2020版物理浙江高考选考一轮复习讲义：选修3-2第九章专题课1电磁感应中的图象和电路问题

专题课1　电磁感应中的图象和电路问题

　电磁感应中的图象问题

1.图象类型

(1)电磁感应中常涉及磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I等随时间变化的图象，即B－t图象、Φ－t图象、E－t图象和I－t图象。

(2)对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，有时还常涉及感应电动势E和感应电流I等随位移变化的图象，即E－x图象和I－x图象等。

2.两类图象问题

(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象。

(2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量。

3.解题关键

弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键。

4.电磁感应中图象类选择题的两个常用方法

命题角度1　磁感应强度变化的图象问题

【例1】　矩形导线框abcd放在匀强磁场中静止不动，磁场方向与线框平面垂直，磁感应强度B随时间t变化的图象如图1所示。设t＝0时刻，磁感应强度的方向垂直纸面向里，则在0～4 s时间内，选项图中能正确反映线框ab边所受的安培力F随时间t变化的图象是(规定ab边所受的安培力向左为正)(　　)

图1

解析　在0～1 s内，由法拉第电磁感应定律可知，产生的感应电流大小恒定，由楞次定律可得线框内产生的感应电流方向为顺时针方向，根据左手定则可判断出线框ab边所受安培力方向向左(为正)，由F＝BIL可知F随磁感应强度的减小而减小。在1～2 s内，由楞次定律可得线框内产生的感应电流方向为顺时针方向，根据左手定则可判断出线框ab边所受安培力方向向右(为负)，由F＝BIL可知F随磁感应强度的增大而增大。同理在2～3 s内，线框ab边所受安培力方向向左(为正)，由F＝BIL可知F随磁感应强度的减小而减小。在3～4 s内，线框ab边所受安培力方向向右(为负)，由F＝BIL可知F随磁感应强度的增大而增大，D正确。

答案　D

【变式训练1】　(多选)如图2甲所示，一个刚性圆形线圈与电阻R构成闭合回路，线圈平面与所在处的匀强磁场方向垂直，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。下列关于线圈中产生的感应电动势e、电阻R消耗的功率P随时间t变化的图象，可能正确的有(　　)

图2

解析　线圈的面积不变，磁场均匀变化，由e＝nS得感应电动势为定值，且磁场增强和磁场减弱导致产生的感应电动势的方向相反，选项A错误，B正确；对于电阻R，流过的电流大小不变，消耗的功率恒定，选项C错误，D正确。

答案　BD

命题角度2　导体切割磁感线的图象问题

【例2】　(2018·东北三校联考)(多选)如图3所示，M、N为同一水平面内的两条平行长直导轨，左端串联电阻R，金属杆ab垂直导轨放置，金属杆和导轨的电阻不计，杆与导轨间接触良好且无摩擦，整个装置处于竖直方向的匀强磁场中。现对金属杆ab施加一个与其垂直的水平方向的恒力F，使金属杆从静止开始运动。在运动过程中，金属杆的速度大小为v，R上消耗的总能量为E，则下列关于v、E随时间变化的图象可能正确的是(　　)

图3

解析　对金属杆ab施加一个与其垂直的水平方向的恒力F，使金属杆从静止开始运动。由于金属杆切割磁感线产生感应电动势和感应电流，受到随速度的增大而增大的安培力作用，所以金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，当安培力增大到等于水平方向的恒力F时，金属杆做匀速直线运动，v－t图象A正确，B错误；由功能关系知，开始水平方向的恒力F做的功一部分使金属杆动能增大，另一部分转化为电能，被电阻R消耗掉；当金属杆匀速运动后，水平方向的恒力F所做的功等于R上消耗的总能量E，因此E－t图象可能正确的是选项D。

答案　AD

【变式训练2】　(2018·全国卷Ⅱ，18)如图4，在同一水平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下。一边长为l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动。线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是(　　)

图4

解析　设线框运动的速度为v，则线框向左匀速运动第一个的时间内，线框切割磁感线运动产生的电动势为E＝2Bdv(d为导轨间距)，电流i＝，回路中电流方向为顺时针；第二个的时间内，线框切割磁感线运动产生的电动势为零，电流为零；第三个的时间内，线框切割磁感线运动产生的电动势为E＝2Bdv，电流i＝，回路中电流方向为逆时针，所以D正确。

