2020版物理新增分大一轮江苏专用版讲义：第一章运动的描述匀变速直线运动第2讲

第2讲　匀变速直线运动规律

一、匀变速直线运动的规律
1．匀变速直线运动
沿一条直线且加速度不变的运动．
2．匀变速直线运动的基本规律
(1)速度公式：v＝v0＋at.
(2)位移公式：x＝v0t＋at2.
(3)位移速度关系式：v2－v02＝2ax.
自测1　某质点做直线运动，速度随时间的变化关系式为v＝(2t＋4) m/s，则对这个质点运动情况的描述，说法正确的是(　　)
A．初速度为2 m/s
B．加速度为4 m/s2
C．在3 s末，瞬时速度为10 m/s
D．前3 s内，位移为30 m
答案　C
解析　根据v＝v0＋at，比较v＝(2t＋4) m/s得质点运动的加速度为2 m/s2，初速度为4 m/s，A、B错误；在3 s末，质点的瞬时速度为vt＝2×3 m/s＋4 m/s＝10 m/s，C正确；前3 s内，质点的位移x＝＝ m＝21 m，D错误．
二、匀变速直线运动的推论
1．三个推论
(1)连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等．
即x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2.
(2)做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间初、末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度．
平均速度公式：＝＝.
(3)位移中点速度＝.
2．初速度为零的匀加速直线运动的四个重要推论
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶(2－)∶…∶(－)．
自测2　某质点从静止开始做匀加速直线运动，已知第3秒内通过的位移是x(单位：m)，则质点运动的加速度为(　　)
A.(m/s2) B.(m/s2)
C.(m/s2) D.(m/s2)
答案　C
解析　由匀变速直线运动规律知第3秒内的平均速度等于t＝2.5 s时的瞬时速度，
得a＝(m/s2)＝(m/s2)，C对．

命题点一　匀变速直线运动规律的基本应用
1．基本思路
―→―→―→―→

2．公式选取方法
题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和为解题设定的中间量)
没有涉及的物理量
适宜选用公式
v0、v、a、t
x
v＝v0＋at
v0、a、t、x
v
x＝v0t＋at2
v0、v、a、x
t
v2－v02＝2ax
v0、v、t、x
a
x＝t

除时间t外，x、v0、v、a均为矢量，所以需要确定正方向，一般以v0的方向为正方向．
例1　(2018·苏大附中调研)滑雪运动员以v0＝2 m/s的初速度沿山坡匀加速滑下，在t＝5 s的时间内滑下的位移x＝60 m．求：
(1)滑雪运动员5 s内的平均速度大小；
(2)滑雪运动员的加速度大小；
(3)滑雪运动员第5 s末的速度大小；
(4)作出5 s内滑雪运动员的速度(v)－时间(t)图象．
答案　(1)12 m/s　(2)4 m/s2　(3)22 m/s
(4)见解析图
解析　(1)滑雪运动员在t＝5 s的时间内滑下的位移x＝60 m，由公式＝得到滑雪运动员
5 s内的平均速度大小为＝ m/s＝12 m/s.
(2)由位移公式x＝v0t＋at2得
加速度大小a＝＝4 m/s2
(3)由v＝v0＋at得运动员第5 s末的速度大小
v＝(2＋4×5) m/s＝22 m/s.
(4)5 s内滑雪运动员的速度(v)－时间(t)图象：

变式1　(2018·盐城中学段考)一些同学乘坐火车外出旅游，当火车在一段平直轨道上匀加速行驶时，一同学提议说：“我们能否用身边的器材测出火车的加速度？”许多同学参与了测量工作，测量过程如下：他们看着窗外相隔100 m的路标，用手表记录到火车从第一根路标运动到第二根路标的时间为5 s．若已知火车经过第一根路标时的速度v0＝16 m/s，请根据他们的测量情况，求：
(1)火车加速度a的大小．
(2)火车到达第二根路标时速度v的大小．
答案　(1)1.6 m/s2　(2)24 m/s
解析　(1)设火车的加速度为a，根据匀变速直线运动的位移公式得：x＝v0t＋at2
代入数据解得：a＝1.6 m/s2
(2)设火车经过第二根路标时的速度为v2，根据匀变速直线运动的速度公式得：
v2＝v0＋at，代入数据得：v2＝24 m/s.
命题点二　匀变速直线运动推论的应用

