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2020版高考物理新创新一轮复习通用版讲义：第一章第4课时 运动学图像和追及相遇问题（题型研究课）
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第4课时 运动学图像和追及相遇问题(题型研究课)
1．(多选)(2018·全国卷Ⅲ)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是( )
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
解析：选CD xt图像斜率表示两车速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，故A错误；由两图线的纵轴截距知，出发时甲车在乙车前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离，故B错误；t1和t2时刻两图线相交，表明两车均在同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等；在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，即该时刻两车速度相等，故C、D正确。
2．(多选)(2018·全国卷Ⅱ)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是( )
A．两车在t1时刻也并排行驶
B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
解析：选BD 由题图知，t1～t2时间内，v甲＞v乙，t2时刻两车相遇，则t1时刻甲车在乙车的后面，故A错误，B正确；由图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，故C错误，D正确。
3．(多选)(2016·全国卷Ⅰ)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其vt图像如图所示。已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
解析：选BD 由题图知，甲车做初速度为0的匀加速直线运动，其加速度a甲＝10 m/s2。乙车做初速度v0＝10 m/s、加速度a乙＝5 m/s2的匀加速直线运动。3 s内甲、乙车的位移分别为x甲＝a甲t32＝45 m，x乙＝v0t3＋a乙t32＝52.5 m。由于t＝3 s时两车并排行驶，说明t＝0时甲车在乙车前，Δx＝x乙－x甲＝7.5 m，选项B正确；t＝1 s时，甲车的位移为5 m，乙车的位移为12.5 m，由于甲车的初始位置超前乙车7.5 m，则t＝1 s时两车并排行驶，选项A、C错误；甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为52.5 m－12.5 m＝40 m，选项D正确。
4.(2014·全国卷Ⅱ)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v t图像如图所示。在这段时间内( )
A．汽车甲的平均速度比乙的大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
解析：选A 根据v t图像图线与时间轴所围的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据v＝得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于，选项B错误；根据v t图像斜率的绝对值反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误。
5.(2014·大纲卷)一质点沿x轴做直线运动，其vt图像如图所示。质点在t＝0时位于x＝5 m处，开始沿x轴正向运动。当t＝8 s时，质点在x轴上的位置为( )
A．x＝3 m B．x＝8 m
C．x＝9 m D．x＝14 m
解析：选B 在vt图像中，图线与时间轴围成面积的大小等于质点运动的位移大小，则x08＝×(4＋2)×2 m－×(4＋2)×1 m＝3 m，故t＝8 s时，质点在x轴上的位置坐标x8＝5 m＋3 m＝8 m，选项B正确，A、C、D错误。
高考对运动学图像的考查频率较高，且大多考查vt图像或xt图像，题型多为选择题，有时在计算题中需要借助运动图像解决问题。at图像、xy图像等有时也会考查，复习时应引起重视。
命题点一 三类运动学图像的理解和应用
1．位移—时间图像反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律，图像并非物体运动的轨迹。
2．位移—时间图像只能描述物体做直线运动的情况，这是因为位移—时间图像只能表示物体运动的两个方向：t轴上方代表正方向，t轴下方代表负方向；如果物体做曲线运动，则画不出位移—时间图像。
3．位移—时间图线上每一点的斜率表示物体在该时刻的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向。
