2020版物理新增分大一轮人教通用版讲义：第七章静电场第2讲

第2讲　电场能的性质

一、静电力做功和电势能
1．静电力做功
(1)特点：静电力做功与路径无关，只与电荷量和电荷移动过程始、末位置间的电势差有关．
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为带电体在沿电场方向的位移．
②WAB＝qUAB，适用于任何电场．
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能．
(2)说明：电势能具有相对性，通常把无穷远处或大地的电势能规定为零．
3．静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB.
(2)通过WAB＝EpA－EpB可知：静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少．
(3)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零势能位置过程中静电力所做的功．
自测1　关于静电力做功和电势能的理解，下列说法正确的是(　　)
A．静电力做功与重力做功相似，均与路径无关
B．正电荷具有的电势能一定是正的，负电荷具有的电势能一定是负的
C．静电力做正功，电势能一定增加
D．静电力做功为零，电荷的电势能也为零
答案　A
二、电势　等势面
1．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值．
(2)定义式：φ＝.
(3)矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)．
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同．
2．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点组成的面．
(2)四个特点：
①在同一等势面上移动电荷时电场力不做功．
②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面．
③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．
④任意两个等势面都不相交．
自测2　(2016·全国卷Ⅲ·15)关于静电场的等势面，下列说法正确的是(　　)
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
答案　B
解析　若两个不同的等势面相交，则在交点处存在两个不同电势数值，与事实不符，A错；电场线一定与等势面垂直，B对；同一等势面上的电势相同，但电场强度不一定相等，C错；将一负电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做负功，D错．
三、电势差
1．定义：电荷在电场中由一点A移到另一点B时，电场力所做的功WAB与移动电荷的电荷量q的比值．
2．定义式：UAB＝.
3．影响因素
电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB无关，与零电势点的选取无关．
4．电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA.
5．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与电场强度的关系式：UAB＝E·d，其中d为电场中两点间沿电场方向的距离．
(2)电场强度的方向和大小与电势差的关系：电场中，电场强度方向指向电势降低最快的方向；在匀强电场中，电场强度在数值上等于沿电场强度方向每单位距离上降低的电势．
自测3　(多选)关于电势差的计算公式，下列说法正确的是(　　)
A．电势差的公式UAB＝说明两点间的电势差UAB与电场力做功WAB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比
B．把正电荷从A点移动到B点电场力做正功，则有UAB>0
C．电势差的公式UAB＝中，UAB与移动电荷的电荷量q无关
D．电场中A、B两点间的电势差UAB等于把正电荷q从A点移动到B点时电场力所做的功
答案　BC
四、静电感应和静电平衡
1．静电感应
当把一个不带电的金属导体放在电场中时，导体的两端分别感应出等量的正、负电荷，“近端”出现与施感电荷异种的感应电荷，“远端”出现与施感电荷同种的感应电荷．这种现象叫静电感应．
2．静电平衡
(1)定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场的场强在导体内部大小相等且方向相反，使得叠加场强为零时，自由电荷不再发生定向移动，导体处于静电平衡状态．
(2)处于静电平衡状态的导体的特点
①导体内部的场强处处为零；
②导体是一个等势体，导体表面是等势面；
③导体表面处的场强方向与导体表面垂直；
④导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上；
⑤在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有净电荷.

命题点一　电场能的性质的理解
1．电势高低的四种判断方法
(1)依据电场线方向：沿电场线方向电势逐渐降低．
(2)依据电场力做功：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低．
(3)电荷的正负：取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低．
(4)依据电势能的高低：正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低．
2．电势能大小的四种判断方法
(1)做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大．
(2)电荷电势法：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大．
(3)公式法：由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式进行判断．
(4)能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大时，电势能减小，反之电势能增大．

例1　(多选)(2018·全国卷Ⅰ·21)图1中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V．一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV.下列说法正确的是(　　)

图1
A．平面c上的电势为零
B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
答案　AB
解析　因等势面间距相等，由U＝Ed得相邻虚线之间电势差相等，由a到d，－eUad＝－6 eV，故Uad＝6 V；各虚线电势如图所示，因电场力做负功，故电场方向向右，沿电场线方向电势降低，φc＝0，A项正确；因电子的速度方向未知，若不垂直于等势面，如图中实曲线所示，