例2　(2018·苏州市模拟)一物体做匀变速直线运动，在通过第一段位移x1的过程中，其速度变化量为Δv，紧接着通过第二段位移x2，速度变化量仍为Δv.则关于物体的运动，下列说法正确的是(　　)
A．第一段位移x1一定大于第二段位移x2
B．两段运动所用时间一定不相等
C．物体运动的加速度为
D．通过两段位移的平均速度为
答案　C
解析　Δv＝aΔt，所以两段时间相同，故B错误；不能确定该运动是加速运动还是减速运动，故A错误；x2－x1＝a(Δt)2，即x2－x1＝a()2得a＝，故C正确；Δt＝＝，＝，即＝，故D错误．
变式2　(2018·盐城中学段考)一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用的时间为t1，紧接着通过下一段位移Δx所用时间为t2.则物体运动的加速度为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　物体做匀加速直线运动通过前一段位移Δx所用的时间为t1，平均速度为：1＝，即为时刻的瞬时速度；物体通用后一段位移Δx所用的时间为t2，平均速度为：2＝，即为(t1＋)时刻的瞬时速度．
速度由1变化到2的时间为：Δt＝，所以加速度为：a＝＝.
命题点三　两类匀减速运动
1．两类匀减速运动问题的比较
两类运动
运动特点
求解方法
刹车类问题
匀减速直线运动到速度为零后即停止运动，加速度a突然消失，后面不再是匀减速运动
求解时要注意先求解其实际运动时间，判断问题中物体是否已停止运动
双向可逆类
如沿光滑固定斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变
求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正、负号

2.逆向思维法：对于末速度为零的匀减速直线运动，可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动．
例3　一辆汽车在平直公路上做刹车实验，t＝0时刻起开始刹车，刹车过程的位移大小x与速度大小v的关系为x＝10－0.1v2(m)，下列分析正确的是(　　)
A．刹车过程汽车的加速度大小为0.2 m/s2
B．刹车过程持续的时间为2 s
C．t＝0时刻汽车的速度大小为5 m/s
D．刹车全过程的位移大小为5 m
答案　B
解析　根据匀变速直线运动中位移与速度关系可得x＝＝＋v2，对应x＝10－0.1v2(m)，可得＝10 m，＝－0.1 s2/m，得加速度a＝－5 m/s2，t＝0时刻的速度大小v0＝10 m/s，刹车过程持续时间Δt＝＝2 s，刹车全过程的位移大小x＝＝10 m，故只有选项B正确．
变式3　(多选)一小球以3 m/s的初速度沿一光滑固定斜面向上做加速度恒为1 m/s2、方向沿斜面向下的匀变速直线运动，起始点为A，小球运动到A点沿斜面上方4 m处的B点时的速度及所对应的时间可能为(　　)
A．1 m/s　4 s B．－1 m/s　4 s
C．1 m/s　2 s D．－1 m/s　2 s
答案　BC
命题点四　多过程问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．基本思路
如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，各段交接处的速度往往是联系各段的纽带．可按下列步骤解题：
(1)画：分清各阶段运动过程，画出草图；
(2)列：列出各运动阶段的运动方程；
(3)找：找出交接处的速度与各段间的位移－时间关系；
(4)解：联立求解，算出结果．
2．解题关键
(1)多运动过程的转折点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，转折点速度的求解往往是解题的关键．
(2)作出v－t图象，多过程问题过程多，用运动学公式解题一般较复杂，从v－t图象中往往能发现简单方法．
例4　(2018·南通市等六市一调)一辆公交车在平直的公路上从A站出发运动至B站停止，经历了匀加速、匀速、匀减速三个过程，设加速和减速过程的加速度大小分别为a1、a2，匀速过程的速度大小为v，则(　　)
A．增大a1，保持a2、v不变，加速过程的平均速度不变
B．减小a1，保持a2、v不变，匀速运动过程的时间将变长
C．增大v，保持a1、a2不变，全程时间变长
D．只要v不变，不论a1、a2如何变化，全程平均速度不变
答案　A
解析　匀变速直线运动的平均速度为：＝，则加速运动过程的平均速度等于，v不变则加速过程的平均速度不变，故A正确；匀加速、匀速、匀减速三个过程的位移分别为x1＝vt1、x2＝vt2、x3＝vt3，如果减小a1，保持a2、v不变，则加速过程的时间t1＝将增大，加速过程的位移x1增大，而减速的时间和位移不变，所以匀速运动的位移将减小，匀速运动的时间减小，故B错误；作出公交车运动的速度－时间图象如图甲所示：

