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期，B正确；由于在Q点“嫦娥三号”所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度，C正确；根据开普勒第二定律可知“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率一定大于经过P点时的速率，D错误。
答案 BC
方法感悟
(1)一般变轨位置，不是在近地点，就是在远地点。
(2)卫星发射与回收过程，可以看成可逆过程去理解。
(3)速度：变轨前后，航天器在不同轨道上的速度大小，或根据离心运动的条件判断，或根据近心运动的条件判断，或根据开普勒第二定律判断(同一椭圆轨道上不同位置的速度)，或根据“越远越慢”判断。
(4)加速度：变轨前后，航天器的加速度大小可根据牛顿第二定律判断。
(5)周期：变轨前后，航天器在不同轨道上的运行周期的大小可根据开普勒第三定律＝k判断。
1．(2019·河南开封一模)2018年12月12日16时45分嫦娥四号探测器经过约110小时的奔月飞行到达月球附近。假设“嫦娥四号”在月球上空某高度处做圆周运动，运行速度为v1，为成功实施近月制动，使它进入更靠近月球的预定圆轨道，设其运行速度为v2。对这一变轨过程及变轨前后的速度对比正确的是( )
A．发动机向后喷气进入低轨道，v1>v2
B．发动机向后喷气进入低轨道，v1
D．发动机向前喷气进入低轨道，v1
解析 为成功实施近月制动，使“嫦娥四号”进入更靠近月球的预定圆轨道，故发动机应向前喷气减速，使“嫦娥四号”做近心运动，进入低轨道；在更靠近月球的预定圆轨道上运动时，轨道半径变小，根据万有引力提供向心力，则有：＝，解得：v＝，其中r为轨道半径，所以运行速度增大，即v1＜v2，故D正确，A、B、C错误。
2．(2018·银川一中模拟)我国于2017年11月发射“嫦娥五号”探月卫星，计划执行月面取样返回任务。“嫦娥五号”从月球返回地球的过程可以简单分成四步，如图所示第一步将“嫦娥五号”发射至月球表面附近的环月圆轨道Ⅰ，第二步在环月轨道的A处进行变轨进入月地转移轨道Ⅱ，第三步当接近地球表面附近时，又一次变轨，从B点进入绕地圆轨道Ⅲ，第四步再次变轨道后降落至地面，下列说法正确的是( )
A．将“嫦娥五号”发射至轨道Ⅰ时所需的发射速度为7.9 km/s
B．“嫦娥五号”从环月轨道Ⅰ进入月地转移轨道Ⅱ需要加速
C．“嫦娥五号”从A沿月地转移轨道Ⅱ到达B点的过程中其动能一直增加
D．“嫦娥五号”在第四步变轨时需要加速
答案 B
解析 根据v＝，月球的第一宇宙速度比地球的要小，故A错误；“嫦娥五号”从轨道Ⅰ进入月地转移轨道Ⅱ是离心运动，所以需要加速，故B正确；刚开始的时候月球对“嫦娥五号”的引力大于地球对“嫦娥五号”的引力，所以动能要减小，之后当地球的引力大于月球的引力时，卫星的动能就开始增加，故C错误；“嫦娥五号”降落至地面的运动为向心运动，需要减速，故D错误。
考点四 卫星的追及相遇问题
对于卫星的追及相遇问题一般存在下列两种情况：
1．卫星对接、摧毁，最常见的是由低轨道向高轨道正常运行的卫星对接。
2．绕行方向相同的两卫星和天体的连线在同一直线上，处于内轨道的卫星周期T1小，处于外轨道的卫星周期T2大。
(1)当两卫星都在天体同侧时，那么当t满足下列式子时两卫星相距最近：
t－t＝2nπ(n＝1,2,3，…)。
(2)当两卫星在天体异侧时，那么当t满足下列式子时两卫星相距最近：
t－t＝π＋2nπ(n＝0,1,2，…)。
如图所示，A是地球的同步卫星。另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地心。
(1)求卫星B的运行周期；
(2)如果卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
解析 (1)根据万有引力提供向心力，有
对卫星B：G＝m(R＋h)
对地球表面上的物体：G＝m′g
联立解得TB＝2π 。
(2)由题意得(ωB－ω0)t＝2π
又ωB＝，解得t＝ 。
答案 (1)2π (2)
方法感悟
绕同一天体运动且绕向相同的两卫星，从第一次相距最近到第二次相距最近，实际情况就是周期小的比周期大的多转过了2π弧度。
1. (2016·天津高考)我国发射了“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
答案 C
解析 飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，A错误；同理，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室做近心运动，也不能实现对接，B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，D错误。
2．(多选)太阳系中某行星运行的轨道半径为R0，周期为T0。但天文学家在长期观测中发现，其实际运行的轨道总是存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离(行星仍然近似做匀速圆周运动)。天文学家认为形成这种现象的原因可能是该行星外侧还存在着一颗未知行星。假设两行星的运行轨道在同一平面内，且绕行方向相同，则这颗未知行星运行轨道的半径R和周期T是(认为未知行星近似做匀速圆周运动)( )
A．T＝ B．T＝T0
C．R＝R0 D．R＝R0
答案 BC
解析 行星的轨道发生最大的偏离时一定是行星与未知行星相距最近时，设某时刻行星和未知行星相距最近，经过t0时间，行星和未知行星再次相距最近，则行星转过的角度为θ1＝·t0，未知行星转过的角度为θ2＝·t0，有θ1－θ2＝2π，解得T＝T0，A错误，B正确；根据开普勒第三定律有＝，故有R＝R0，C正确，D错误。