电子可能到达不了平面f，B项正确；经过d时，电势能Ep＝－eφd＝2 eV，C项错误；由a到b，Wab＝Ekb－Eka＝－2 eV，所以Ekb＝8 eV；由a到d，Wad＝Ekd－Eka＝－6 eV，所以Ekd＝4 eV；则Ekb＝2Ekd，根据Ek＝mv2知vb＝vd，D项错误．
变式1　(多选)(2016·全国卷Ⅰ·20)如图2所示，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面(纸面)内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称．忽略空气阻力．由此可知(　　)

图2
A．Q点的电势比P点高
B．油滴在Q点的动能比它在P点的大
C．油滴在Q点的电势能比它在P点的大
D．油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小
答案　AB
解析　由于油滴受到的电场力和重力都是恒力，所以合外力为恒力，加速度恒定不变，D选项错误；由于油滴轨迹相对于过P的竖直线对称且合外力总是指向轨迹弯曲内侧，所以油滴所受合外力沿竖直向上的方向，因此电场力竖直向上，且qE>mg，则电场方向竖直向下，所以Q点的电势比P点的高，A选项正确；假设油滴从P点运动到Q点，当油滴从P点运动到Q点时，电场力做正功，电势能减小，C选项错误；假设油滴从P点运动到Q点，当油滴从P点运动到Q点的过程中，合外力做正功，动能增加，所以油滴在Q点的动能大于在P点的动能，B选项正确．
命题点二　电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离．
(2)沿电场强度方向电势降落得最快．
(3)在同一直线上或相互平行的两条直线上距离相等的两点间电势差相等．
2．E＝在非匀强电场中的几点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密．
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系：如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小．
3．解题思路

例2　(多选)(2017·全国卷Ⅲ·21)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图3所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V．下列说法正确的是(　　)

图3
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
答案　ABD
解析　如图所示，

设a、c之间的d点电势与b点电势相同，则＝＝，所以d点的坐标为(3.5 cm,6 cm)，过c点作等势线bd的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势．由几何关系可得，cf的长度为3.6 cm，电场强度的大小E＝＝＝2.5 V/cm，故选项A正确；因为Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb ，可知坐标原点O处的电势为1 V ，故选项B正确；a点电势比b点电势低7 V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，故选项C错误；b点电势比c点电势低9 V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV，故选项D正确．
变式2　(多选)(2018·四川省攀枝花市第二次统考)如图4，在匀强电场中，A、B、C、D、E、F位于边长为L＝2 cm的正六边形的顶点上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面．已知A、B、D、E的电势分别为－2 V、 0 V、 6 V、 4 V．则下列说法正确的是(　　)

图4
A．C点的电势φC＝2 V
B．A、F间的电势差UAF＝2 V
C．C、F间的电势差UCF＝4 V
D．该匀强电场的场强大小E＝200 V/m
答案　CD
解析　连接AD、BF、CE，AD与BF、CE的交点分别为M、N；设正六边形中心为O，如图所示：

由图可知AD与BF、CE都垂直，由六边形特点知AM＝MO＝ON＝ND，可知M、O、N的电势分别为0 V、2 V、4 V，故电场强度方向由D指向A，由正六边形对称性可知F与B的电势相等，C与E的电势相等，故F点的电势为0 V，C点的电势为4 V，
则A、F间的电势差为UAF＝φA－φF＝(－2－0) V＝－2 V，C、F间的电势差为UCF＝φC－φF＝(4－0) V＝4 V，由几何关系得：dMA＝Lsin 30°，而UMA＝UFA＝－UAF＝2 V，
则电场强度的大小为E＝＝ V/m＝200 V/m，故A、B错误，C、D正确．
命题点三　电场线、等势面及运动轨迹问题
1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．
2．判断电场力(或电场强度)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断电场强度的方向．
3．判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．
例3　(2018·天津卷·3)如图5所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN.下列判断正确的是(　　)

