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2020年高考物理一轮复习文档：第9章恒定电流实验专题（十一） 第44讲
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第44讲 测定电源的电动势和内阻
一、实验目的
1．进一步理解闭合电路欧姆定律，掌握用电压表和电流表测量电源电动势和内阻的方法。
2．掌握用图象法求电动势和内阻的方法；理解并掌握路端电压U与干路电流I的关系图象(即UI图象)与纵、横坐标轴交点坐标的意义以及图象斜率的意义。
二、实验器材
电池(被测电源)、电压表、电流表、滑动变阻器、开关、导线、坐标纸、刻度尺、铅笔等。
考点一 实验原理与操作
1．实验原理
(1)实验依据：闭合电路欧姆定律。
(2)实验电路：如图1所示。
(3)E和r的求解
①由U＝E－Ir，得，
解得。
②作图法处理数据：如图2所示，由U＝E－Ir，得：图象与纵轴交点的纵坐标值为E，图线斜率绝对值为r。
2．实验操作
(1)连接电路
电流表用0.6 A量程，电压表用3 V量程，按图1连接好电路。
(2)测量与记录
①把滑动变阻器的滑片移动到使接入电路的阻值最大的一端。
②闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据(I1、U1)。用同样方法测量几组I、U值。填入表格。
③断开开关、拆除电路、整理器材。
(2018·广州高中毕业班综合测试一)图a为某同学测量一节干电池的电动势和内电阻的电路图。
(1)虚线框内是用毫安表改装成电流表的电路。已知毫安表表头的内阻为10 Ω，满偏电流为100 mA，电阻R1＝2.5 Ω，由此可知，改装后电流表的量程为________ A。
(2)实验步骤如下，请完成相应的填空：
①将滑动变阻器R的滑片移到________端(选填“A”或“B”)，闭合开关S；
②多次调节滑动变阻器的滑片，记下电压表的示数U和毫安表的示数I；某次测量时毫安表的示数如图b所示，其读数为________ mA。
③以U为纵坐标，I为横坐标，作UI图线，如图c所示；
④根据图线求得电源的电动势E＝________ V，内阻 r＝________ Ω。(结果均保留到小数点后两位)
解析 (1)根据电流表改装原理，改装后的量程I＝I表＋I1＝I表＋，代入数据得I＝0.5 A。
(2)①为保护电路，滑动变阻器为限流式接法时，闭合开关前，电阻应调至最大，故滑片应移到B端。②毫安表的最小刻度为2 mA，故读数为68 mA。④UI图象纵轴的截距表示电源电动势，故由图可知E＝1.48 V(1.47～1.49 V之间均可)，由于横轴与纵轴的交点处，纵坐标不为0，故不能用纵截距与横轴截距之比求内阻。电流表的电阻RA＝＝2 Ω，由E＝U＋5I·(r＋RA)，r＋RA＝＝2.45 Ω，r＝0.45 Ω(0.43～0.48 Ω均可)。
答案 (1)0.5
(2)①B ②68 ④1.48(1.47～1.49之间均可) 0.45(0.43～0.48之间均可)
方法感悟
(1)画UI图象时，为使图线尽量充满整个坐标空间，纵轴可不自零开始，并选取合适标度。
(2)若电流表或电压表内阻已知，处理问题时可将其看做一电阻。
在用电流表和电压表测电池的电动势和内阻的实验中，所用电流表和电压表的内阻分别为0.1 Ω和1 kΩ，图中为实验原理图及所需元件图。
(1)在图中画出连线将元件按原理图连接成实验电路。
(2)一位同学记录的6组数据见下表，试根据这些数据在图中画出UI图象，根据图象读出电池的电动势E＝________ V，根据图象求出电池内阻r＝________ Ω。
答案 (1)如图甲所示
(2)UI图象如图乙所示 1.46(1.45～1.47) 0.72
解析 (1)按照实验原理图将实物图连接起来，如答图甲所示。
(2)按U、I数据，在方格纸UI坐标上找点描迹，如答图乙所示。然后将直线延长，交U轴于U1＝1.46 V，此即为电源电动势；交I轴于I＝0.64 A，注意此时U2＝1.00 V，由闭合电路欧姆定律得I＝，则r＝＝ Ω≈0.72 Ω。
考点二 数据处理与误差分析
1．数据处理
方法一：列方程组求解电动势和内阻的大小
① ② ③
根据以上三组方程分别求出E、r，再取其平均值作为电源的电动势E和内阻r。
方法二：用图象法处理数据
在坐标纸上以路端电压U为纵轴、干路电流I为横轴建立UI坐标系，在坐标平面内描出各组(I，U)值所对应的点，然后尽量多地通过这些点作一条直线，不在直线上的点大致均匀分布在直线两侧，则直线与纵轴交点的纵坐标值即是电源电动势的大小(一次函数的纵轴截距)，直线斜率的绝对值即为电源的内阻r，即r＝＝。
2．误差分析
(1)偶然误差：读数不准引起误差；用图象法求E和r时，由于作图不准确造成误差。
(2)系统误差：用伏安法测电源电动势和内阻的方法很简单，但系统误差较大，这主要是由于电压表和电流表内阻对测量结果的影响而造成的。用这种方法测电动势可供选择的电路有两种，如图甲、乙所示。
①若采用甲图电路，由于电压表的分流作用造成误差，电压值越大，电压表的分流越多，对应的I真与I测的差越大。其UI图象如图丁所示。
结论：E测
②若采用乙图电路，由于电流表的分压作用造成误差，电流越大，电流表分压越多，对应U真与U测的差越大。其UI图象如图戊所示。
结论：E测＝E真，r测>r真。
另外，也可以用等效电路分析，实际电压表等效于一个理想电压表与一个电阻并联，实际电流表等效于一个理想电流表与一个电阻串联。所以用图乙进行测量时，仍把滑动变阻器作为外电路，因此电流表应看做内电路的一部分，因为电流表和电源串联，所以等效内阻r测应等于电源真实内阻r真和电流表内阻RA之和，即r测＝r真＋RA>r真，此时如果断开外电路，则电流为零，电流表两端电势相等，等效电源的电动势E测就是电源电动势的真实值E真，即E测＝E真。
