2020版高考物理新设计一轮复习江苏专版讲义：第九章第4节电磁感应中的动力学和能量问题

第4节电磁感应中的动力学和能量问题

突破点(一)　电磁感应中的动力学问题

1．两种状态及处理方法

2．力学对象和电学对象的相互关系

3．四步法分析电磁感应动力学问题

解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下：

[典例]　(2017·江苏高考)如图所示，两条相距d的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R的电阻。质量为m的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为B、方向竖直向下。当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v。导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求：

(1)MN刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小I；

(2)MN刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a；

(3)PQ刚要离开金属杆时，感应电流的功率P。

[解析]　(1)MN刚扫过金属杆时，金属杆的感应电动势E＝Bdv0①

回路的感应电流I＝②

由①②式解得I＝。③

(2)金属杆所受的安培力F＝BId④

由牛顿第二定律，对金属杆F＝ma⑤

由③④⑤式解得a＝。⑥

(3)金属杆切割磁感线的速度v′＝v0－v⑦

感应电动势E＝Bdv′⑧

感应电流的电功率P＝⑨

由⑦⑧⑨式解得P＝。⑩

[答案]　(1)　(2)　(3)

[方法规律]

解决电磁感应动力学问题的两个关键分析

(1)受力分析：准确分析运动导体的受力，特别是安培力，求出合力。

(2)运动分析：分析导体的运动性质，是加速、减速，还是匀速，从而确定相应的运动规律。

[集训冲关]

1.如图所示，MN、PQ是两条彼此平行的金属导轨，水平放置，匀强磁场的磁感线垂直导轨平面。导轨左端连接一阻值R＝2 Ω的电阻，电阻两端并联一电压表V，在导轨上垂直导轨跨接一质量为0.1 kg的金属棒ab，ab与导轨间动摩擦因数μ＝0.5，导轨和金属棒ab的电阻均不计。现用恒力F＝0.7 N水平向右拉ab运动，当ab开始匀速运动时，电压表V的示数为0.4 V，g取10 m/s2。求：

(1)ab运动时流过ab的电流方向；

(2)ab匀速运动时的速度大小；

(3)ab匀速运动时电阻R的电功率及恒力F做功的功率。

解析：(1)依据右手定则，棒ab中的感应电流方向由b→a，如图所示。

(2)设导轨间距为L，磁感应强度为B，ab棒匀速运动的速度为v，电流为I，此时ab棒受安培力水平向左，与速度方向相反；

由平衡条件得：F＝μmg＋ILB①

由闭合电路欧姆定律得：I＝＝②

由①②解得：BL＝1 T·m，

则v＝0.4 m/s。

(3)电阻消耗的功率为P＝＝0.08 W

F的功率：P′＝Fv＝0.7×0.4 W＝0.28 W。

答案：(1)由b→a　(2)0.4 m/s　(3)0.08 W　0.28 W

2.如图所示，MN、PQ为足够长的光滑平行导轨，间距L＝0.5 m。导轨平面与水平面间的夹角θ＝30°。NQ⊥MN，NQ间连接一阻值R＝3 Ω的电阻。有一匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度B0＝1 T。将一根质量为m＝0.02 kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好，金属棒的电阻r＝2 Ω，其余部分电阻不计。现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行。当金属棒滑行至cd处时速度大小开始保持不变，cd距NQ的距离s＝0.5 m，g取10 m/s2。

(1)求金属棒达到稳定时的速度是多大。

(2)金属棒从静止开始到稳定速度的过程中，电阻R上产生的热量是多少？

(3)若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t＝0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，则t＝1 s时磁感应强度应为多大？