[例1] 甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间图像如图所示。由图像可知，在0～4 s 内( )
A．甲、乙始终同向运动
B．第4 s末时，甲、乙间的距离最大
C．甲的平均速度等于乙的平均速度
D．乙一直做匀加速直线运动
[解析] 由题图可知在0～2 s内，甲、乙同向运动，在2～4 s内甲、乙反向运动，选项A错误；第4 s末甲、乙相遇，甲、乙间的距离不是最大，选项B错误；在0～4 s内，甲、乙的位移都是2 m，故平均速度相等，选项C正确；根据位移—时间图线斜率的绝对值等于速度的大小，可知乙一直做匀速直线运动，选项D错误。
[答案] C
1．速度—时间图像反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，它也只能描述物体做直线运动的情况。
2．速度—时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的加速度。斜率的大小表示加速度的大小，斜率为正表示加速度沿规定的正方向，但物体不一定做加速运动，斜率为负则加速度沿负方向，物体不一定做减速运动。
3．速度—时间图线与t轴所围面积表示这段时间内物体的位移。t轴上方的面积表示位移沿正方向，t轴下方的面积表示位移沿负方向，如果上方与下方的面积大小相等，说明物体恰好回到出发点。
[例2] (多选)如图所示为一个质点做直线运动的vt图像，则下列说法正确的是( )
A．质点在0～5 s内的位移为5 m
B．质点在整个运动过程中，10～12 s 内的加速度最大
C．质点在10 s末离出发点最远
D．质点在8～12 s内的平均速度为4 m/s
[解析] 根据vt图像中图线与时间轴所围的面积表示位移可知，质点在0～5 s内的位移x＝×2×5 m＝5 m，选项A正确；由vt图像的斜率表示加速度可知，0～5 s内的加速度大小a1＝ m/s2,8～10 s内的加速度大小a2＝ m/s2＝2 m/s2,10～12 s内的加速度大小a3＝m/s2＝6 m/s2，所以质点在整个运动过程中，10～12 s内的加速度最大，选项B正确；质点在11 s末离出发点最远，选项C错误；质点在8～12 s内的位移x＝×(2＋6)×2 m＝8 m，平均速度为＝ m/s＝2 m/s，选项D错误。
[答案] AB
(三)位置坐标(xy)图像
表示物体位置的坐标图，图线表示物体的实际运动轨迹，在坐标图上能表示出物体运动的位移，以及某点速度的方向(切线)，但无法确定速度的大小，图线的斜率也没有意义。
[例3] (多选)如图为甲、乙、丙三个军事小分队进行军事行动的位置坐标图像，下列说法正确的是( )
A．甲、丙两个分队的运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线
B．甲、乙、丙三个分队的位移大小相等
C．甲、乙、丙三个分队的平均速度大小相等
D．甲、乙、丙三个分队运动的路程相等
[解析] 位置坐标图像显示的是物体的运动轨迹，从题图可以看出甲、丙两个分队运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线，A正确；三个分队的初、末位置相同，位移大小相等，但运动路程不同，B正确，D错误；因不知道三个分队运动时间的大小关系，故无法比较三个分队平均速度的大小关系，C错误。
[答案] AB
消除对运动学图像的“误会”
(1)无论xt图像、vt图像是直线还是曲线，所描述的运动都是直线运动，图像的形状反映了x与t、v与t的函数关系，而不是物体运动的轨迹。
(2)xt图像中两图线的交点表示两物体相遇，vt图像中两图线的交点表示该时刻两物体的速度相等，并非相遇。
(3)位置坐标(xy)图像则能描述曲线运动，图线交点表示物体均经过该位置，但不一定相遇，因为不知道时间关系。
[集训冲关]
1．(多选)如图所示，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移—时间图线。由图可知( )
A．在时刻t1，a车追上b车
B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反
C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增加
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大
解析：选BC 由题图知，在t1时刻，b车追上a车，选项A错误；在t2时刻，b车运动图像的斜率为负值，表示b车速度反向，而a车速度大小和方向始终不变，选项B正确；从t1时刻到t2时刻，图像b斜率的绝对值先减小至零后增大，反映了b车的速率先减小至零后增加，选项C正确，D错误。
2．物体从静止开始做直线运动，v t 图像如图所示，则该物体( )
A．在第8 s末相对于起点的位移最大
B．在第4 s末相对于起点的位移最大
C．在2～4 s时间内的加速度大小最大
D．在4～8 s时间内，加速度大小保持不变
解析：选D 由题图知，物体在0～6 s内沿正方向运动，在6～8 s 内沿负方向运动，所以在第6 s末相对于起点的位移最大，选项A、B错误；vt图线的斜率表示物体的加速度，由题图图线可知4～8 s内物体的加速度大小不变并且最大，选项C错误，D正确。