考点五 双星与多星问题
1．双星模型
(1)特点
①是一个绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，不受其他星体影响，这个系统称为双星。如图所示。
②各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2。
③两个星体的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
④两个星体的轨道半径与它们之间距离的关系为：r1＋r2＝L。
(2)两个星体到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成正比，即＝。
(3)双星的运动周期T＝2π。(同学们自己可以证明)
(4)双星的总质量m1＋m2＝。(同学们自己可以证明)
2．多星模型
(1)三星模型
①三星同线：如图甲所示。
特点：三星转动方向相同，角速度大小相等，都绕O点转动。
②三星在三角形三个顶点：如图乙所示。
特点：万有引力的合力指向圆心O点，合力提供向心力；三星同向转动；角速度大小相等，都绕O点转动；三星质量可以相等，也可两星质量相等，也可三星质量均不等。
注：三星质量相等的情况只是理想情况，实际不存在。
(2)四星模型
一般都在同一平面内绕同一圆心做匀速圆周运动，它们的周期都相等。
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。
②另一种是三颗星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。
冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的( )
A．轨道半径约为卡戎的
B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的7倍
D．向心力大小约为卡戎的7倍
解析 双星系统内的两颗星运动的角速度相同，根据m1ω2r1＝m2ω2r2，得＝＝，A正确，B错误；根据v＝ωr，得＝＝，C错误；双星的向心力都为二者间的万有引力，所以向心力大小相同，D错误。
答案 A
方法感悟
通常研究卫星绕地球或行星绕太阳运行问题时，卫星到地球中心或行星到太阳中心间距与它们的轨道半径大小是相等的，但在宇宙多星问题中，星体间距与轨道半径是不同的，这点要注意区分。
(2018·南宁一模)2016年2月11日，科学家宣布“激光干涉引力波天文台(LIGO)”探测到由两个黑洞合并产生的引力波信号，这是在爱因斯坦提出引力波概念100周年后，引力波被首次直接观测到。在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。如图所示，黑洞A、B可视为质点，它们围绕连线上O点做匀速圆周运动，且AO大于BO，不考虑其他天体的影响。下列说法正确的是( )
A．黑洞A的向心力大于B的向心力
B．黑洞A的线速度大于B的线速度
C．黑洞A的质量大于B的质量
D．两黑洞之间的距离越大，A的周期越小
答案 B
解析 黑洞A与黑洞B之间的力为作用力与反作用力，大小相等，A错误；黑洞A与黑洞B角速度相等，由v＝rω得黑洞A的线速度大于黑洞B的线速度，B正确；对双星系统，质量与圆周运动的半径成反比，得黑洞A的质量小于黑洞B的质量，C错误；由T＝2π，知两黑洞的距离越大，周期越大，D错误。
课后作业
[巩固强化练]
1．(多选)“嫦娥四号”(专家称为“四号星”)在2018年发射升空，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面地科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料。已知引力常量为G，月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，“嫦娥四号”离月球中心的距离为r，绕月周期为T。根据以上信息判断下列说法正确的是( )
A．月球的第一宇宙速度为
B．“嫦娥四号”绕月运行的速度为
C．月球的平均密度为ρ＝
D．“嫦娥四号”必须减速运动才能返回地球
答案 AC
解析 第一宇宙速度是卫星在星球表面的运行速度，根据万有引力提供向心力得G＝m，在月球表面，万有引力等于重力，得G＝mg，联立解得v＝，A正确；“嫦娥四号”绕月运行的速度v＝ ＝ ，B错误；根据万有引力提供向心力得G＝m2r，且M＝ρ·πR3，可得ρ＝，C正确；“嫦娥四号”必须加速做离心运动才能返回地球，D错误。
2．科学家预测在银河系里可能有一个“与地球相似”的行星，这个行星存在孕育生命的可能性，若质量可视为均匀分布的球形“与地球相似”的行星的密度为ρ，半径为R，自转周期为T0，万有引力常量为G，则( )
A．该“与地球相似”的行星的同步卫星的运行速率为
B．该“与地球相似”的行星的同步卫星的轨道半径为
C．该“与地球相似”的行星表面重力加速度在两极的大小为GρRπ
D．该“与地球相似”的行星的卫星在星球表面附近做圆周运动的速率为πR
答案 C
解析 根据匀速圆周运动线速度公式以及行星的同步卫星周期为T0，知其运行速率为v＝，r是行星的同步卫星的轨道半径，并不是R，A错误；行星对其同步卫星的万有引力提供向心力，设同步卫星轨道半径为r，则有G＝mr，且M＝ρ·πR3，解得r＝R ，B错误；由mg星＝G，且M＝ρ·πR3，解得g星＝GρRπ，C正确；卫星在行星表面附近做圆周运动的速率为v＝＝2πR，D错误。
3. 央视新闻2018年3月11日报道：中国将建设324颗卫星组星座，“用户不在服务区”将成历史。即将建设的全球低轨卫星星座被命名为“鸿雁”。据悉，北京航天飞行控制中心已对“鸿雁一号”卫星实施变轨控制。如图为“鸿雁一号”卫星某次在近地点A由轨道1变轨为轨道2的示意图，下列说法中正确的是( )