用电流表和电压表测定一节干电池的电动势和内阻的实验中，所用电流表和电压表的内阻分别为0.1 Ω和1 kΩ，如图所示为所需的器材。
(1)请你把它们连成实验电路并在虚线框中画出电路图，注意两个电表要选用适当量程，并要求滑动变阻器的滑片在右端时其电阻值最大。
(2)下列说法正确的是( )
A．用图甲所示电路时，E测
解析 (1)实验电路图如答案图2所示，干电池的电动势在1.5 V左右，电压表选择0～3 V的量程，电流表选择0～0.6 A的量程。实物连线如答案图1所示。
(2)采用题图甲所示接法测电池的电动势和内阻时，电动势和内阻的测量值均小于真实值；采用题图乙所示电路时，电动势的测量值等于真实值，内阻的测量值大于真实值。
答案 (1)如图所示 (2)AB
方法感悟
该实验误差来源分析
(1)本实验系统误差产生的原因有：
①电压表的分流；
②通电时间过长可能引起电阻值变化。
(2)偶然误差产生的原因有：
①电表的读数；
②作图。
(2015·江苏高考)小明利用如图1所示的实验装置测量一干电池的电动势和内阻。
(1)图1中电流表的示数为________ A。
(2)调节滑动变阻器，电压表和电流表的示数记录如下：
请根据表中的数据，在图2的方格纸上作出UI图线。
由图线求得：电动势E＝________ V；内阻r＝________ Ω。
(3)实验时，小明进行了多次测量，花费了较长时间，测量期间一直保持电路闭合。其实，从实验误差考虑，这样的操作不妥，因为________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
答案 (1)0.44
(2)UI图线如图 1.60 1.22(1.18～1.26)
(3)干电池长时间使用后，电动势和内阻会发生变化，导致实验误差增大
解析 (1)由图可知，电流表的量程为0.6 A，精度为0.02 A，因此电流表的示数为0.02 A×22＝0.44 A。
(2)由图象与纵轴的截距得电动势为1.60 V，斜率即内阻为r＝ Ω≈1.22 Ω。
(3)如果一直保持电路闭合，干电池长时间使用后，电动势和内阻会发生变化，导致实验误差增大。
考点三 实验改进与创新
测量电源的电动势和内阻除了前面讲的电压表、电流表方案，还可以考虑用电流表、电阻箱方案、电压表、电阻箱方案以及双电流表、双电压表方案等。并且处理数据所用图象也多种多样，不管怎样，都写成一次函数的形式，注意截距和斜率的物理意义。
以下为两种典型方案。
(1)电流表、电阻箱方案(安阻法)
如图所示，由I＝变形得 R＝－r，改变电路的外电阻R，测出一系列的I和R值，作出R 图象。图象在R轴上的截距即为电源的内阻的负值，直线的斜率即电源的电动势E。
(2)电压表、电阻箱方案(伏阻法)
如图所示，由E＝U＋Ir及I＝可得E＝U＋r，或＝＋·，改变电路的外电阻R，测出一系列的U值，作出图象。图象在轴上的截距的倒数即为电源电动势，直线的斜率与在轴上的截距的倒数的乘积即为电源的内阻。
(2018·江苏高考)一同学测量某干电池的电动势和内阻。
(1)如图所示是该同学正准备接入最后一根导线(图中虚线所示)时的实验电路。请指出图中在器材操作上存在的两个不妥之处____________；____________。
(2)实验测得的电阻箱阻值R和电流表示数I，以及计算的数据见下表：
根据表中数据，在方格纸上作出R关系图象，由图象可计算出该干电池的电动势为________ V；内阻为________ Ω。
(3)为了得到更准确的测量结果，在测出上述数据后，该同学将一只量程为100 mV的电压表并联在电流表的两端。调节电阻箱，当电流表的示数为0.33 A时，电压表的指针位置如图所示，则该干电池的电动势应为________ V；内阻应为________ Ω。
解析 (1)连接电路时电源应与电路断开，所以开关要断开；另一错误是电阻箱接入电路的电阻是零，这样在闭合开关时，电路若产生强电流，容易烧坏电流表和电源。
(2)将数据描点连线，作出一条倾斜的直线，如答图所示。根据闭合电路欧姆定律E＝I(R＋r)得R＝E·－r，所以图线的斜率表示电源电动势，E＝ V＝1.37 V，截距绝对值表示电源内阻：r＝0.4×3.0 Ω＝1.20 Ω。
(3)用电压表与电流表并联，可测得电流表的内阻RA＝＝ Ω＝0.20 Ω，考虑电表内阻对实验的影响，则E＝I(R＋RA＋r)，得R＝E·－(RA＋r)，所以图线的斜率仍表示电动势，电动势的准确值为1.37 V，图线的截距绝对值表示(RA＋r)，所以内阻精确值为r＝(1.20－0.20) Ω＝1.00 Ω。
答案 (1)开关未断开 电阻箱阻值为零
(2)图象如图所示。
1．37(1.30～1.44都算正确) 1.20(1.0～1.4都算正确)
(3)1.37(结果与(2)问第一个空格一致) 1.00(结果比(2)问第二个空格小0.2)
方法感悟
用图象法解决问题，关键是根据题意写出函数关系，并根据图象整理关系式，从而找出斜率或者截距的物理意义，最后求出E、r及相关的物理量。
某研究小组同学要测量一个未知电源的电动势E及内阻r。手边的实验器材有：待测电源(电动势E约为4 V，内阻r约为0.8 Ω)，电压表V(量程为1 V，内阻RV约为1 kΩ)，滑动变阻器R1(0～10.0 Ω)，滑动变阻器R2(0～100.0 Ω)，电阻箱R3(0～99.99 Ω)，电阻箱R4(0～2.999 kΩ)，定值电阻R0(阻值为10 Ω)，开关S，导线若干。
(1)由于电压表V的量程太小，需将电压表量程扩大为3 V，则应测量此电压表的内阻RV，该小组同学依据图甲电路进行测量，步骤如下：