命题点二 利用三个基本公式研究非常规图像
(一)三类图像
1．at图像：由v＝v0＋at可知图像与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示。
2.t图像：由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图像的斜率为a，纵轴截距为v0，如图乙所示。
3．v2x图像：由v2－v02＝2ax可得v2＝v02＋2ax，图像斜率为2a。
(二)解题技巧
1．图像反映了两个物理量之间的函数关系，因此首先要由运动学公式推导出两个物理量间的关系式，再分析图像及斜率、截距、面积等几何元素的物理意义。
2．注意把处理常规图像问题的思想方法加以迁移应用，必要时可将该图像所反映的物理过程转换为常见的xt或vt 图像。
[典例] 一质点沿直线运动，如图所示是从t＝0时刻开始的质点的t图像(x为位移)，可以推知( )
A．质点做匀减速运动
B．加速度的大小是1 m/s2
C．t＝2 s时的速度是1 m/s
D．t＝2 s时位移是3 m
[解析] 由题意可得题图图线的函数表达式为＝1＋t，即x＝t＋t2，匀变速直线运动的位移公式为x＝v0t＋at2，根据对应关系得v0＝1 m/s，a＝1 m/s2＞0，因此质点做匀加速运动，故A项错误，B项正确；当t＝2 s时，根据公式v＝v0＋at，可得速度是3 m/s，故C项错误；当t＝2 s时，代入表达式x＝t＋t2，可得位移是4 m，故D项错误。
[答案] B
[集训冲关]
1.(2019·南昌模拟)一辆汽车做直线运动，其v2x图像如图所示。关于汽车的运动，下列说法错误的是( )
A．汽车的初速度为4 m/s
B．汽车的加速度大小为0.5 m/s2
C．汽车在第4 s末的速度为2 m/s
D．汽车前10 s内的位移为15 m
解析：选D 由题图可知，初始时速度的平方为16 m2/s2，则汽车的初速度v0＝4 m/s，A项正确；v2与x的关系式为v2－42＝－x，与公式v2－v02＝2ax对比，可知汽车做匀减速直线运动，加速度a＝－0.5 m/s2，B项正确；由v＝v0＋at，可得汽车在第4 s末的速度为v4＝4 m/s－0.5×4 m/s＝2 m/s，C项正确；因＝8 s，则知第8 s末汽车停止，汽车前10 s内的位移x＝＝16 m，D项错误。
2．(2019·武汉模拟)一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示。取物体开始运动的方向为正方向，则选项图中关于物体运动的v t图像正确的是( )
解析：选C 根据题图图像可得，0～1 s内物体做匀加速直线运动，速度v＝at＝t，速度为正方向，选项D错；第1 s末的速度v＝1 m/s,1～2 s内加速度变为负值，而速度为正方向，因此物体做匀减速直线运动，v′＝1 m/s－a(t－1)，第2 s末，速度减小为0，选项B错；2～3 s内加速度为正值，初速度为0，物体沿正方向做匀加速直线运动，v＝a(t－2)＝t－2，即从第2 s末开始重复前面的运动，图像如C，选项C对，A错。
命题点三 追及、相遇问题
1．追及、相遇问题中的“一个条件、两个关系”
一个条件
即两物体速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点
两个关系
即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到
2.追及、相遇问题常见的情景
假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情景：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)要使A、B恰好不相撞，A、B同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。
(3)若使A、B保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB。
3．解题思路和方法
⇒⇒⇒
[典例] 甲、乙两车同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，速度分别为v甲＝8 m/s，v乙＝16 m/s。在相距x＝16 m时，甲、乙两车同时刹车，甲车加速度大小为a′＝2 m/s2。则乙车加速度大小至少为多大时两车才不会相撞？
[解析] 甲、乙两车不相撞的条件是甲、乙两车速度相同时，x乙≤x甲＋x，当x乙＝x甲＋x时恰好不相撞。
设乙的加速度大小为a，两车速度相等时，
v乙－at＝v甲－a′t
x甲＝v甲t－a′t2
x乙＝v乙t－at2
又x乙＝x甲＋x
解得t＝4 s，a＝4 m/s2
即当a＝4 m/s2时，两车恰好不相撞，所以乙车的加速度大小至少应为4 m/s2。
[答案] 4 m/s2
追及、相遇问题的解题技巧
(1)紧抓“一图三式”，即过程示意图、时间关系式、速度关系式和位移关系式。
(2)审题时应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
[集训冲关]