图5
A．vM＜vN，aM＜aN B．vM＜vN，φM＜φN
C．φM＜φN，EpM＜EpN D．aM＜aN，EpM＜EpN
答案　D
解析　由粒子的轨迹知粒子所受电场力的方向偏向右，因粒子带负电，故电场线方向偏向左，由沿电场线方向电势降低，可知φNEN，故A错误，B正确；负电荷在低电势处电势能大，故M点的电势低于N点的电势，即φMφA，故A错误；电子从A到B点过程中，电场力先与速度方向成钝角做负功，后与速度方向成锐角力做正功，D项正确；由A到B，电场力做的总功为正功，则电子的电势能减小，即B点的电势能小于A点的电势能，动能增大，则B点的速度大于A点速度，故B、C错误．
7．(2018·湖南省六校4月联考)如图6所示，空间中存在着由一固定的负点电荷Q(图中未画出)产生的电场．另一正点电荷q仅在电场力作用下沿曲线MN运动，在M点的速度大小为v0，方向沿MP方向，到达N点时速度大小为v，且v< v0，则(　　)

图6
A．Q一定在虚线MP下方
B．M点的电势比N点的电势高
C．q在M点的电势能比在N点的电势能小
D．q在M点的加速度比在N点的加速度小
答案　C
解析　场源电荷带负电，检验电荷带正电，它们之间是吸引力，而曲线运动所受合力指向曲线的凹侧，故Q应该在轨迹的凹侧，故A错误；试探电荷从M到N速度减小，说明M点离场源电荷较近，越靠近场源电荷电势越低，所以M点的电势比N点的电势低，故B错误；只有电场力做功，动能和电势能之和守恒，在N点动能小，故在N点电势能大，故C正确；离场源电荷越近，场强越大，加速度越大，所以q在M点的加速度比在N点的加速度大，故D错误．
8．(多选)(2017·天津卷·7)如图7所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹．设电子在A、B两点的加速度大小分别为aA、aB，电势能分别为EpA、EpB.下列说法正确的是(　　)

图7
A．电子一定从A向B运动
B．若aA>aB，则Q靠近M端且为正电荷
C．无论Q为正电荷还是负电荷一定有EpAaB，说明电子在A点受到的电场力较大，A点的电场强度较大，根据点电荷的电场分布可知，靠近M端为场源电荷的位置，应为正电荷，故B正确；无论Q为正电荷还是负电荷，一定有电势φA>φB，电子电势能Ep＝－eφ，电势能是标量，所以一定有EpA0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2.下列说法正确的是(　　)

图8
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
答案　BD
解析　结合题意，只能判定Uab>0，Ucd>0，但电场方向不能确定，A项错误；由于M、N分别为ac和bd的中点，对于匀强电场，则UMN＝－＝，可知该粒子由M至N过程中，电场力做功W＝，B项正确；电场强度的方向只有沿c→d时，才有场强E＝，但本题中电场方向未知，C项错误；若W1＝W2，则Uab＝Ucd＝UMN，即φa－φb＝φM－φN，φa－φM＝φb－φN，可知UaM＝UbN，D项正确．



10．(2018·湖北省十堰市调研)有一静电场，其电势φ随x坐标的改变而改变，变化的图象如图9所示．若将一带负电的粒子(重力不计)从坐标原点O由静止释放，电场中P、Q两点的横坐标分别为1 mm、4 mm，下列说法正确的是(　　)