答案　D

　电磁感应中的电路问题

1.电磁感应中电路知识的关系图

 闭合电路

2.“三步走”分析电路为主的电磁感应问题

【例3】　（2018·安徽A10联盟联考）如图5所示，光滑平行金属导轨PQ、MN固定在光滑绝缘水平面上，导轨左端连接有阻值为R的定值电阻，导轨间距为L，磁感应强度大小为B、方向竖直向上的有界匀强磁场的边界ab、cd均垂直于导轨，且间距为s，e、f分别为ac、bd的中点，将一长度为L、质量为m、阻值也为R的金属棒垂直导轨放置在ab左侧s处，现给金属棒施加一个大小为F、方向水平向右的恒力，使金属棒从静止开始向右运动，金属棒向右运动过程中始终垂直于导轨并与导轨接触良好。当金属棒运动到ef位置时，加速度刚好为零，不计其他电阻。求：

图5

（1）金属棒运动到ef位置时的速度大小；

（2）金属棒从初位置运动到ef位置，通过金属棒的电荷量；

（3）金属棒从初位置运动到ef位置，定值电阻R上产生的焦耳热。

解析　（1）设金属棒运动到与ef重合时速度为v，

则感应电动势E＝BLv

电路中电流I＝

由于加速度刚好为零，则F＝F安＝BIL

求得v＝

（2）通过金属棒的电荷量q＝IΔt

＝

＝＝

求得q＝

（3）设定值电阻R中产生的焦耳热为Q，由于金属棒的电阻也为R，因此整个电路中产生的总的焦耳热为2Q。金属棒从静止运动到ef位置的过程中，根据动能定理有WF＋W安＝mv2

根据功能关系有W安＝－2Q

拉力F做的功WF＝Fs

求得Q＝Fs－

答案　（1）　（2）　（3）Fs－

【变式训练3】　（2018·江西新余期末）如图6甲所示，水平面上的两光滑金属导轨平行固定放置，间距d＝0.5 m，电阻不计，左端通过导线与阻值R＝2 Ω的电阻连接，右端通过导线与阻值RL＝4 Ω的小灯泡L连接。在CDFE矩形区域内有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，CE长l＝2 m，有一阻值r＝2 Ω的金属棒PQ放置在靠近磁场边界CD处（恰好不在磁场中）。CDFE区域内磁场的磁感应强度B随时间变化的图象如图乙所示。在t＝0至t＝4 s内，金属棒PQ保持静止，在t＝4 s时使金属棒PQ以某一速度进入磁场区域并保持匀速运动。已知从t＝0开始到金属棒运动到磁场边界EF处的整个过程中，小灯泡的亮度没有发生变化。求：

图6

（1）通过小灯泡的电流；

（2）金属棒PQ在磁场区域中运动的速度大小。

解析　（1）在t＝0至t＝4 s内，金属棒PQ保持静止，磁场变化导致电路中产生感应电动势。等效电路为r与R并联，再与RL串联，电路的总电阻

R总＝RL＋＝5 Ω

此时感应电动势

E＝＝dl＝0.5×2×0.5 V＝0.5 V

通过小灯泡的电流I＝＝0.1 A。

（2）当棒在磁场区域中运动时，由导体棒切割磁感线产生电动势，等效电路为R与RL并联，再与r串联，此时电路的总电阻R总′＝r＋＝ Ω＝ Ω

由于灯泡中电流不变，所以灯泡的电流IL＝I＝0.1 A，则流过金属棒的电流为

I′＝IL＋IR＝IL＋＝0.3 A

电动势E′＝I′R总′＝Bdv

解得棒PQ在磁场区域中运动的速度大小v＝1 m/s。

答案　（1）0.1 A　（2）1 m/s

活页作业

（时间：30分钟）

A组　基础过关

1．（2018·孝感模拟）如图1甲所示，在电阻R＝1 Ω，面积S1＝0.3 m2的圆形线框中心区域存在匀强磁场，圆形磁场区面积S2＝0.2 m2。若取磁场方向垂直纸面向外为正方向，磁感应强度B随时间的变化规律可用图乙描述，则线框中的感应电流I（取顺时针方向为正方向）随时间t的变化图线是    （　　）

图1

答案　C

2．下列四个选项图中，虚线上方空间都存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。A、B中的导线框为正方形，C、D中的导线框为直角扇形。各导线框均绕垂直纸面轴O在纸面内匀速转动，转动方向如箭头所示，转动周期均为T。从线框处于图示位置时开始计时，以在OP边上从P点指向O点的方向为感应电流i的正方向。则在如图所示的四个情景中，产生的感应电流i随时间t的变化规律如图2所示的是（　　）