1．(多选)一辆汽车正以v1＝10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，发现正前方有一辆自行车以v2＝4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为a＝0.6 m/s2 的匀减速运动，汽车恰好没有碰上自行车，则( )
A．关闭油门后，汽车恰好没有碰上自行车时所用时间为10 s
B．关闭油门后，汽车恰好没有碰上自行车时所用时间为 s
C．关闭油门时，汽车与自行车的距离为30 m
D．关闭油门时，汽车与自行车的距离为 m
解析：选AC 汽车不碰上自行车的临界条件为速度相等时恰好追上，则有：v1－at＝v2，代入数据解得：t＝10 s，选项A正确，B错误；设关闭油门后汽车的位移为x1，自行车的位移为x2，则由位移关系有：x1＝x2＋x，即：t＝x＋v2t，代入数据解得：x＝30 m，选项C正确，D错误。
2．现有一辆摩托车先由静止开始以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，后以最大行驶速度25 m/s 匀速行驶，追赶前方以15 m/s的速度同向匀速行驶的卡车。已知摩托车开始运动时与卡车的距离为200 m，求：
(1)追上卡车前二者之间的最大距离是多少？
(2)摩托车经过多长时间才能追上卡车？
解析：(1)在追上卡车前二者速度相等时间距最大，设从开始经过t1时间二者速度相等，最大间距为xm，则
v＝at1
解得t1＝＝6 s
最大间距xm＝x0＋vt1－at12＝245 m。
(2)由题意得摩托车匀加速运动最长时间
t2＝＝10 s
此过程的位移x2＝＝125 m
设从开始经过t时间摩托车追上卡车，则
x2＋vm(t－t2)＝x0＋vt
解得t＝32.5 s。
答案：(1)245 m (2)32.5 s
命题点四 应用图像解决追及、相遇问题
题型1 xt图像中的追及、相遇问题
1.(多选)甲、乙两物体在同一直线上运动的xt图像如图所示，以甲的出发点为原点，出发时刻为计时起点。则从图像可以看出( )
A．t2～t3这段时间内甲的平均速度大于乙的平均速度
B．乙比甲先出发
C．甲开始运动时，乙在甲前面x0处
D．甲在中途停了一会儿，最终也没追上乙
解析：选AC 在t2～t3这段时间内，甲的位移大于乙的位移，由＝，可知甲的平均速度大于乙的平均速度，A项正确；由题图知，乙和甲同时出发，且乙在甲前面x0处，B项错误，C项正确；在t3时刻，甲追上了乙，D项错误。
2.(多选)甲、乙两辆车在同一水平直道上运动，其运动的位移—时间图像如图所示。则下列说法中正确的是( )
A．甲车先做匀减速直线运动，后做匀速直线运动
B．乙车在0～10 s内的平均速度大小为0.8 m/s
C．在0～10 s内，甲、乙两车相遇两次
D．若乙车做匀变速直线运动，则图线上P点所对应的瞬时速度大小一定大于0.8 m/s
解析：选BCD xt图像的斜率表示速度，根据题图可知，甲车先做匀速直线运动，后静止，选项A错误；乙车在0～10 s内的位移x＝(0－8)m＝－8 m，则平均速度＝＝ m/s＝－0.8 m/s，所以乙车在0～10 s内的平均速度大小为0.8 m/s，选项B正确；xt图像中图线的交点表示相遇，根据题图可知，在0～10 s内两车相遇两次，选项C正确；若乙车做匀变速直线运动，由其图线斜率变化特点知，乙车做匀加速直线运动，中间时刻的速度等于平均速度，即5 s末的速度等于0.8 m/s，所以P点即位移中点所对应的瞬时速度大小一定大于0.8 m/s，选项D正确。
题型2 v t图像中的追及、相遇问题
3．(多选)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动，它们的v t图像如图所示。下列判断正确的是( )
A．乙车启动时，甲车在其前方50 m处
B．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m
C．乙车启动10 s后正好追上甲车
D．乙车超过甲车后，两车不会再相遇
解析：选ABD 根据v t图线与时间轴包围的面积表示位移，可知乙车在t＝10 s时启动时甲车的位移为x＝×10×10 m＝50 m，即甲车在乙车前方50 m处，故A正确；当两车的速度相等时相距最远，最大距离为xmax＝×(5＋15)×10 m－×10×5 m＝75 m，故B正确；由于两车从同一地点沿同一方向做直线运动，当位移相等时两车才相遇，由题图可知，乙车启动10 s后位移小于甲车的位移，还没有追上甲车，故C错误；乙车超过甲车后，由于乙车的速度大，所以两车不会再相遇，故D正确。
4.(2019·广西重点高中模拟)甲、乙两车同时从同一地点沿着平直的公路前进，它们运动的vt图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．两车在t＝40 s时再次并排行驶
B．甲车减速过程的加速度大小为0.5 m/s2
C．两车再次并排行驶之前，t＝30 s时两车相距最远
D．两车之间的距离先变大，再减小，最后不变
解析：选B t＝40 s时，甲车的位移为x甲＝×30 m＋5×10 m＝425 m，乙车的位移为x乙＝10×40 m＝400 m，甲车在乙车前面，选项A错误；甲车做减速运动的加速度大小为a＝ m/s2＝0.5 m/s2，选项B正确；由两车对应图线与时间轴所围面积之差变化特点知，两车距离先变大，再减小，最后又变大，选项D错误；两车再次并排行驶之前，两车速度相等时相距最远，两车速度相等时v0－at′＝v乙，解得t′＝20 s，则在两车再次并排行驶之前，t＝20 s 时，两车相距最远，选项C错误。