图9
A．粒子将沿x轴正方向一直向前运动
B．粒子在P点与Q点加速度大小相等、方向相反
C．粒子经过P点与Q点时，动能相等
D．粒子经过P点与Q点时，电场力做功的功率相等
答案　C
解析　根据顺着电场线方向电势降低可知，0～2 mm内，电场线沿x轴负方向，粒子所受的电场力沿x轴正方向做加速运动；在2～6 mm内电场线沿x轴正方向，粒子所受的电场力沿x轴负方向，粒子做减速运动，6 mm处粒子的速度为零；然后粒子向左先做加速运动后做减速运动，即在0～6 mm间做往复运动，故A项错误．φ－t图象的斜率大小等于场强E，则知P点的场强大于Q点的场强，则粒子在P点的加速度大于在Q点的加速度，加速度方向相反，故B项错误．粒子经过P点与Q点时，电势相等，则其电势能相等，由能量守恒知动能相等，故C项正确．粒子经过P点与Q点时，速率相等，但电场力不同，则电场力做功的功率不等，故D项错误．
11.(多选)(2018·安徽省江淮十校第三次联考)如图10所示，ABCDEF是在匀强电场中画出的一个正六边形，该六边形所在平面与电场线(图中没有画出)平行，已知正六边形的边长为2 cm，将一电荷量为1.0×10－8 C的正点电荷从B点移动到C点克服电场力做功为2.0×10－8 J，将该点电荷从B点移动到A点，电场力做的功为2.0×10－8 J，设B点电势为零．由上述信息通过计算能确定的是(　　)

图10
A．电场强度的大小
B．过A点的等势线
C．匀强电场的场强方向为由C指向F
D．将该点电荷沿直线BF由B点移到F点动能的变化量
答案　AB
解析　UBC＝＝ V＝－2 V，UBA＝＝ V＝2 V，因B点电势为零，则φC＝2 V，φA＝－2 V，则可知EB为等势线，场强方向由C指向A，根据E＝可确定场强的大小，故选项A、B正确，C错误；点电荷若沿直线从B到F，必定要受到外力作用，因运动的性质不确定，则外力不能确定，故外力做的功不确定，不能确定动能的变化，选项D错误．
12.(2018·河北省邯郸市第一次模拟)如图11所示，在等边三角形的三个顶点A、B、C上固定三个带电荷量相等的点电荷，其中A、B处的点电荷均带正电，C处的点电荷带负电，D、E、F分别为AB、BC、CA边的中点，O为三角形中心，则下列说法正确的是(　　)

图11
A．三角形中心O点的电场强度为零
B．E、F两点电场强度相同
C．D点的电势高于O点的电势
D．把一正点电荷从O点移到E点，该电荷的电势能增大
答案　C
解析　根据点电荷的场强特点可得A、B、C三个点电荷在O点的场强如图所示：

可知O点的合场强不为零，故A错误；A处点电荷在E点产生的场强沿AE的连线指向右上方，B处点电荷在E点产生的场强沿BE的连线指向左上方，C处点电荷在E点产生的场强沿EC的连线指向左上方，则E点的合场强指向左上方，同理F点合场强指向右上方，故B错误；电场线方向从D指向C，根据沿着电场线电势逐渐降低可知，D点的电势高于O点的电势，故C正确；在直线AOE上B、C处点电荷产生的合场强方向与直线AOE垂直，而A处点电荷产生的场强方向沿AE方向由A指向E，故把一正点电荷从O点移到E点，仅有A处点电荷对它的电场力做正功，该电荷的电势能减小，故D错误．


13．(2018·安徽省安庆市二模)在真空中A、B两点分别放有异种点电荷＋Q和－2Q，以AB连线中点O为圆心作一圆形路径，如图12所示，则下列说法正确的是(　　)

图12
A．场强大小关系有Ea＝Eb、Ec＝Ed
B．电势高低关系有φa>φb、φc＝φO＝φd
C．将一负点电荷沿圆弧由a移动到b的过程中电场力做正功
D．将一正点电荷沿直线由a移动到d的过程中电场力做功小于将该正点电荷沿直线由d运动到b的过程中电场力做功
答案　D
解析　设圆的半径为R，根据点电荷电场叠加可得Ea＝k＋k，Eb＝k＋k，根据数学知识可得Eaφb，根据对称性可得φc＝φd，但由于直线cd不是等势面，所以与O点的电势不同，A、B错误；将一负点电荷沿圆弧由a移动到b的过程中，电场力方向与运动方向相反，所以电场力做负功，故C错误；由于ad间电场线比db间电场线疏，则ad间的场强比db间场强小，由U＝Ed知，ad间的电势差小于db间电势差，由W＝Uq知，将正点电荷沿直线由a移动到d的过程中电场力做功小于将该正点电荷沿直线由d移动到b的过程中电场力做功，故D正确．