解析：(1)在达到稳定速度前，金属棒的加速度逐渐减小，速度逐渐增大，达到稳定速度时，有

mgsin θ＝FA，

FA＝B0IL，

I＝

E＝B0Lv，

联立解得v＝2 m/s。

(2)根据能量守恒有：mgssin θ＝mv2＋Q

电阻R上产生的热量QR＝Q，

联立解得QR＝0.006 J。

(3)当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流。此时金属棒将沿导轨做匀加速运动

mgsin θ＝ma，

x＝vt＋at2，

设t时刻磁感应强度为B，总磁通量不变有：

B0Ls＝BL(s＋x)，

当t＝1 s时，代入数据解得，此时磁感应强度B＝0.1 T。

答案：(1)2 m/s　(2)0.006 J　(3)0.1 T

突破点(二)　电磁感应中的能量问题

1．能量转化及焦耳热的求法

(1)能量转化

(2)求解焦耳热Q的三种方法

2．解题的一般步骤

(1)确定研究对象(导体棒或回路)；

(2)弄清电磁感应过程中，哪些力做功，哪些形式的能量相互转化；

(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解。

[典例]　(2016·浙江高考)小明设计的电磁健身器的简化装置如图所示，两根平行金属导轨相距l＝0.50 m，倾角θ＝53°，导轨上端串接一个R＝0.05 Ω的电阻。在导轨间长d＝0.56 m的区域内，存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0 T。质量m＝4.0 kg的金属棒CD水平置于导轨上，用绝缘绳索通过定滑轮与拉杆GH相连。CD棒的初始位置与磁场区域的下边界相距s＝0.24 m。一位健身者用恒力F＝80 N拉动GH杆，CD棒由静止开始运动，上升过程中CD棒始终保持与导轨垂直。当CD棒到达磁场上边界时健身者松手，触发恢复装置使CD棒回到初始位置(重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，不计其他电阻、摩擦力以及拉杆和绳索的质量)。求

(1)CD棒进入磁场时速度v的大小；

(2)CD棒进入磁场时所受的安培力FA的大小；

(3)在拉升CD棒的过程中，健身者所做的功W和电阻产生的焦耳热Q。

[思路点拨]　

 [解析]　(1)由牛顿第二定律a＝＝12 m/s2

进入磁场时的速度v＝＝2.4 m/s。

(2)感应电动势E＝Blv

感应电流I＝

安培力FA＝IBl

代入得FA＝＝48 N。

(3)健身者做功W＝F(s＋d)＝64 J

由牛顿第二定律F－mgsin θ－FA＝0

CD棒在磁场区做匀速运动

在磁场中运动时间t＝

焦耳热Q＝I2Rt＝26.88 J。

[答案]　(1)2.4 m/s　(2)48 N　(3)64 J　26.88 J

[集训冲关]

1．[多选](2018·江苏高考)如图所示，竖直放置的“”形光滑导轨宽为L，矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的高和间距均为d，磁感应强度为B。质量为m的水平金属杆由静止释放，进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等。金属杆在导轨间的电阻为R，与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g。金属杆(　　)

A．刚进入磁场Ⅰ时加速度方向竖直向下

B．穿过磁场Ⅰ的时间大于在两磁场之间的运动时间

C．穿过两磁场产生的总热量为4mgd

D．释放时距磁场Ⅰ上边界的高度h可能小于

解析：选BC　金属杆在磁场之外的区域做加速运动，所以进入磁场Ⅰ、Ⅱ的速度大于穿出磁场Ⅰ的速度，则金属杆刚进入磁场Ⅰ时做减速运动，加速度方向竖直向上，故A错误。金属杆在磁场Ⅰ中(先)做加速度减小的减速运动，在两磁场之间做加速度为g的匀加速直线运动，两个过程位移相等，v­t图像可能如图所示，可以看出B正确。由于进入两磁场时速度相等，由动能定理得，W安1＋mg·2d＝0，可知金属杆穿过磁场Ⅰ克服安培力做功为2mgd，即产生的热量为2mgd，故穿过两磁场产生的总热量为4mgd，故C正确。设刚进入磁场Ⅰ时速度为v，则由机械能守恒定律知mgh＝mv2，由牛顿第二定律得－mg＝ma，解得h＝＞，故D错误。

2．(2019·南通一模)如图所示，光滑绝缘斜面倾角为θ，斜面上平行于底边的虚线MN、PQ间存在垂直于斜面向上，磁感应强度为B的匀强磁场，MN、PQ相距为L。一质量为m、边长为d(d<L)的正方形金属线框abef置于斜面上，线框电阻为R，ab边与磁场边界MN平行，相距为L。线框由静止释放后沿斜面下滑，ef边离开磁场前已做匀速运动，重力加速度为g，求：

(1)线框进入磁场过程中通过线框横截面的电荷量q；

(2)线框ef边离开磁场区域时的速度大小v；

(3)线框穿过磁场区域产生的热量Q。

解析：(1)线框进入磁场的过程产生的平均感应电动势

＝

通过回路的电荷量q＝Δt＝Δt

磁通量的变化量ΔΦ＝Bd2

联立解得q＝。

(2)设线框速度为v时开始做匀速运动，此时线框中产生的感应电流I＝

受到的安培力F＝IdB

由平衡条件可得mgsin θ－F＝0

联立解得v＝。

(3)由能量守恒定律有mg(2L＋d)sin θ＝mv2＋Q

解得Q＝mg(2L＋d)sin θ－。

答案：(1)　(2)　