增大v，保持a1、a2不变，运动的时间将减小，故C错误；同理如图乙所示，v不变，a1、a2变化，则全程的时间将会发生变化，全程平均速度变化，故D错误．
变式4　(2018·徐州市期中)某娱乐节目设计了一款在直轨道上运动的“导师战车”，坐在“战车”中的导师按下按钮，“战车”从静止开始先做匀加速运动、后做匀减速运动，冲到学员面前刚好停止．若总位移大小L＝10 m，加速和减速过程的加速度大小之比为1∶4，整个过程历时5 s．求：
(1)全程平均速度的大小；
(2)加速过程的时间；
(3)全程最大速度的大小．
答案　(1)2 m/s　(2)4 s　(3)4 m/s
解析　(1)全程的平均速度大小＝＝ m/s＝2 m/s
(2)设加速过程的末速度为v，则加速过程的加速度大小a1＝，减速过程的加速度大小a2＝
根据题意有＝
总时间t1＋t2＝5 s
联立解得t1＝4 s
(3)加速过程的位移x1＝t1，减速过程的位移x2＝t2
总位移L＝x1＋x2
联立得L＝(t1＋t2)＝t
解得v＝＝ m/s＝4 m/s.

1．质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝5t＋t2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点(　　)
A．第1 s内的位移是5 m
B．前2 s内的平均速度是6 m/s
C．任意相邻的1 s内位移差都是0.5 m
D．任意1 s内的速度增量都是2 m/s
答案　D
2．(2017·苏锡常镇四市调研)战机在平直跑道上由静止开始做匀加速运动，经时间t达到起飞速度v，则它在时间t内的位移为(　　)
A．vt B.
C．2vt D．不能确定
答案　B
3．(多选)(2018·小海中学高三初考)如图1所示，光滑固定斜面AE被分成四个相等的部分，一物体由A点从静止释放，下列结论中正确的是(　　)

图1
A．物体到达各点的速率vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2
B．物体到达各点所经历的时间tE＝2tB＝tC＝tD
C．物体从A到E的平均速度＝vB
D．物体通过每一部分时，其速度增量vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD
答案　ABC
解析　根据运动学公式v2－v02＝2ax得物体由A点从静止释放有v＝，所以物体到达各点的速率之比vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2，故A正确；根据运动学公式x＝v0t＋at2得：t＝，物体到达各点经历的时间tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2，即tE＝2tB＝tC＝tD，故B正确；故物体从A到E的平均速度v＝＝，由于vE＝2vB，则v＝vB，故C正确；vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2，物体通过每一部分时，其速度增量不等，故D错误．
4．(多选)(2018·泰州中学期中)一物体以某一初速度在粗糙的水平面上做匀减速直线运动，最后静止下来．若物体在最初5 s内通过的位移与最后5 s内通过的位移之比为x1∶x2＝11∶5，物体运动的加速度大小为a＝1 m/s2，则(　　)
A．物体运动的时间可能大于10 s
B．物体在最初5 s内通过的位移与最后5 s内通过的位移之差为x1－x2＝15 m
C．物体运动的时间为8 s
D．物体的初速度为10 m/s
答案　BC
5．如图2所示，某“闯关游戏”的笔直通道上每隔8 m设有一个关卡，各关卡同步放行和关闭，放行和关闭的时间分别为5 s和2 s．关卡刚放行时，一同学立即在关卡1处以加速度2 m/s2由静止加速到2 m/s，然后匀速向前，则最先挡住他前进的关卡是(　　)

图2
A．关卡2 B．关卡3
C．关卡4 D．关卡5
答案　C
解析　由题意知，该同学先加速后匀速，速度增大到2 m/s用时t1＝＝1 s，在加速时间内通过的位移x1＝at12＝1 m，t2＝4 s，x2＝vt2＝8 m，已过关卡2，t3＝2 s时间内x3＝4 m，关卡打开，t4＝5 s，x4＝vt4＝10 m，此时关卡关闭，距离关卡4还有1 m，到达关卡4还需t5＝
0.5 s，小于2 s，所以最先挡住他前进的是关卡4，故C正确．