①S断开，使滑动变阻器的滑动片P处于最左端a，并将电阻箱的阻值调为零；
②闭合S，将滑动变阻器的滑动片P由左端缓慢向右滑动，当电压表的读数为满偏值时，滑动片P停止滑动；
③保持滑动变阻器的滑动片P位置不变，调节电阻箱的阻值使电压表的读数为满偏值的一半时，记下电阻箱的阻值Ra＝995 Ω。
该实验中电阻箱应选用________，滑动变阻器应选用________。(填入器材所对应的符号)
从以上步骤测得的数据可得，要改装成量程为3 V的电压表，该电压表应串联的分压电阻Rb＝________ Ω。
(2)研究小组的同学利用题给的电压表(表盘未改动)串联分压电阻Rb构成量程为3 V的电压表后，设计了图乙的电路测量电源电动势E及内阻r。为了使电压表的读数随电阻箱的阻值改变而有较大的变化，在干路上连接了一个阻值为R0的定值电阻，实验过程中通过改变电阻箱的阻值R得到多组对应电压表的读数值U。导出的与的函数关系式为____________；由此作出的图象如图丙所示，得到图线的截距为b，斜率为k。则电源电动势的表达式为________；内阻的表达式为________。
答案 (1)R4 R1 1990
(2)＝·＋ E＝ r＝－R0
解析 (1)该实验中电阻箱应选用R4，滑动变阻器分压接法应选用R1，由半偏法原理可知电压表内阻RV＝Ra＝995 Ω，由电表的改装可知该电压表应串联的分压电阻Rb＝Ra＝1990 Ω。
(2)由闭合电路欧姆定律E＝3U＋(r＋R0)，整理得＝·＋，截距b＝，斜率k＝，解得E＝，r＝－R0。
课后作业
1.(2018·银川一中高三一模)如图所示，用伏安法测电源电动势和内阻的实验中，在电路中接一阻值为2 Ω的电阻R0，通过调节滑动变阻器阻值，得到几组电表的实验数据：
(1)R0的作用是______________________。
(2)用作图法在坐标系内作出UI图线。
(3)利用图线，测得电动势E＝________ V，内阻r＝________ Ω。
(4)某同学测另一串联电池组的输出功率P随外电阻R变化的曲线如图所示。由所得图线可知，被测电池组电动势E＝________ V，电池组的内阻r＝________ Ω。
答案 (1)保护电源、电表，防止短路
(2)如图所示
(3)1.5 1 (4)30 5
解析 (1)通过电源、电表的电流不宜太大，故在干路上串联一个定值电阻，以防止短路，减小最大电流。故答案为：保护电源、电表，防止短路。
(2)先描点，然后用一条直线连接起来，如果不能通过所有点，使直线两侧的点数大致相同，见答案图。
(3)电源的UI图象的纵轴截距表示电源的电动势，故E＝1.5 V；斜率大小表示内电阻，即R0＋r＝＝＝3 Ω，故r＝3 Ω－2 Ω＝1 Ω。
(4)当内外电阻相等时电源的输出功率最大，由图象可知，当R＝5 Ω时，P有最大值为45 W，根据P＝得此时路端电压为U＝15 V，所以电动势为E＝30 V，电池组的内阻为5 Ω。
2．(2018·甘肃省兰化一中高三二模)某学习小组利用图甲所示的电路测量电源的电动势及内阻，同时测量电压表V1、V2的内阻(由电流计改装，所用量程的内阻较小)。可使用的器材有：电流表A1、A2、A3，开关S，滑动变阻器R1、R2，若干导线。
(1)按照原理图甲将图乙中的实物连线补充完整。
(2)完成电路连接后，进行如下实验：
ⅰ.闭合开关S，通过反复调节滑动变阻器R1、R2，使电流表A3的示数为0，此时电流表A1、A2的示数分别为104.1 mA和81.5 mA，电压表V1、V2的示数分别为1.60 V和1.03 V。
ⅱ.再次调节R1、R2，使电流表A3的示数再次为0，此时电流表A1、A2的示数分别为167.7 mA和46.4 mA，电压表V1、V2的示数分别为0.91 V和1.66 V。
完成下列填空：
①实验中，调节滑动变阻器R1、R2，当电流表A3示数为0时，电路中B点与C点的电势________。(填“相等”或“不相等”)
②根据以上实验数据可得，电源的电动势E＝________ V，内阻r＝________ Ω。(均保留一位小数)
③根据以上实验数据可得，电压表V1的内阻为________ Ω，电压表V2的内阻为________ Ω。(均保留一位小数)
④电流表A1、A2的内阻对电源的电动势和内阻的测量________影响。(填“有”或“无”)
答案 (1)如图所示
(2)①相等 ②3.0 2.1 ③19.6 9.9 ④无
解析 (2)①实验中，调节滑动变阻器R1、R2，当电流表A3示数为0时，电路中B点与C点的电势相等。
②根据闭合电路的欧姆定律E＝U＋Ir可得：
E＝(1.60＋1.03)＋(104.1＋81.5)×10－3r；
E＝(1.66＋0.91)＋(167.7＋46.4)×10－3r；
联立解得：r＝2.1 Ω，E＝3.0 V。
③由欧姆定律可知：RV2＝＝ Ω＝9.9 Ω；RV1＝＝ Ω＝19.6 Ω。
④由实验电路可知，电流表A1、A2的内阻对电源的电动势和内阻的测量无影响。
3．(2018·安徽省江南十校3月检测)如图所示，该电路在测量电源电动势和内阻的同时也能完成对未知电阻Rx的测量。实验室提供的器材如下：
A．待测电阻Rx(约10 Ω)
B．电源(四节干电池)
C．电阻箱(0～99.9 Ω)
D．电压表V1(量程6 V，内阻约8 kΩ)
E．电压表V2(量程3 V，内阻约4 kΩ)
(1)闭合开关，调节电阻箱的阻值，让电压表V2接近满偏，并读出两个电压表的读数。逐渐增加电阻箱的阻值，并分别读出两只电压表读数。则随着电阻箱阻值的增加，电压表V1读数________，电压表V2读数________。(填“增大”或“减小”)