1．(多选)(2018·全国卷Ⅲ)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是( )
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
解析：选CD xt图像斜率表示两车速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，故A错误；由两图线的纵轴截距知，出发时甲车在乙车前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离，故B错误；t1和t2时刻两图线相交，表明两车均在同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等；在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，即该时刻两车速度相等，故C、D正确。
2．(多选)(2018·全国卷Ⅱ)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是( )
A．两车在t1时刻也并排行驶
B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
解析：选BD 由题图知，t1～t2时间内，v甲＞v乙，t2时刻两车相遇，则t1时刻甲车在乙车的后面，故A错误，B正确；由图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，故C错误，D正确。
3．(多选)(2016·全国卷Ⅰ)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其vt图像如图所示。已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
解析：选BD 由题图知，甲车做初速度为0的匀加速直线运动，其加速度a甲＝10 m/s2。乙车做初速度v0＝10 m/s、加速度a乙＝5 m/s2的匀加速直线运动。3 s内甲、乙车的位移分别为x甲＝a甲t32＝45 m，x乙＝v0t3＋a乙t32＝52.5 m。由于t＝3 s时两车并排行驶，说明t＝0时甲车在乙车前，Δx＝x乙－x甲＝7.5 m，选项B正确；t＝1 s时，甲车的位移为5 m，乙车的位移为12.5 m，由于甲车的初始位置超前乙车7.5 m，则t＝1 s时两车并排行驶，选项A、C错误；甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为52.5 m－12.5 m＝40 m，选项D正确。
4.(2014·全国卷Ⅱ)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v t图像如图所示。在这段时间内( )
A．汽车甲的平均速度比乙的大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
解析：选A 根据v t图像图线与时间轴所围的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据v＝得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于，选项B错误；根据v t图像斜率的绝对值反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误。
5.(2014·大纲卷)一质点沿x轴做直线运动，其vt图像如图所示。质点在t＝0时位于x＝5 m处，开始沿x轴正向运动。当t＝8 s时，质点在x轴上的位置为( )
A．x＝3 m B．x＝8 m
C．x＝9 m D．x＝14 m
解析：选B 在vt图像中，图线与时间轴围成面积的大小等于质点运动的位移大小，则x08＝×(4＋2)×2 m－×(4＋2)×1 m＝3 m，故t＝8 s时，质点在x轴上的位置坐标x8＝5 m＋3 m＝8 m，选项B正确，A、C、D错误。
高考对运动学图像的考查频率较高，且大多考查vt图像或xt图像，题型多为选择题，有时在计算题中需要借助运动图像解决问题。at图像、xy图像等有时也会考查，复习时应引起重视。
命题点一 三类运动学图像的理解和应用
1．位移—时间图像反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律，图像并非物体运动的轨迹。
2．位移—时间图像只能描述物体做直线运动的情况，这是因为位移—时间图像只能表示物体运动的两个方向：t轴上方代表正方向，t轴下方代表负方向；如果物体做曲线运动，则画不出位移—时间图像。
3．位移—时间图线上每一点的斜率表示物体在该时刻的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向。
[例1] 甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间图像如图所示。由图像可知，在0～4 s 内( )
A．甲、乙始终同向运动
B．第4 s末时，甲、乙间的距离最大