1．假设某无人机靶机以300 m/s的速度匀速向某个目标飞来，在无人机离目标尚有一段距离时从地面发射导弹，导弹以80 m/s2的加速度做匀加速直线运动，以1 200 m/s的速度在目标位置击中该无人机，则导弹发射后击中无人机所需的时间为(　　)
A．3.75 s B．15 s C．30 s D．45 s
答案　B
解析　导弹由静止做匀加速直线运动，即v0＝0，a＝80 m/s2，据公式v＝v0＋at，有t＝＝
s＝15 s，即导弹发射后经15 s击中无人机，选项B正确．
2.(2018·苏州市期初调研)如图1所示，一骑行者所骑自行车前后轮轴的距离为L，在水平道路上匀速运动，当看到道路前方有一条减速带时，立刻刹车使自行车做匀减速直线运动，自行车垂直经过该减速带时，对前、后轮造成的两次颠簸的时间间隔为t.利用以上数据，可以求出前、后轮经过减速带这段时间内自行车的(　　)

图1
A．初速度 B．末速度
C．平均速度 D．加速度
答案　C
3．(多选)如图2所示，一冰壶以速度v垂直进入三个矩形区域做匀减速直线运动，且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(　　)

图2
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝∶∶1
C．t1∶t2∶t3＝1∶∶
D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1
答案　BD
解析　因为冰壶做匀减速直线运动，且末速度为零，故可以看做反向初速度为零的匀加速直线运动．初速度为零的匀加速直线运动中通过连续三段相等位移的时间之比为1∶(－1)∶(－)，故所求时间之比为(－)∶(－1)∶1，故选项C错误，D正确；由v2－v02＝2ax可得初速度为零的匀加速直线运动中通过连续相等位移的速度之比为1∶∶，则所求的速度之比为∶∶1，故选项A错误，B正确．
4．(2019·淮安中学期初)做匀加速直线运动的列车出站时，车头经过站台某点O时速度是
1 m/s，车尾经过O点时的速度是7 m/s，则这列列车的中点经过O点时的速度为(　　)
A．3.5 m/s B．4 m/s
C．5 m/s D．5.5 m/s
答案　C
5．(2019·淮安中学期初)汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s与开始刹车后6 s汽车通过的位移之比为(　　)
A．1∶1 B．3∶1
C．3∶4 D．4∶3
答案　C
6．(2019·田家炳中学期初)火车初速度为10 m/s，关闭油门后前进150 m，速度减为5 m/s，再经过30 s，火车前进的距离为(　　)
A．50 m B．37.5 m
C．150 m D．43.5 m
答案　A
解析　由速度位移公式v2－v02＝2ax得a＝＝ m/s2＝－0.25 m/s2，列车停止需要的时间t0＝＝ s＝20 s，则30 s内前进的距离等于20 s内前进的距离x＝vt0＋at02＝5×20 m－×0.25×400 m＝50 m，A正确．
7．(2019·田家炳中学期初)光滑固定斜面长为L，物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，当物体的速度是到达斜面底端速度的时，它沿斜面下滑的距离是(　　)
A.L B.L
C.L D.L
答案　A
解析　设物体沿斜面下滑的加速度为a，物体到达斜面底端的速度为v，则有v2＝2aL，(v)2＝2aL′，联立可得L′＝L，A正确．
8．(2019·淮安中学期初)小船匀速逆流而上，经过桥下时箱子落水了(箱子落水后速度立即与水速相同)，船继续前进一段时间后才发现，并立即调头以相同的静水船速顺流而下，从发现后经过1 h在下游距桥7.2 km处追上，则河水流动速度为(　　)
A．7.2 km/h B．3.6 km/h
C．1.8 km/h D．条件不足，无法确定
答案　B