(2)如果纵坐标表示两个电压表读数之比，横坐标表示电阻箱的阻值R，实验结果的图象如图1。则待测电阻Rx＝________ Ω。
(3)如果纵坐标表示某电压表读数U，横坐标表示两个电压表读数之差与电阻箱阻值的比值，实验结果的图象如图2。其中能读出电源电动势和内电阻的是________(填“图线Ⅰ”或“图线Ⅱ”)。两图线交点的横坐标为________ A，纵坐标为________ V(结果均保留两位有效数字)。
答案 (1)增大 减小 (2)9 (3)图线Ⅰ 0.40 3.6
解析 (1)电阻箱的阻值R增大，根据I＝可知电路电流减小，内电压减小，外电压增大，即电压表V1的示数增大，电压表V2的示数U2＝IRx减小。
(2)由欧姆定律知，U1＝I(R＋Rx)，U2＝IRx，联立可得：＝＋1，由图知当R＝18 Ω时，＝3，代入数据可得Rx＝9 Ω。
(3)根据闭合电路的欧姆定律：U1＝－r＋E，根据图线Ⅰ可读出电动势E＝6 V、内阻r＝6 Ω；
图线Ⅱ：U2＝Rx，图线交点：
U＝－r＋E＝Rx，
代入数据解得：＝0.40 A，U＝3.6 V。
4．(2018·潍坊高三统考)某实验小组测量一节干电池的电动势和内阻，可选用的实验器材如下：
A．待测干电池
B．电流表A1(0～200 μA，内阻为500 Ω)
C．电流表A2(0～0.6 A，内阻约为0.3 Ω)
D．电压表V(0～15 V，内阻约为5 kΩ)
E．电阻箱R(0～9999.9 Ω)
F．定值电阻R0(阻值为1 Ω)
G．滑动变阻器R′(0～10 Ω)
H．开关、导线若干
(1)该小组在选择器材时，放弃使用电压表，原因是______________。
(2)该小组利用电流表和电阻箱改装成一量程为2 V的电压表，并设计了如图甲所示的电路，图中电流表a为________(选填“A1”或“A2”)，电阻箱R的阻值为________ Ω。
(3)闭合开关，调节滑动变阻器，读出两电流表的示数I1、I2的多组数据，在坐标纸上描绘出I1－I2图线如图乙所示。根据描绘出的图线，可得所测干电池的电动势E＝________ V，内阻r＝________ Ω。(保留两位有效数字)
答案 (1)电压表量程太大，测量误差大
(2)A1 9500 (3)1.5 0.76
解析 (1)由于一节干电池的电动势约为1.5 V，而电压表的量程为15 V，量程太大，测量误差较大，因此放弃使用电压表。
(2)将电流表改装成电压表时，应将内阻已知的电流表进行改装，即题图甲中的电流表a应为A1，由电压表的改装原理可知Ig(R1＋R)＝U，代入数据得，200×10－6 A×(500 Ω＋R)＝2 V，解得R＝9500 Ω。
(3)由闭合电路欧姆定律可得E＝I1(R1＋R)＋(I1＋I2)(R0＋r)，整理得I1＝－I2＋，结合题图乙可得＝148×10－6 A，－＝，解得E≈1.5 V、r≈0.76 Ω。
5.根据闭合电路欧姆定律，用图甲所示电路可以测定电池的电动势和内电阻。图中R0是定值电阻，通过改变R的阻值，测出R0两端的对应电压U12，对所得的实验数据进行处理，就可以实现测量目的。根据实验数据在R坐标系中描出坐标点，如图乙所示。已知R0＝150 Ω，请完成以下数据分析和处理。
(1)图乙中电阻为________ Ω的数据点应剔除。
(2)在坐标纸上画出R关系图线。
(3)图线的斜率是________ V－1·Ω－1，由此可得电池电动势Ex＝________ V。
答案 (1)80.0'(2)图见解析
(3)4.44×10－3(4.42×10－3～4.46×10－3均正确)' 1.50(1.49～1.51均正确)
解析 (1)图中偏离图线较远的点要舍去，所以电阻为80.0 Ω的数据点应剔除。
(2)在坐标纸画一条平滑曲线，如图所示。
(3)图线的斜率k＝ V－1·Ω－1≈4.44×10－3 V－1·Ω－1，根据闭合电路欧姆定律可得＝，整理得＝＋·R，即＝4.44×10－3，则电池电动势Ex≈1.50 V。
6．物理兴趣小组的同学用如下器材测定一节干电池的电动势和内阻：
直流电流表(量程0～0.6 A,0～3 A；内阻约1 Ω)
直流电压表(量程0～3 V,0～15 V；内阻约5 kΩ)
定值电阻R0(阻值近似为8 Ω)
滑动变阻器R(0～10 Ω，2 A)
电源(电动势约为1.5 V，内阻约为4 Ω)
开关和若干导线
有两个小组的同学分别设计了如图所示的两个实验方案，然后这两个小组的同学按正确的实验步骤进行了实验。分析下列问题：
(1)如果某小组的同学选用实验方案二，则请按方案二将下列实物图连接起来。
(2)实验后两个小组的同学将他们的实验数据作在同一个UI坐标中，得到了如图所示的两条伏安特性曲线。通过分析可知图中所示的伏安特性曲线中，甲图线是利用方案________实验得到的图象，乙图线是利用方案________(均填“一”或“二”)实验得到的图象。
(3)图中两图线在纵轴上的截距相同，由图可知，被测电源的电动势E＝________ V，电源的内阻r＝________ Ω。
(4)本实验中提供的定值电阻的阻值R0＝________ Ω。
答案 (1)如图所示
(2)二 一 (3)1.50 3.98 (4)8.30
解析 (1)所连实物图如答图所示。
(2)在方案二中将R0等效为电源的内阻，由此该方案所测得的电源内阻将变大，所以图中甲图线是由方案二实验数据得到的，图线乙是由方案一实验数据得到的。
(3)对于方案一，可将R0看成是滑动变阻器的一部分，由图象求得电源的电动势为E＝1.50 V。
由图象乙可求得电源的内阻为r＝＝ Ω≈3.98 Ω。
(4)对于方案二，由闭合电路的欧姆定律得E＝U＋I(r＋R0)，可见R0可等效为电源的内阻，可见在UI图象中图象在纵坐标上的截距表示电源的电动势，图象的斜率表示“电源内阻与R0之和”，由图象甲可得：r＋R0＝＝ Ω≈12.28 Ω，可得R0＝12.28 Ω－3.98 Ω＝8.30 Ω。