C．甲的平均速度等于乙的平均速度
D．乙一直做匀加速直线运动
[解析] 由题图可知在0～2 s内，甲、乙同向运动，在2～4 s内甲、乙反向运动，选项A错误；第4 s末甲、乙相遇，甲、乙间的距离不是最大，选项B错误；在0～4 s内，甲、乙的位移都是2 m，故平均速度相等，选项C正确；根据位移—时间图线斜率的绝对值等于速度的大小，可知乙一直做匀速直线运动，选项D错误。
[答案] C
1．速度—时间图像反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，它也只能描述物体做直线运动的情况。
2．速度—时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的加速度。斜率的大小表示加速度的大小，斜率为正表示加速度沿规定的正方向，但物体不一定做加速运动，斜率为负则加速度沿负方向，物体不一定做减速运动。
3．速度—时间图线与t轴所围面积表示这段时间内物体的位移。t轴上方的面积表示位移沿正方向，t轴下方的面积表示位移沿负方向，如果上方与下方的面积大小相等，说明物体恰好回到出发点。
[例2] (多选)如图所示为一个质点做直线运动的vt图像，则下列说法正确的是( )
A．质点在0～5 s内的位移为5 m
B．质点在整个运动过程中，10～12 s 内的加速度最大
C．质点在10 s末离出发点最远
D．质点在8～12 s内的平均速度为4 m/s
[解析] 根据vt图像中图线与时间轴所围的面积表示位移可知，质点在0～5 s内的位移x＝×2×5 m＝5 m，选项A正确；由vt图像的斜率表示加速度可知，0～5 s内的加速度大小a1＝ m/s2,8～10 s内的加速度大小a2＝ m/s2＝2 m/s2,10～12 s内的加速度大小a3＝m/s2＝6 m/s2，所以质点在整个运动过程中，10～12 s内的加速度最大，选项B正确；质点在11 s末离出发点最远，选项C错误；质点在8～12 s内的位移x＝×(2＋6)×2 m＝8 m，平均速度为＝ m/s＝2 m/s，选项D错误。
[答案] AB
(三)位置坐标(xy)图像
表示物体位置的坐标图，图线表示物体的实际运动轨迹，在坐标图上能表示出物体运动的位移，以及某点速度的方向(切线)，但无法确定速度的大小，图线的斜率也没有意义。
[例3] (多选)如图为甲、乙、丙三个军事小分队进行军事行动的位置坐标图像，下列说法正确的是( )
A．甲、丙两个分队的运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线
B．甲、乙、丙三个分队的位移大小相等
C．甲、乙、丙三个分队的平均速度大小相等
D．甲、乙、丙三个分队运动的路程相等
[解析] 位置坐标图像显示的是物体的运动轨迹，从题图可以看出甲、丙两个分队运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线，A正确；三个分队的初、末位置相同，位移大小相等，但运动路程不同，B正确，D错误；因不知道三个分队运动时间的大小关系，故无法比较三个分队平均速度的大小关系，C错误。
[答案] AB
消除对运动学图像的“误会”
(1)无论xt图像、vt图像是直线还是曲线，所描述的运动都是直线运动，图像的形状反映了x与t、v与t的函数关系，而不是物体运动的轨迹。
(2)xt图像中两图线的交点表示两物体相遇，vt图像中两图线的交点表示该时刻两物体的速度相等，并非相遇。
(3)位置坐标(xy)图像则能描述曲线运动，图线交点表示物体均经过该位置，但不一定相遇，因为不知道时间关系。
[集训冲关]
1．(多选)如图所示，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移—时间图线。由图可知( )
A．在时刻t1，a车追上b车
B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反
C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增加
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大
解析：选BC 由题图知，在t1时刻，b车追上a车，选项A错误；在t2时刻，b车运动图像的斜率为负值，表示b车速度反向，而a车速度大小和方向始终不变，选项B正确；从t1时刻到t2时刻，图像b斜率的绝对值先减小至零后增大，反映了b车的速率先减小至零后增加，选项C正确，D错误。
2．物体从静止开始做直线运动，v t 图像如图所示，则该物体( )
A．在第8 s末相对于起点的位移最大
B．在第4 s末相对于起点的位移最大
C．在2～4 s时间内的加速度大小最大
D．在4～8 s时间内，加速度大小保持不变
解析：选D 由题图知，物体在0～6 s内沿正方向运动，在6～8 s 内沿负方向运动，所以在第6 s末相对于起点的位移最大，选项A、B错误；vt图线的斜率表示物体的加速度，由题图图线可知4～8 s内物体的加速度大小不变并且最大，选项C错误，D正确。
命题点二 利用三个基本公式研究非常规图像
(一)三类图像
1．at图像：由v＝v0＋at可知图像与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示。