9．(2018·扬州中学月考)一辆警车在平直的公路上以40 m/s的速度行驶，现要求在到达前方某地时的速度也为40 m/s，有三种行进方式：a.一直匀速直线运动；b.先匀减速再匀加速；c.先匀加速再匀减速，则(　　)
A．a种方式先到达 B．b种方式先到达
C．c种方式先到达 D．条件不足，无法确定
答案　C
解析　v－t图象的斜率大小等于加速度大小，图线与时间轴所围“面积”等于位移，三种方式末速度相等，作出v－t图象如图所示，由于到达某地点时三种方式的位移大小相等、速度大小相等，由图象看出c种方式所用时间最短，则c种方式先到达．

10．(2018·徐州市第三中学月考)一名消防队员在模拟训练中，沿着长为12 m的竖立在地面上的钢管从顶端由静止先匀加速再匀减速下滑，滑到地面时速度恰好为零．如果他加速时的加速度大小是减速时加速度大小的2倍，下滑的总时间为3 s，那么该消防队员(　　)
A．下滑过程中的最大速度为4 m/s
B．加速与减速运动过程的时间之比为1∶2
C．加速与减速运动过程的平均速度之比为2∶1
D．加速与减速运动过程的位移之比为1∶4
答案　B
解析　设下滑过程中的最大速度为v，则消防队员下滑的总位移：t1＋t2＝x，解得最大速度：v＝＝＝ m/s＝8 m/s，故A错误；设加速与减速过程的时间分别为t1、t2，加速度大小分别为a1、a2，则v＝a1t1，v＝a2t2，解得：t1∶t2＝a2∶a1＝1∶2，故B正确；根据平均速度的推论知，＝，则平均速度之比为1∶1，故C错误；因为平均速度之比为1∶1，加速和减速的时间之比为1∶2，则加速和减速的位移之比为1∶2，故D错误．
11．(2018·泰州中学调研)随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显．分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍爱生命．某路段机动车限速为15 m/s，一货车严重超载后的总质量为5.0×104 kg，以15 m/s的速度匀速行驶．发现红灯时司机刹车，货车即做匀减速直线运动，加速度大小为5 m/s2.已知货车正常装载后的刹车加速度大小为10 m/s2.
(1)求此货车在超载及正常装载情况下的刹车时间之比；
(2)求此货车在超载及正常装载情况下的刹车距离分别是多大；
(3)若此货车不仅超载而且以20 m/s的速度超速行驶，则刹车距离又是多少？设此情形下刹车加速度仍为5 m/s2.
答案　(1)2∶1　(2)22.5 m　11.25 m　(3)40 m
解析　(1)该货车刹车时做匀减速直线运动，根据速度时间公式，正常装载时：0＝v0－a1t1
超载时：0＝v0－a2t2
解得＝＝
即此货车在超载及正常装载情况下的刹车时间之比为2∶1.
(2)该货车刹车时做匀减速直线运动，根据速度位移公式，
正常装载时：0－v02＝2(－a1)x1
超载时：0－v02＝2(－a2)x2
解得x1＝11.25 m，x2＝22.5 m
即此货车在超载时的刹车距离是22.5 m，正常装载情况下的刹车距离是11.25 m.
(3)该货车刹车时做匀减速直线运动，根据速度位移公式，有0－v0′2＝2(－a2)x3
解得x3＝40 m
即此货车在超载而且以20 m/s的速度超速行驶时，刹车距离是40 m.
12.(2019·淮安中学期初)如图3所示，一物体以4 m/s的速度滑上光滑固定斜面，途经A、B两点，已知它在A点时的速度是B点时的2倍，由B点再经0.5 s物体滑到斜面顶端C，速度恰好减至为零，A、B间相距0.75 m．求：

图3
(1)物体运动的加速度大小；
(2)斜面的长度；
(3)物体由底端滑至B点所需时间．
答案　(1)2 m/s2　(2)4 m　(3)1.5 s
解析　(1)物体的运动可看做是由C开始初速度为0、沿斜面向下匀加速直线运动的逆向运动，v＝at，tBC＝0.5 s，vA＝2vB，则tAC＝1 s，xAB＝atAC2－atBC2，代入数据解得a＝2 m/s2.
(2)设斜面长度为l，则v02＝2al
解得l＝4 m
(3)设物体由底端滑至B点所需时间为t，
由题意可知，v0＝at总
t总－tBC＝t
代入数据解得t＝1.5 s.