一、实验目的
1．进一步理解闭合电路欧姆定律，掌握用电压表和电流表测量电源电动势和内阻的方法。
2．掌握用图象法求电动势和内阻的方法；理解并掌握路端电压U与干路电流I的关系图象(即UI图象)与纵、横坐标轴交点坐标的意义以及图象斜率的意义。
二、实验器材
电池(被测电源)、电压表、电流表、滑动变阻器、开关、导线、坐标纸、刻度尺、铅笔等。
考点一 实验原理与操作
1．实验原理
(1)实验依据：闭合电路欧姆定律。
(2)实验电路：如图1所示。
(3)E和r的求解
①由U＝E－Ir，得，
解得。
②作图法处理数据：如图2所示，由U＝E－Ir，得：图象与纵轴交点的纵坐标值为E，图线斜率绝对值为r。
2．实验操作
(1)连接电路
电流表用0.6 A量程，电压表用3 V量程，按图1连接好电路。
(2)测量与记录
①把滑动变阻器的滑片移动到使接入电路的阻值最大的一端。
②闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据(I1、U1)。用同样方法测量几组I、U值。填入表格。
③断开开关、拆除电路、整理器材。
(2018·广州高中毕业班综合测试一)图a为某同学测量一节干电池的电动势和内电阻的电路图。
(1)虚线框内是用毫安表改装成电流表的电路。已知毫安表表头的内阻为10 Ω，满偏电流为100 mA，电阻R1＝2.5 Ω，由此可知，改装后电流表的量程为________ A。
(2)实验步骤如下，请完成相应的填空：
①将滑动变阻器R的滑片移到________端(选填“A”或“B”)，闭合开关S；
②多次调节滑动变阻器的滑片，记下电压表的示数U和毫安表的示数I；某次测量时毫安表的示数如图b所示，其读数为________ mA。
③以U为纵坐标，I为横坐标，作UI图线，如图c所示；
④根据图线求得电源的电动势E＝________ V，内阻 r＝________ Ω。(结果均保留到小数点后两位)
解析 (1)根据电流表改装原理，改装后的量程I＝I表＋I1＝I表＋，代入数据得I＝0.5 A。
(2)①为保护电路，滑动变阻器为限流式接法时，闭合开关前，电阻应调至最大，故滑片应移到B端。②毫安表的最小刻度为2 mA，故读数为68 mA。④UI图象纵轴的截距表示电源电动势，故由图可知E＝1.48 V(1.47～1.49 V之间均可)，由于横轴与纵轴的交点处，纵坐标不为0，故不能用纵截距与横轴截距之比求内阻。电流表的电阻RA＝＝2 Ω，由E＝U＋5I·(r＋RA)，r＋RA＝＝2.45 Ω，r＝0.45 Ω(0.43～0.48 Ω均可)。
答案 (1)0.5
(2)①B ②68 ④1.48(1.47～1.49之间均可) 0.45(0.43～0.48之间均可)
方法感悟
(1)画UI图象时，为使图线尽量充满整个坐标空间，纵轴可不自零开始，并选取合适标度。
(2)若电流表或电压表内阻已知，处理问题时可将其看做一电阻。
在用电流表和电压表测电池的电动势和内阻的实验中，所用电流表和电压表的内阻分别为0.1 Ω和1 kΩ，图中为实验原理图及所需元件图。
(1)在图中画出连线将元件按原理图连接成实验电路。
(2)一位同学记录的6组数据见下表，试根据这些数据在图中画出UI图象，根据图象读出电池的电动势E＝________ V，根据图象求出电池内阻r＝________ Ω。
答案 (1)如图甲所示
(2)UI图象如图乙所示 1.46(1.45～1.47) 0.72
解析 (1)按照实验原理图将实物图连接起来，如答图甲所示。
(2)按U、I数据，在方格纸UI坐标上找点描迹，如答图乙所示。然后将直线延长，交U轴于U1＝1.46 V，此即为电源电动势；交I轴于I＝0.64 A，注意此时U2＝1.00 V，由闭合电路欧姆定律得I＝，则r＝＝ Ω≈0.72 Ω。
考点二 数据处理与误差分析
1．数据处理
方法一：列方程组求解电动势和内阻的大小
① ② ③
根据以上三组方程分别求出E、r，再取其平均值作为电源的电动势E和内阻r。
方法二：用图象法处理数据
在坐标纸上以路端电压U为纵轴、干路电流I为横轴建立UI坐标系，在坐标平面内描出各组(I，U)值所对应的点，然后尽量多地通过这些点作一条直线，不在直线上的点大致均匀分布在直线两侧，则直线与纵轴交点的纵坐标值即是电源电动势的大小(一次函数的纵轴截距)，直线斜率的绝对值即为电源的内阻r，即r＝＝。
2．误差分析
(1)偶然误差：读数不准引起误差；用图象法求E和r时，由于作图不准确造成误差。
(2)系统误差：用伏安法测电源电动势和内阻的方法很简单，但系统误差较大，这主要是由于电压表和电流表内阻对测量结果的影响而造成的。用这种方法测电动势可供选择的电路有两种，如图甲、乙所示。
①若采用甲图电路，由于电压表的分流作用造成误差，电压值越大，电压表的分流越多，对应的I真与I测的差越大。其UI图象如图丁所示。
结论：E测
②若采用乙图电路，由于电流表的分压作用造成误差，电流越大，电流表分压越多，对应U真与U测的差越大。其UI图象如图戊所示。
结论：E测＝E真，r测>r真。
另外，也可以用等效电路分析，实际电压表等效于一个理想电压表与一个电阻并联，实际电流表等效于一个理想电流表与一个电阻串联。所以用图乙进行测量时，仍把滑动变阻器作为外电路，因此电流表应看做内电路的一部分，因为电流表和电源串联，所以等效内阻r测应等于电源真实内阻r真和电流表内阻RA之和，即r测＝r真＋RA>r真，此时如果断开外电路，则电流为零，电流表两端电势相等，等效电源的电动势E测就是电源电动势的真实值E真，即E测＝E真。
用电流表和电压表测定一节干电池的电动势和内阻的实验中，所用电流表和电压表的内阻分别为0.1 Ω和1 kΩ，如图所示为所需的器材。