图2

解析　根据感应电流在一段时间恒定，导线框应为扇形；由右手定则可判断出产生的感应电流i随时间t的变化规律如题图所示的是选项C。

答案　C

3．（多选）如图3所示，先后以速度v1和v2匀速把一矩形线圈拉出有界匀强磁场区域，v1＝2v2，在先后两种情况下（　　）

图3

A．线圈中的感应电流之比I1∶I2＝2∶1

B．线圈中的感应电流之比I1∶I2＝1∶2

C．线圈中产生的焦耳热之比Q1∶Q2＝4∶1

D．通过线圈某截面的电荷量之比q1∶q2＝1∶1

解析　由于v1＝2v2，根据E＝BLv得感应电动势之比＝，感应电流I＝，则感应电流之比为＝，A正确，B错误；线圈出磁场所用的时间t＝，则时间比为＝，根据Q＝I2Rt可知热量之比为＝，C错误；根据q＝IΔt＝Δt＝Δt＝得＝，D正确。

答案　AD

4.如图4甲所示，线圈ABCD固定于匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向外，当磁场变化时，线圈AB边所受安培力向右且变化规律如图乙所示，则磁场的变化情况可能是图中的（　　）

图4

解析　由题意可知，安培力的方向向右，根据左手定则可知感应电流的方向由B到A，再由楞次定律可知，当垂直向外的磁场在增加时，会产生由B到A的感应电流，由法拉第电磁感应定律，结合闭合电路欧姆定律，则安培力的表达式F＝BIL＝BL，因安培力的大小不变，则B是定值，因磁场B增大，则减小，故选项D正确，选项A、B、C错误。

答案　D

5.（2018·内蒙古部分学校高三上学期期末联考）如图5甲所示，固定闭合线圈abcd处于方向垂直纸面向外的磁场中，磁感线分布均匀，磁场的磁感应强度大小B随时间t的变化规律如图乙所示，则下列说法正确的是（　　）

图5

A.t＝1 s时，ab边受到的安培力方向向左

B.t＝2 s时，ab边受到的安培力为0

C.t＝2 s时，ab边受到的安培力最大

D.t＝4 s时，ab边受到的安培力最大

解析　由题图知，0～2 s内磁感应强度大小逐渐增大，根据楞次定律知线圈中产生感应电流的方向为顺时针方向，根据左手定则判断知ab边受到的安培力方向向右，选项A错误；t＝2 s时，＝0，感应电流I＝0，安培力F＝0，选项B正确，C错误；t＝4 s时，B＝0，安培力F＝0，选项D错误。

答案　B

6.如图6所示，两个互连的金属圆环，小金属环的电阻是大金属环电阻的二分之一，磁场垂直穿过大金属环所在区域，当磁感应强度随时间均匀变化时，在大环内产生的感应电动势为E，则a、b两点间的电势差为（　　）

图6

A.E    B.E 

C.E    D.E

解析　a、b间的电势差等于路端电压，而小环电阻占电路总电阻的，故a、b间电势差为U＝E，选项B正确。

答案　B

7.（2018·山东第一次大联考）（多选）如图7所示，导体棒沿两平行导轨从图中位置以速度v向右匀速通过一正方形abcd磁场区域，ac垂直于导轨且平行于导体棒，ac右侧的磁感应强度是左侧的2倍且方向相反，导轨和导体棒的电阻均不计，下列关于导体棒中感应电流和所受安培力随时间变化的图象正确的是（规定电流由M经R到N为正方向，安培力向左为正方向）（　　）

图7

解析　导体棒在左半区域时，根据右手定则，通过棒的电流方向向上，电流由M经R到N为正值，且逐渐变大，导体棒在右半区域时，根据右手定则，通过棒的电流方向向下，电流为负值，且逐渐减小，且经过分界线时感应电流大小突然加倍，选项A正确，B错误；第一段时间内安培力大小F＝BIL＝∝L2∝t2，第2段时间内F′＝2BI′L＝∝L2∝t2，选项C正确，D错误。

答案　AC

B组　能力提升

8.（多选）如图8所示，一个边长为L的正方形线框abcd无初速度地从高处释放，线框下落过程中，下边保持水平向下平动，在线框的下方，有一个上、下界面都水平的匀强磁场区，磁场区高度为2L，磁场方向与线框平面垂直，闭合线框下落后，刚好匀速进入磁场区，在整个进出磁场过程中，线框中的感应电流I随位移x变化的图象可能是下图中的（　　）