2.t图像：由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图像的斜率为a，纵轴截距为v0，如图乙所示。
3．v2x图像：由v2－v02＝2ax可得v2＝v02＋2ax，图像斜率为2a。
(二)解题技巧
1．图像反映了两个物理量之间的函数关系，因此首先要由运动学公式推导出两个物理量间的关系式，再分析图像及斜率、截距、面积等几何元素的物理意义。
2．注意把处理常规图像问题的思想方法加以迁移应用，必要时可将该图像所反映的物理过程转换为常见的xt或vt 图像。
[典例] 一质点沿直线运动，如图所示是从t＝0时刻开始的质点的t图像(x为位移)，可以推知( )
A．质点做匀减速运动
B．加速度的大小是1 m/s2
C．t＝2 s时的速度是1 m/s
D．t＝2 s时位移是3 m
[解析] 由题意可得题图图线的函数表达式为＝1＋t，即x＝t＋t2，匀变速直线运动的位移公式为x＝v0t＋at2，根据对应关系得v0＝1 m/s，a＝1 m/s2＞0，因此质点做匀加速运动，故A项错误，B项正确；当t＝2 s时，根据公式v＝v0＋at，可得速度是3 m/s，故C项错误；当t＝2 s时，代入表达式x＝t＋t2，可得位移是4 m，故D项错误。
[答案] B
[集训冲关]
1.(2019·南昌模拟)一辆汽车做直线运动，其v2x图像如图所示。关于汽车的运动，下列说法错误的是( )
A．汽车的初速度为4 m/s
B．汽车的加速度大小为0.5 m/s2
C．汽车在第4 s末的速度为2 m/s
D．汽车前10 s内的位移为15 m
解析：选D 由题图可知，初始时速度的平方为16 m2/s2，则汽车的初速度v0＝4 m/s，A项正确；v2与x的关系式为v2－42＝－x，与公式v2－v02＝2ax对比，可知汽车做匀减速直线运动，加速度a＝－0.5 m/s2，B项正确；由v＝v0＋at，可得汽车在第4 s末的速度为v4＝4 m/s－0.5×4 m/s＝2 m/s，C项正确；因＝8 s，则知第8 s末汽车停止，汽车前10 s内的位移x＝＝16 m，D项错误。
2．(2019·武汉模拟)一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示。取物体开始运动的方向为正方向，则选项图中关于物体运动的v t图像正确的是( )
解析：选C 根据题图图像可得，0～1 s内物体做匀加速直线运动，速度v＝at＝t，速度为正方向，选项D错；第1 s末的速度v＝1 m/s,1～2 s内加速度变为负值，而速度为正方向，因此物体做匀减速直线运动，v′＝1 m/s－a(t－1)，第2 s末，速度减小为0，选项B错；2～3 s内加速度为正值，初速度为0，物体沿正方向做匀加速直线运动，v＝a(t－2)＝t－2，即从第2 s末开始重复前面的运动，图像如C，选项C对，A错。
命题点三 追及、相遇问题
1．追及、相遇问题中的“一个条件、两个关系”
一个条件
即两物体速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点
两个关系
即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到
2.追及、相遇问题常见的情景
假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情景：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)要使A、B恰好不相撞，A、B同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。
(3)若使A、B保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB。
3．解题思路和方法
⇒⇒⇒
[典例] 甲、乙两车同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，速度分别为v甲＝8 m/s，v乙＝16 m/s。在相距x＝16 m时，甲、乙两车同时刹车，甲车加速度大小为a′＝2 m/s2。则乙车加速度大小至少为多大时两车才不会相撞？
[解析] 甲、乙两车不相撞的条件是甲、乙两车速度相同时，x乙≤x甲＋x，当x乙＝x甲＋x时恰好不相撞。
设乙的加速度大小为a，两车速度相等时，
v乙－at＝v甲－a′t
x甲＝v甲t－a′t2
x乙＝v乙t－at2
又x乙＝x甲＋x
解得t＝4 s，a＝4 m/s2
即当a＝4 m/s2时，两车恰好不相撞，所以乙车的加速度大小至少应为4 m/s2。
[答案] 4 m/s2
追及、相遇问题的解题技巧
(1)紧抓“一图三式”，即过程示意图、时间关系式、速度关系式和位移关系式。
(2)审题时应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
[集训冲关]
1．(多选)一辆汽车正以v1＝10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，发现正前方有一辆自行车以v2＝4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为a＝0.6 m/s2 的匀减速运动，汽车恰好没有碰上自行车，则( )