(1)请你把它们连成实验电路并在虚线框中画出电路图，注意两个电表要选用适当量程，并要求滑动变阻器的滑片在右端时其电阻值最大。
(2)下列说法正确的是( )
A．用图甲所示电路时，E测
解析 (1)实验电路图如答案图2所示，干电池的电动势在1.5 V左右，电压表选择0～3 V的量程，电流表选择0～0.6 A的量程。实物连线如答案图1所示。
(2)采用题图甲所示接法测电池的电动势和内阻时，电动势和内阻的测量值均小于真实值；采用题图乙所示电路时，电动势的测量值等于真实值，内阻的测量值大于真实值。
答案 (1)如图所示 (2)AB
方法感悟
该实验误差来源分析
(1)本实验系统误差产生的原因有：
①电压表的分流；
②通电时间过长可能引起电阻值变化。
(2)偶然误差产生的原因有：
①电表的读数；
②作图。
(2015·江苏高考)小明利用如图1所示的实验装置测量一干电池的电动势和内阻。
(1)图1中电流表的示数为________ A。
(2)调节滑动变阻器，电压表和电流表的示数记录如下：
请根据表中的数据，在图2的方格纸上作出UI图线。
由图线求得：电动势E＝________ V；内阻r＝________ Ω。
(3)实验时，小明进行了多次测量，花费了较长时间，测量期间一直保持电路闭合。其实，从实验误差考虑，这样的操作不妥，因为________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
答案 (1)0.44
(2)UI图线如图 1.60 1.22(1.18～1.26)
(3)干电池长时间使用后，电动势和内阻会发生变化，导致实验误差增大
解析 (1)由图可知，电流表的量程为0.6 A，精度为0.02 A，因此电流表的示数为0.02 A×22＝0.44 A。
(2)由图象与纵轴的截距得电动势为1.60 V，斜率即内阻为r＝ Ω≈1.22 Ω。
(3)如果一直保持电路闭合，干电池长时间使用后，电动势和内阻会发生变化，导致实验误差增大。
考点三 实验改进与创新
测量电源的电动势和内阻除了前面讲的电压表、电流表方案，还可以考虑用电流表、电阻箱方案、电压表、电阻箱方案以及双电流表、双电压表方案等。并且处理数据所用图象也多种多样，不管怎样，都写成一次函数的形式，注意截距和斜率的物理意义。
以下为两种典型方案。
(1)电流表、电阻箱方案(安阻法)
如图所示，由I＝变形得 R＝－r，改变电路的外电阻R，测出一系列的I和R值，作出R 图象。图象在R轴上的截距即为电源的内阻的负值，直线的斜率即电源的电动势E。
(2)电压表、电阻箱方案(伏阻法)
如图所示，由E＝U＋Ir及I＝可得E＝U＋r，或＝＋·，改变电路的外电阻R，测出一系列的U值，作出图象。图象在轴上的截距的倒数即为电源电动势，直线的斜率与在轴上的截距的倒数的乘积即为电源的内阻。
(2018·江苏高考)一同学测量某干电池的电动势和内阻。
(1)如图所示是该同学正准备接入最后一根导线(图中虚线所示)时的实验电路。请指出图中在器材操作上存在的两个不妥之处____________；____________。
(2)实验测得的电阻箱阻值R和电流表示数I，以及计算的数据见下表：
根据表中数据，在方格纸上作出R关系图象，由图象可计算出该干电池的电动势为________ V；内阻为________ Ω。
(3)为了得到更准确的测量结果，在测出上述数据后，该同学将一只量程为100 mV的电压表并联在电流表的两端。调节电阻箱，当电流表的示数为0.33 A时，电压表的指针位置如图所示，则该干电池的电动势应为________ V；内阻应为________ Ω。
解析 (1)连接电路时电源应与电路断开，所以开关要断开；另一错误是电阻箱接入电路的电阻是零，这样在闭合开关时，电路若产生强电流，容易烧坏电流表和电源。
(2)将数据描点连线，作出一条倾斜的直线，如答图所示。根据闭合电路欧姆定律E＝I(R＋r)得R＝E·－r，所以图线的斜率表示电源电动势，E＝ V＝1.37 V，截距绝对值表示电源内阻：r＝0.4×3.0 Ω＝1.20 Ω。
(3)用电压表与电流表并联，可测得电流表的内阻RA＝＝ Ω＝0.20 Ω，考虑电表内阻对实验的影响，则E＝I(R＋RA＋r)，得R＝E·－(RA＋r)，所以图线的斜率仍表示电动势，电动势的准确值为1.37 V，图线的截距绝对值表示(RA＋r)，所以内阻精确值为r＝(1.20－0.20) Ω＝1.00 Ω。
答案 (1)开关未断开 电阻箱阻值为零
(2)图象如图所示。
1．37(1.30～1.44都算正确) 1.20(1.0～1.4都算正确)
(3)1.37(结果与(2)问第一个空格一致) 1.00(结果比(2)问第二个空格小0.2)
方法感悟
用图象法解决问题，关键是根据题意写出函数关系，并根据图象整理关系式，从而找出斜率或者截距的物理意义，最后求出E、r及相关的物理量。
某研究小组同学要测量一个未知电源的电动势E及内阻r。手边的实验器材有：待测电源(电动势E约为4 V，内阻r约为0.8 Ω)，电压表V(量程为1 V，内阻RV约为1 kΩ)，滑动变阻器R1(0～10.0 Ω)，滑动变阻器R2(0～100.0 Ω)，电阻箱R3(0～99.99 Ω)，电阻箱R4(0～2.999 kΩ)，定值电阻R0(阻值为10 Ω)，开关S，导线若干。
(1)由于电压表V的量程太小，需将电压表量程扩大为3 V，则应测量此电压表的内阻RV，该小组同学依据图甲电路进行测量，步骤如下：
①S断开，使滑动变阻器的滑动片P处于最左端a，并将电阻箱的阻值调为零；
②闭合S，将滑动变阻器的滑动片P由左端缓慢向右滑动，当电压表的读数为满偏值时，滑动片P停止滑动；