图8

解析　线框刚进入磁场时，＝mg，下边始终匀速切割磁感线，通过线框的感应电流的大小恒定为I0，方向不变，线框完全进入磁场后，安培力立即消失，线框仅在重力的作用下做匀加速运动，当线框下边刚出磁场时，线框的速度大于进入磁场时的速度，故电流大于I0，选项A、C错误；线框所受安培力大于重力，线框做减速运动，感应电流及安培力都减小，所以线框的加速度a＝也减小，当加速度减小到0时，电流为I0，选项B、D中在x＝2L和x＝3L之间的曲线，分别对应着上边刚要出磁场时，线框的速度已减小到进入磁场时的速度和未减小到该速度两种情况，因此选项B、D正确。

答案　BD

9.（多选）如图9所示，一不计电阻的导体圆环，半径为r、圆心在O点，过圆心放置一长度为2r、电阻为R的辐条，辐条与圆环接触良好，现将此装置放置于磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场中，磁场边界恰与圆环直径在同一直线上，现使辐条以角速度ω绕O点逆时针转动，右侧电路通过电刷与圆环中心和环的边缘相接触，R1＝，S处于闭合状态，不计其他电阻，则下列判断正确的是（　　）

图9

A.通过R1的电流方向为自下而上

B.感应电动势大小为2Br2ω

C.理想电压表的示数为Br2ω

D.理想电流表的示数为

解析　由右手定则可知圆环中心为电源的正极、圆环边缘为电源的负极，因此通过R1的电流方向为自下而上，选项A正确；由题意可知，始终有长度为r的辐条在转动切割磁感线，因此感应电动势大小为Br2ω，选项B错误；由图可知，在磁场内部的半根辐条相当于电源，磁场外部的半根辐条与R1并联，因此理想电压表的示数为Br2ω，选项C正确；理想电流表的示数为，选项D错误。

答案　AC

10.如图10所示，间距L＝1 m的两根足够长的固定水平平行导轨间存在着匀强磁场，其磁感应强度大小B＝1 T、方向垂直于纸面向里，导轨上有一金属棒MN与导轨垂直且在水平拉力F作用下以v＝2 m/s的速度水平向左匀速运动。R1＝8 Ω，R2＝12 Ω，C＝6μF，导轨和棒的电阻及一切摩擦均不计。开关S1、S2闭合，电路稳定后，求：

图10

（1）通过R2的电流I的大小和方向；

（2）拉力F的大小；

（3）开关S1切断后通过R2的电荷量Q。

解析　（1）开关S1、S2闭合后，根据右手定则知棒中的感应电流方向是由M→N，所以通过R2的电流方向是由b→a

MN中产生的感应电动势的大小E＝BLv

流过R2的电流I＝

代入数据解得I＝0.1 A

（2）棒受力平衡有F＝F安，F安＝BIL

代入数据解得F＝0.1 N

（3）开关S1、S2闭合，电路稳定后，电容器所带电荷量

Q1＝CIR2

S1切断后，流过R2的电荷量Q等于电容器所带电荷量的减少量，即Q＝Q1－0

代入数据解得Q＝7.2×10－6 C

答案　（1）0.1 A，方向是b→a　（2）0.1 N

（3）7.2×10－6 C

11.在倾角为θ＝37°的斜面上，放置MN和PQ两根不等间距的光滑金属导轨，该装置放置在垂直斜面向下的匀强磁场中。导轨M、P端间接入阻值R1＝30 Ω的电阻和理想电流表，N、Q端间接阻值为R2＝6 Ω的电阻。质量为m＝0.6 kg、长为L＝1.5 m的金属棒放在导轨上以v0＝5 m/s的初速度从ab处向右上方滑到a′b′处的时间为t＝0.5 s，滑过的距离l＝0.5 m。ab处导轨间距Lab＝0.8 m，a′b′处导轨间距La′b′＝1 m。若金属棒滑动时电流表的读数始终保持不变，不计金属棒和导轨的电阻。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：

图11

（1）此过程中电阻R1上产生的热量；

（2）此过程中电流表上的读数；

（3）匀强磁场的磁感应强度。

解析　（1）因电流表的读数始终保持不变，即感应电动势不变，

故BLabv0＝BLa′b′va′b′，代入数据可得va′b′＝4 m/s，

根据能量转化和守恒定律，

得Q总＝m（v－v）－mglsin 37°＝QR1＋QR2

由Q＝t，得＝，

代入数据可求，得QR1＝0.15 J

（2）由焦耳定律QR1＝IR1t可知电流表读数

I1＝＝0.1 A

（3）不计金属棒和导轨上的电阻，则R1两端的电压始终等于金属棒与两轨接触间的电动势，

由E＝I1R1，E＝BLa′b′va′b′可得

B＝＝0.75 T

答案　（1）0.15 J　（2）0.1 A　（3）0.75 T