(3)mg(2L＋d)sin θ－

闭合线框穿越磁场的问题

闭合线框穿越磁场时，可能做匀速直线运动、加速运动、减速运动，或先后多种运动形式交替出现。

1．[多选](2018·泰州模拟)如图所示，边长为L、电阻不计的n匝正方形金属线框位于竖直平面内，连接的小灯泡的额定功率、额定电压分别为P、U，线框及小灯泡的总质量为m，在线框的下方有一匀强磁场区域，区域宽度为l，磁感应强度方向与线框平面垂直，其上、下边界与线框底边均水平。线框从图示位置开始静止下落，穿越磁场的过程中，小灯泡始终正常发光。则(　　)

A．有界磁场宽度l<L

B．磁场的磁感应强度应为

C．线框匀速穿越磁场，速度恒为

D．线框穿越磁场的过程中，灯泡产生的焦耳热为mgL

解析：选BC　因线框穿越磁场过程中小灯泡正常发光，故为匀速穿越磁场，且线框长度L和磁场宽度l相同，A错；匀速穿越，故重力和安培力相等，mg＝nBIL＝nBL，得B＝，B对；匀速穿越，重力做功的功率等于电功率，即mgv＝P，得v＝，C对；线框穿越磁场时，通过的位移为2L，且重力做功完全转化为焦耳热，故Q＝2mgL，D错。

2．(2018·苏州模拟)如图所示，水平地面上方矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个闭合线圈Ⅰ、Ⅱ分别用同种导线绕制而成，其中Ⅰ为边长为L的正方形，Ⅱ是长2L、宽为L的矩形，将两个线圈同时从图示位置由静止释放。线圈下边进入磁场时，Ⅰ立即做了一段时间的匀速运动，已知两线圈在整个下落过程中，下边始终平行于磁场上边界，不计空气阻力，则(　　)

A．下边进入磁场时，Ⅱ也立即做匀速运动

B．从下边进入磁场开始的一段时间内，线圈Ⅱ做加速度不断减小的加速运动

C．从下边进入磁场开始的一段时间内，线圈Ⅱ做加速度不断减小的减速运动

D．线圈Ⅱ先到达地面

解析：选C　线圈Ⅱ的电阻是Ⅰ的倍，线圈Ⅱ进入磁场时产生的感应电动势是Ⅰ的2倍。即RⅡ＝RⅠ，EⅡ＝2EⅠ。由I＝得，IⅡ＝IⅠ；由F安＝BIL，FⅡ＝BIⅡ·2L，FⅠ＝BIⅠ·L，则FⅡ＝FⅠ，但GⅡ＝GⅠ。由于Ⅰ进入磁场做匀速运动，即FⅠ＝GⅠ，则FⅡ>GⅡ，所以Ⅱ进入磁场立即做加速度不断减小的减速运动，A、B错误，C正确；因线圈Ⅰ、Ⅱ进入磁场时速度相同，但此后Ⅰ匀速，Ⅱ减速，故Ⅱ后到达地面，D错误。

3．(2018·桂林、崇左联考)如图甲所示，光滑水平面上有一单匝正方形金属框，边长为L，质量为m，总电阻为R。匀强磁场方向垂直于水平面向里，磁场宽度为3L，金属框在拉力作用下向右以速度v0匀速通过磁场，速度方向始终与磁场边界垂直。以金属框cd边到达磁场左边界时为计时起点，匀强磁场磁感应强度大小按如图乙所示的规律变化。

(1)金属框从进入磁场到cd边到达磁场右边界的过程中，求金属框产生的焦耳热Q及拉力对金属框做的功W；

(2)金属框cd边到达磁场右边界后，若无拉力作用且金属框能穿出磁场，求金属框离开磁场过程中通过回路的电荷量q。

解析：(1)金属框进入磁场过程产生的焦耳热：

Q1＝·＝

拉力做的功：W1＝Q1＝

金属框在磁场中运动过程：E＝S＝L2＝

产生的焦耳热：Q2＝·＝，此过程中拉力做功为零。

金属框从进入磁场到cd边到达磁场的右边界的过程：

Q＝Q1＋Q2＝

拉力对金属框做的功：

W＝W1＝。

(2)金属框离开磁场过程：＝，＝，q＝Δt，

解得q＝，其中ΔΦ＝2B0L2

联立可得：q＝。

答案：(1)　　(2)

解决此类问题的三种思路

1．运动分析：分析线圈进磁场时安培力与重力的大小关系，判断其运动性质。

2．过程分析：分阶段(进磁场前、进入过程、在磁场内、出磁场过程)分析。

3．功能关系分析：必要时利用功能关系列方程求解。