A．“鸿雁一号”在轨道1的B点处的速度比在轨道1的A点处的速度大
B．“鸿雁一号”在轨道1的A点处的速度比在轨道2的A点处的速度大
C．“鸿雁一号”在轨道1的A点处的加速度与在轨道2的A点处的加速度相等
D．“鸿雁一号”在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能大
答案 C
解析 在轨道1上从A到B过程中引力做负功，速度减小，故“鸿雁一号”在轨道1的B点处的速度比在轨道1的A点处的速度小，A错误；从轨道1变轨到轨道2，需要在A点点火加速，故“鸿雁一号”在轨道1的A点处的速度比在轨道2的A点处的速度小，B错误；“鸿雁一号”在轨道1的A点处的受力等于在轨道2的A点处的受力，根据a＝可知“鸿雁一号”在轨道1的A点处的加速度与在轨道2的A点处的加速度相等，C正确；因为卫星在轨道1的A点处点火加速进入轨道2，所以在轨道2的机械能大于在轨道1的机械能，故D错误。
4. 我国即将展开深空探测，计划在2020年通过一次发射，实现火星环绕探测和软着陆巡视探测，已知太阳的质量为M，地球、火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径分别为R1和R2，速率分别为v1和v2，地球绕太阳运动的周期为T。当质量为m的探测器被发射到以地球轨道上的A点为近日点，火星轨道上的B点为远日点的轨道上围绕太阳运行时(如图所示)，只考虑太阳对探测器的作用，则( )
A．探测器在A点加速度的值等于
B．探测器在B点的加速度为
C．探测器在B点的动能为mv
D．探测器沿椭圆轨道从A飞行到B的时间为
T
答案 A
解析 万有引力提供向心力，探测器受到的万有引力F＝，在A点时的加速度aA＝＝，因为对地球有a地＝＝，所以aA＝，A正确；在B点时aB＝，B错误；如果探测器沿火星轨道运动，则速度为v2，动能为mv，在椭圆轨道B点时速度小于v2，则动能小于mv，C错误；设探测器沿椭圆轨道的周期为T0，由开普勒第三定律得T2∶T＝R∶3，探测器从A到B的时间t＝＝，D错误。
[真题模拟练]
5．(2017·全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )
A．周期变大 B．速率变大
C．动能变大 D．向心加速度变大
答案 C
解析 天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道运行，根据G＝ma＝＝mr可知，组合体运行的向心加速度、速率、周期不变，质量变大，则动能变大，选项C正确。
6．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案 BC
解析 依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：G＝m1ω2r1，对m2：G＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝，联立以上各式可解得：r1＝L，r2＝L，m1＋m2＝，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝，C正确；质量之积m1m2＝·＝·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。
7．(2018·江苏高考)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )
A．周期 B．角速度
C．线速度 D．向心加速度
答案 A
解析 设地球质量为M，人造卫星质量为m，人造卫星做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有G＝m＝mω2r＝m2r＝ma，得v＝，ω＝，T＝2π ，a＝，因为“高分四号”的轨道半径比“高分五号”的轨道半径大，所以A正确，B、C、D错误。
8．(2018·天津高考) (多选)2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )
A．密度 B．向心力的大小
C．离地高度 D．线速度的大小
答案 CD
解析 根据题意，已知卫星运动的周期T，地球的半径R，地球表面的重力加速度g，卫星受到的万有引力充当向心力，故有G＝mr，等式两边卫星的质量被抵消，且卫星体积未知，则不能计算卫星的密度，更不能计算卫星的向心力大小，A、 B错误；由G＝mr，解得r＝ ，而r＝R＋h，故可计算卫星距离地球表面的高度，C正确；根据公式v＝，轨道半径可以求出，周期已知，故可以计算出卫星绕地球运动的线速度，D正确。
9．(2016·全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h
答案 B
解析 卫星围绕地球运转时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即＝m2r，解得周期T＝2π，由此可见，卫星的轨道半径r越小，周期T就越小，周期最小时，三颗卫星连线构成的等边三角形与赤道圆相切，如图所示，此时卫星轨道半径r＝2R，T＝2π ，又因为T0＝2π ＝24 h，所以T＝ ·T0＝ ×24 h≈4 h，B正确。
10．(2015·全国卷Ⅰ)(多选)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落。已知探测器的质量约为1.3×103 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2。则此探测器( )