③保持滑动变阻器的滑动片P位置不变，调节电阻箱的阻值使电压表的读数为满偏值的一半时，记下电阻箱的阻值Ra＝995 Ω。
该实验中电阻箱应选用________，滑动变阻器应选用________。(填入器材所对应的符号)
从以上步骤测得的数据可得，要改装成量程为3 V的电压表，该电压表应串联的分压电阻Rb＝________ Ω。
(2)研究小组的同学利用题给的电压表(表盘未改动)串联分压电阻Rb构成量程为3 V的电压表后，设计了图乙的电路测量电源电动势E及内阻r。为了使电压表的读数随电阻箱的阻值改变而有较大的变化，在干路上连接了一个阻值为R0的定值电阻，实验过程中通过改变电阻箱的阻值R得到多组对应电压表的读数值U。导出的与的函数关系式为____________；由此作出的图象如图丙所示，得到图线的截距为b，斜率为k。则电源电动势的表达式为________；内阻的表达式为________。
答案 (1)R4 R1 1990
(2)＝·＋ E＝ r＝－R0
解析 (1)该实验中电阻箱应选用R4，滑动变阻器分压接法应选用R1，由半偏法原理可知电压表内阻RV＝Ra＝995 Ω，由电表的改装可知该电压表应串联的分压电阻Rb＝Ra＝1990 Ω。
(2)由闭合电路欧姆定律E＝3U＋(r＋R0)，整理得＝·＋，截距b＝，斜率k＝，解得E＝，r＝－R0。
课后作业
1.(2018·银川一中高三一模)如图所示，用伏安法测电源电动势和内阻的实验中，在电路中接一阻值为2 Ω的电阻R0，通过调节滑动变阻器阻值，得到几组电表的实验数据：
(1)R0的作用是______________________。
(2)用作图法在坐标系内作出UI图线。
(3)利用图线，测得电动势E＝________ V，内阻r＝________ Ω。
(4)某同学测另一串联电池组的输出功率P随外电阻R变化的曲线如图所示。由所得图线可知，被测电池组电动势E＝________ V，电池组的内阻r＝________ Ω。
答案 (1)保护电源、电表，防止短路
(2)如图所示
(3)1.5 1 (4)30 5
解析 (1)通过电源、电表的电流不宜太大，故在干路上串联一个定值电阻，以防止短路，减小最大电流。故答案为：保护电源、电表，防止短路。
(2)先描点，然后用一条直线连接起来，如果不能通过所有点，使直线两侧的点数大致相同，见答案图。
(3)电源的UI图象的纵轴截距表示电源的电动势，故E＝1.5 V；斜率大小表示内电阻，即R0＋r＝＝＝3 Ω，故r＝3 Ω－2 Ω＝1 Ω。
(4)当内外电阻相等时电源的输出功率最大，由图象可知，当R＝5 Ω时，P有最大值为45 W，根据P＝得此时路端电压为U＝15 V，所以电动势为E＝30 V，电池组的内阻为5 Ω。
2．(2018·甘肃省兰化一中高三二模)某学习小组利用图甲所示的电路测量电源的电动势及内阻，同时测量电压表V1、V2的内阻(由电流计改装，所用量程的内阻较小)。可使用的器材有：电流表A1、A2、A3，开关S，滑动变阻器R1、R2，若干导线。
(1)按照原理图甲将图乙中的实物连线补充完整。
(2)完成电路连接后，进行如下实验：
ⅰ.闭合开关S，通过反复调节滑动变阻器R1、R2，使电流表A3的示数为0，此时电流表A1、A2的示数分别为104.1 mA和81.5 mA，电压表V1、V2的示数分别为1.60 V和1.03 V。
ⅱ.再次调节R1、R2，使电流表A3的示数再次为0，此时电流表A1、A2的示数分别为167.7 mA和46.4 mA，电压表V1、V2的示数分别为0.91 V和1.66 V。
完成下列填空：
①实验中，调节滑动变阻器R1、R2，当电流表A3示数为0时，电路中B点与C点的电势________。(填“相等”或“不相等”)
②根据以上实验数据可得，电源的电动势E＝________ V，内阻r＝________ Ω。(均保留一位小数)
③根据以上实验数据可得，电压表V1的内阻为________ Ω，电压表V2的内阻为________ Ω。(均保留一位小数)
④电流表A1、A2的内阻对电源的电动势和内阻的测量________影响。(填“有”或“无”)
答案 (1)如图所示
(2)①相等 ②3.0 2.1 ③19.6 9.9 ④无
解析 (2)①实验中，调节滑动变阻器R1、R2，当电流表A3示数为0时，电路中B点与C点的电势相等。
②根据闭合电路的欧姆定律E＝U＋Ir可得：
E＝(1.60＋1.03)＋(104.1＋81.5)×10－3r；
E＝(1.66＋0.91)＋(167.7＋46.4)×10－3r；
联立解得：r＝2.1 Ω，E＝3.0 V。
③由欧姆定律可知：RV2＝＝ Ω＝9.9 Ω；RV1＝＝ Ω＝19.6 Ω。
④由实验电路可知，电流表A1、A2的内阻对电源的电动势和内阻的测量无影响。
3．(2018·安徽省江南十校3月检测)如图所示，该电路在测量电源电动势和内阻的同时也能完成对未知电阻Rx的测量。实验室提供的器材如下：
A．待测电阻Rx(约10 Ω)
B．电源(四节干电池)
C．电阻箱(0～99.9 Ω)
D．电压表V1(量程6 V，内阻约8 kΩ)
E．电压表V2(量程3 V，内阻约4 kΩ)
(1)闭合开关，调节电阻箱的阻值，让电压表V2接近满偏，并读出两个电压表的读数。逐渐增加电阻箱的阻值，并分别读出两只电压表读数。则随着电阻箱阻值的增加，电压表V1读数________，电压表V2读数________。(填“增大”或“减小”)
(2)如果纵坐标表示两个电压表读数之比，横坐标表示电阻箱的阻值R，实验结果的图象如图1。则待测电阻Rx＝________ Ω。
