2020版物理新增分大一轮江苏专用版讲义：第四章曲线运动万有引力与航天第3讲

第3讲　圆周运动

一、匀速圆周运动及描述
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在任意相等的时间内通过的圆弧长相等，那么物体所做的就是匀速圆周运动．
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动．
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
2．描述匀速圆周运动的物理量

定义、意义
公式、单位
线速度
描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)
(1)v＝＝
(2)单位：m/s
角速度
描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)
(1)ω＝＝
(2)单位：rad/s
周期
物体沿圆周运动一圈的时间(T)
(1)T＝＝，单位：s
(2)频率f＝，单位：Hz
向心加速度
(1)描述速度方向变化快慢的物理量(an)
(2)方向指向圆心
(1)an＝＝rω2
(2)单位：m/s2

自测1　(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则(　　)
A．角速度为0.5 rad/s B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为 m D．加速度大小为4π m/s2
答案　BCD
二、匀速圆周运动的向心力
1．作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
2．大小
F＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
3．方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
4．来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．
自测2　(多选)下列关于做匀速圆周运动的物体所受向心力的说法正确的是(　　)
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．向心力就是物体所受的合外力
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
答案　BC
三、离心运动和近心运动
1．离心运动定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．

图1
2．受力特点(如图1)
(1)当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
(2)当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
(3)当Fmrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动．
3．本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是所受的力小于做匀速圆周运动需要的向心力．

命题点一　圆周运动的运动学问题
1．对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比．
当ω一定时，v与r成正比．
当v一定时，ω与r成反比．
2．对an＝＝ω2r的理解
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比．
3．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图2甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.

图2
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图3甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.

图3
(3)同轴转动：如图4甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．

图4
例1　(多选)(2018·江苏单科·6)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°.在此10 s时间内，火车(　　)
A．运动路程为600 m B．加速度为零
C．角速度约为1 rad/s D．转弯半径约为3.4 km
答案　AD
解析　由s＝vt知，火车运动路程为s＝600 m，A对；火车在弯道做圆周运动，故加速度不为零，B错；由10 s内转过10°知，角速度ω＝ rad/s＝ rad/s≈0.017 rad/s，C错；由v＝rω知，火车转弯半径r＝＝ m≈3.4 km，D对．
变式1　(多选)自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，如图5所示．正常骑行自行车时，下列说法正确的是(　　)

图5
A．A、B两点的线速度大小相等，角速度大小也相等
B．B、C两点的角速度大小相等，周期也相等
C．A点的向心加速度小于B点的向心加速度
D．B点的向心加速度大于C点的向心加速度
答案　BC
解析　设A、B、C三点到各自轴心的距离分别为RA、RB、RC，由题图可知RC>RA>RB.A、B两点通过链条相连，线速度大小相等，由v＝ωr知，A、B两点的角速度不相等，选项A错误；由题图知，B、C两点绕同一轴转动，角速度相等，由T＝知周期也相等，选项B正确；由an＝知，A点的向心加速度小于B点的向心加速度，选项C正确；由an＝ω2r知，B点的向心加速度小于C点的向心加速度，选项D错误．
命题点二　水平面内的圆周运动
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．几种典型运动模型
运动模型
向心力的来源图示
飞机水平转弯

火车转弯

圆锥摆

飞车走壁

汽车在水平路面转弯

水平转台(光滑)


3.“一、二、三、四”求解圆周运动问题

例2　(2018·南京市、盐城市一模)如图6所示，质量相等的A、B两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，A在B的上方．则它们运动的(　　)

图6
A．向心力FA＞FB
B．线速度vA＞vB
C．角速度ωA＞ωB
D．向心加速度anA＞anB
答案　B
解析　对A、B两球进行受力分析，两球均只受重力和漏斗给的支持力FN.如图所示

设漏斗顶角的一半为θ，则F向＝，由于两球质量相等，所以A、B两球的向心力相等，故A错误；由公式F向＝＝可得：v＝，由于A球做匀速圆周运动的半径比B球大，所以vA＞vB，故B正确；由公式F向＝mω2r＝可得：ω＝，由于A球做匀速圆周运动的半径比B球大，所以ωA＜ωB，故C错误；由公式F向＝man＝可得：an＝，所以anA＝anB，故D错误．
变式2　(多选)(2018·如东县调研)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图7所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则(　　)

图7
A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速度大小大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速度大小小于v时，外轨将受到轮缘的挤压
答案　AB
解析　火车转弯不侧向挤压车轮轮缘时，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mgtan θ＝m，解得：r＝，故A正确；v＝，可知火车规定的行驶速度与质量无关，故B正确；当火车速度大小大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误；当火车速度大小小于v时，重力和支持力的合力大于所需的向心力，此时内轨对火车有侧压力，轮缘挤压内轨，故D错误．
拓展点　水平面内圆周运动的临界问题

1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心．
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰好不向内滑动的临界条件(静摩擦力达到最大且方向沿半径背离圆心)和一个恰好不向外滑动的临界条件(静摩擦力达到最大且方向沿半径指向圆心)，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等．
例3　(2018·南京市期中)如图8所示，在光滑的圆锥顶端，用长为L＝2 m的细绳悬一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，圆锥顶角为2θ＝74°.当小球以ω＝5 rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力大小为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　)

图8
A．50 N B．40 N
C．20 N D．38.5 N
答案　A
变式3　(2018·扬州中学月考)如图9叠放在水平转台上的物体A、B、C正随转台一起以角速度ω匀速转动，物体A、B、C的质量分别为3m、2m、m，物体B与转台、物体C与转台间的动摩擦因数都为μ，物体A与物体B间的动摩擦因数也为μ，物体B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是(　　)

图9
A．物体B对物体A的摩擦力有可能为3μmg
B．物体C与转台间的摩擦力大于物体A与物体B间的摩擦力
C．转台的角速度ω有可能恰好等于
D．若角速度ω缓慢增大，物体A与物体B将最先发生相对滑动
答案　C
解析　对物体A、B整体有：
(3m＋2m)ω2r≤μ(3m＋2m)g①
对物体C有：mω2(1.5r)≤μmg②
对物体A有：3mω2r≤μ(3m)g③
联立①②③解得：ω≤ ，即不发生相对滑动时，转台的角速度ω≤ ，可知物体A与物体B间的静摩擦力最大值Ffm＝3m·r·ω2＝3mr·＝2μmg，故A错误，C正确；由于物体A与物体C转动的角速度相同，由摩擦力提供向心力有m×1.5rω2＜3mrω2，即物体C与转台间的摩擦力小于物体A与物体B间的摩擦力，故B错误；由A选项分析可知，最先发生相对滑动的是物体C，故D错误．
命题点三　竖直面内的圆周运动

拱桥模型
绳—球模型
杆—球模型
实例
汽车过拱形桥
绳—球，过山车等
杆—球，管形圆轨道
图示



特征
下有支撑，上无约束
下无支撑，上有约束
下有支撑，上有约束
过最高点条件
v≤
v≥
v≥0
不同速度时受力及运动情况
v≤时：
mg－FN＝m
FN＝mg－m时：到达最高点前做斜上抛运动飞离桥面
①能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN
②不能过最高点时，v