A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s
B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N
C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
答案 BD
解析 由题述地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.7倍，由公式G＝mg，可得月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，即g月≈1.6 m/s2，由v2＝2g月h，解得此探测器在着陆瞬间的速度v≈3.6 m/s，选项A错误；由平衡条件可得悬停时受到的反冲作用力约为F＝mg月＝1.3×103×1.6 N≈2×103 N，选项B正确；从离开近月圆轨道到着陆这段时间，由于受到了反冲作用力，且反冲作用力对探测器做负功，所以探测器机械能减小，选项C错误；由G＝m，G＝mg，解得v＝，由于地球半径和地球表面的重力加速度均大于月球，所以探测器在近月圆轨道上运行的线速度要小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度，选项D正确。
11．(2014·全国卷Ⅰ)(多选)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。则下列说法中正确的是( )
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径(AU)
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
A．各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
答案 BD
解析 设地球的运转周期为T0、角速度为ω0、轨道半径为r0，则其他行星的轨道半径为r＝kr0、角速度为ω，
根据万有引力提供向心力得
＝mωr0
＝m′ω2r
联立解得ω＝ω0
各行星要再次冲日需满足ω0t－ωt＝2π
即t＝T0，其中k＝1.5、5.2、9.5、19、30。
根据上式结合k值并由数学知识可知行星冲日的时间间隔一定大于1年，并且k值越大时间间隔越短，所以A错误，D正确；木星冲日的时间间隔t木≈1.09年，B正确；k天＝2k土，由于t不正比于，所以t天≠t土，C错误。
12．(2018·唐山统考)(多选)荷兰“Mars One”研究所推出了2023年让志愿者登陆火星、建立人类聚居地的计划，2013年该机构通过电视真人秀的方式招募首批4名志愿者，并于2024年前往火星，登陆火星需经历如图所示的变轨过程。已知引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．飞船在轨道上运行时，运行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠ
B．飞船在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
C．飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度
答案 ACD
解析 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个轨道半长轴依次变大，由开普勒第三定律可知，三个轨道所对应的周期也依次增大，故A项正确；飞船由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ需要减速，所以需要在P点朝速度方向喷气，飞船发动机对飞船做负功，飞船的机械能减少，B项错误，C项正确；若轨道Ⅰ贴近火星表面，则有G＝mω2R，M＝ρ·πR3，联立两式可求得火星密度ρ＝，D项正确。
13．(2018·南昌模拟) 如图所示，地球绕太阳公转，而月球又绕地球转动。它们的运动均可近似看成匀速圆周运动。如果要估算太阳对月球与地球对月球的引力之比，已知地球绕太阳公转的周期和月球绕地球运动周期，还需要测量的物理量是( )
A．地球绕太阳公转的半径
B．月球绕地球转动的半径
C．月球绕地球转动的半径和地球绕太阳公转的半径
D．月球的质量和地球绕太阳公转的半径
答案 C
解析 太阳对月球的引力F1＝，地球对月球的引力F2＝，m为月球质量，r日为月球到太阳的距离，月球到太阳的距离可认为与地球到太阳的距离相等；r地为月球到地球的距离。设地球的公转周期为T地，月球的公转周期为T月，则＝r日，＝r地，所求比值F1∶F2＝∶＝∶，T地、T月已知，还要知道r日、r地，C正确。
14．(2018·福建质量检查)位于贵州的“中国天眼”(FAST)是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜。通过FAST测得水星与太阳的视角为θ(水星、太阳分别与观察者的连线所夹的角)，如图所示。若最大视角的正弦值为k，地球和水星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，则水星的公转周期为( )
A.年 B. 年
C.年 D. 年
答案 C
解析 本题应先理解最大视角的定义，如图所示，连接太阳、水星，构成虚线三角形，由正弦定理得＝，sinα＝1，即α＝90°时θ最大，即此时观察者与水星的连线应与水星轨道相切，由三角函数可得sinθ＝，结合题中已知条件sinθ＝k，由万有引力提供向心力G＝mr，解得：T＝2π ，故＝＝＝，得T水＝T地·，而T地＝1年，故T水＝年，故选C。
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