(3)如果纵坐标表示某电压表读数U，横坐标表示两个电压表读数之差与电阻箱阻值的比值，实验结果的图象如图2。其中能读出电源电动势和内电阻的是________(填“图线Ⅰ”或“图线Ⅱ”)。两图线交点的横坐标为________ A，纵坐标为________ V(结果均保留两位有效数字)。
答案 (1)增大 减小 (2)9 (3)图线Ⅰ 0.40 3.6
解析 (1)电阻箱的阻值R增大，根据I＝可知电路电流减小，内电压减小，外电压增大，即电压表V1的示数增大，电压表V2的示数U2＝IRx减小。
(2)由欧姆定律知，U1＝I(R＋Rx)，U2＝IRx，联立可得：＝＋1，由图知当R＝18 Ω时，＝3，代入数据可得Rx＝9 Ω。
(3)根据闭合电路的欧姆定律：U1＝－r＋E，根据图线Ⅰ可读出电动势E＝6 V、内阻r＝6 Ω；
图线Ⅱ：U2＝Rx，图线交点：
U＝－r＋E＝Rx，
代入数据解得：＝0.40 A，U＝3.6 V。
4．(2018·潍坊高三统考)某实验小组测量一节干电池的电动势和内阻，可选用的实验器材如下：
A．待测干电池
B．电流表A1(0～200 μA，内阻为500 Ω)
C．电流表A2(0～0.6 A，内阻约为0.3 Ω)
D．电压表V(0～15 V，内阻约为5 kΩ)
E．电阻箱R(0～9999.9 Ω)
F．定值电阻R0(阻值为1 Ω)
G．滑动变阻器R′(0～10 Ω)
H．开关、导线若干
(1)该小组在选择器材时，放弃使用电压表，原因是______________。
(2)该小组利用电流表和电阻箱改装成一量程为2 V的电压表，并设计了如图甲所示的电路，图中电流表a为________(选填“A1”或“A2”)，电阻箱R的阻值为________ Ω。
(3)闭合开关，调节滑动变阻器，读出两电流表的示数I1、I2的多组数据，在坐标纸上描绘出I1－I2图线如图乙所示。根据描绘出的图线，可得所测干电池的电动势E＝________ V，内阻r＝________ Ω。(保留两位有效数字)
答案 (1)电压表量程太大，测量误差大
(2)A1 9500 (3)1.5 0.76
解析 (1)由于一节干电池的电动势约为1.5 V，而电压表的量程为15 V，量程太大，测量误差较大，因此放弃使用电压表。
(2)将电流表改装成电压表时，应将内阻已知的电流表进行改装，即题图甲中的电流表a应为A1，由电压表的改装原理可知Ig(R1＋R)＝U，代入数据得，200×10－6 A×(500 Ω＋R)＝2 V，解得R＝9500 Ω。
(3)由闭合电路欧姆定律可得E＝I1(R1＋R)＋(I1＋I2)(R0＋r)，整理得I1＝－I2＋，结合题图乙可得＝148×10－6 A，－＝，解得E≈1.5 V、r≈0.76 Ω。
5.根据闭合电路欧姆定律，用图甲所示电路可以测定电池的电动势和内电阻。图中R0是定值电阻，通过改变R的阻值，测出R0两端的对应电压U12，对所得的实验数据进行处理，就可以实现测量目的。根据实验数据在R坐标系中描出坐标点，如图乙所示。已知R0＝150 Ω，请完成以下数据分析和处理。
(1)图乙中电阻为________ Ω的数据点应剔除。
(2)在坐标纸上画出R关系图线。
(3)图线的斜率是________ V－1·Ω－1，由此可得电池电动势Ex＝________ V。
答案 (1)80.0'(2)图见解析
(3)4.44×10－3(4.42×10－3～4.46×10－3均正确)' 1.50(1.49～1.51均正确)
解析 (1)图中偏离图线较远的点要舍去，所以电阻为80.0 Ω的数据点应剔除。
(2)在坐标纸画一条平滑曲线，如图所示。
(3)图线的斜率k＝ V－1·Ω－1≈4.44×10－3 V－1·Ω－1，根据闭合电路欧姆定律可得＝，整理得＝＋·R，即＝4.44×10－3，则电池电动势Ex≈1.50 V。
6．物理兴趣小组的同学用如下器材测定一节干电池的电动势和内阻：
直流电流表(量程0～0.6 A,0～3 A；内阻约1 Ω)
直流电压表(量程0～3 V,0～15 V；内阻约5 kΩ)
定值电阻R0(阻值近似为8 Ω)
滑动变阻器R(0～10 Ω，2 A)
电源(电动势约为1.5 V，内阻约为4 Ω)
开关和若干导线
有两个小组的同学分别设计了如图所示的两个实验方案，然后这两个小组的同学按正确的实验步骤进行了实验。分析下列问题：
(1)如果某小组的同学选用实验方案二，则请按方案二将下列实物图连接起来。
(2)实验后两个小组的同学将他们的实验数据作在同一个UI坐标中，得到了如图所示的两条伏安特性曲线。通过分析可知图中所示的伏安特性曲线中，甲图线是利用方案________实验得到的图象，乙图线是利用方案________(均填“一”或“二”)实验得到的图象。
(3)图中两图线在纵轴上的截距相同，由图可知，被测电源的电动势E＝________ V，电源的内阻r＝________ Ω。
(4)本实验中提供的定值电阻的阻值R0＝________ Ω。
答案 (1)如图所示
(2)二 一 (3)1.50 3.98 (4)8.30
解析 (1)所连实物图如答图所示。
(2)在方案二中将R0等效为电源的内阻，由此该方案所测得的电源内阻将变大，所以图中甲图线是由方案二实验数据得到的，图线乙是由方案一实验数据得到的。
(3)对于方案一，可将R0看成是滑动变阻器的一部分，由图象求得电源的电动势为E＝1.50 V。
由图象乙可求得电源的内阻为r＝＝ Ω≈3.98 Ω。
(4)对于方案二，由闭合电路的欧姆定律得E＝U＋I(r＋R0)，可见R0可等效为电源的内阻，可见在UI图象中图象在纵坐标上的截距表示电源的电动势，图象的斜率表示“电源内阻与R0之和”，由图象甲可得：r＋R0＝＝ Ω≈12.28 Ω，可得R0＝12.28 Ω－3.98 Ω＝8.30 Ω。
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