A．关闭油门后，汽车恰好没有碰上自行车时所用时间为10 s
B．关闭油门后，汽车恰好没有碰上自行车时所用时间为 s
C．关闭油门时，汽车与自行车的距离为30 m
D．关闭油门时，汽车与自行车的距离为 m
解析：选AC 汽车不碰上自行车的临界条件为速度相等时恰好追上，则有：v1－at＝v2，代入数据解得：t＝10 s，选项A正确，B错误；设关闭油门后汽车的位移为x1，自行车的位移为x2，则由位移关系有：x1＝x2＋x，即：t＝x＋v2t，代入数据解得：x＝30 m，选项C正确，D错误。
2．现有一辆摩托车先由静止开始以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，后以最大行驶速度25 m/s 匀速行驶，追赶前方以15 m/s的速度同向匀速行驶的卡车。已知摩托车开始运动时与卡车的距离为200 m，求：
(1)追上卡车前二者之间的最大距离是多少？
(2)摩托车经过多长时间才能追上卡车？
解析：(1)在追上卡车前二者速度相等时间距最大，设从开始经过t1时间二者速度相等，最大间距为xm，则
v＝at1
解得t1＝＝6 s
最大间距xm＝x0＋vt1－at12＝245 m。
(2)由题意得摩托车匀加速运动最长时间
t2＝＝10 s
此过程的位移x2＝＝125 m
设从开始经过t时间摩托车追上卡车，则
x2＋vm(t－t2)＝x0＋vt
解得t＝32.5 s。
答案：(1)245 m (2)32.5 s
命题点四 应用图像解决追及、相遇问题
题型1 xt图像中的追及、相遇问题
1.(多选)甲、乙两物体在同一直线上运动的xt图像如图所示，以甲的出发点为原点，出发时刻为计时起点。则从图像可以看出( )
A．t2～t3这段时间内甲的平均速度大于乙的平均速度
B．乙比甲先出发
C．甲开始运动时，乙在甲前面x0处
D．甲在中途停了一会儿，最终也没追上乙
解析：选AC 在t2～t3这段时间内，甲的位移大于乙的位移，由＝，可知甲的平均速度大于乙的平均速度，A项正确；由题图知，乙和甲同时出发，且乙在甲前面x0处，B项错误，C项正确；在t3时刻，甲追上了乙，D项错误。
2.(多选)甲、乙两辆车在同一水平直道上运动，其运动的位移—时间图像如图所示。则下列说法中正确的是( )
A．甲车先做匀减速直线运动，后做匀速直线运动
B．乙车在0～10 s内的平均速度大小为0.8 m/s
C．在0～10 s内，甲、乙两车相遇两次
D．若乙车做匀变速直线运动，则图线上P点所对应的瞬时速度大小一定大于0.8 m/s
解析：选BCD xt图像的斜率表示速度，根据题图可知，甲车先做匀速直线运动，后静止，选项A错误；乙车在0～10 s内的位移x＝(0－8)m＝－8 m，则平均速度＝＝ m/s＝－0.8 m/s，所以乙车在0～10 s内的平均速度大小为0.8 m/s，选项B正确；xt图像中图线的交点表示相遇，根据题图可知，在0～10 s内两车相遇两次，选项C正确；若乙车做匀变速直线运动，由其图线斜率变化特点知，乙车做匀加速直线运动，中间时刻的速度等于平均速度，即5 s末的速度等于0.8 m/s，所以P点即位移中点所对应的瞬时速度大小一定大于0.8 m/s，选项D正确。
题型2 v t图像中的追及、相遇问题
3．(多选)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动，它们的v t图像如图所示。下列判断正确的是( )
A．乙车启动时，甲车在其前方50 m处
B．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m
C．乙车启动10 s后正好追上甲车
D．乙车超过甲车后，两车不会再相遇
解析：选ABD 根据v t图线与时间轴包围的面积表示位移，可知乙车在t＝10 s时启动时甲车的位移为x＝×10×10 m＝50 m，即甲车在乙车前方50 m处，故A正确；当两车的速度相等时相距最远，最大距离为xmax＝×(5＋15)×10 m－×10×5 m＝75 m，故B正确；由于两车从同一地点沿同一方向做直线运动，当位移相等时两车才相遇，由题图可知，乙车启动10 s后位移小于甲车的位移，还没有追上甲车，故C错误；乙车超过甲车后，由于乙车的速度大，所以两车不会再相遇，故D正确。
4.(2019·广西重点高中模拟)甲、乙两车同时从同一地点沿着平直的公路前进，它们运动的vt图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．两车在t＝40 s时再次并排行驶
B．甲车减速过程的加速度大小为0.5 m/s2
C．两车再次并排行驶之前，t＝30 s时两车相距最远
D．两车之间的距离先变大，再减小，最后不变
解析：选B t＝40 s时，甲车的位移为x甲＝×30 m＋5×10 m＝425 m，乙车的位移为x乙＝10×40 m＝400 m，甲车在乙车前面，选项A错误；甲车做减速运动的加速度大小为a＝ m/s2＝0.5 m/s2，选项B正确；由两车对应图线与时间轴所围面积之差变化特点知，两车距离先变大，再减小，最后又变大，选项D错误；两车再次并排行驶之前，两车速度相等时相距最远，两车速度相等时v0－at′＝v乙，解得t′＝20 s，则在两车再次并排行驶之前，t＝20 s 时，两车相距最远，选项C错误。
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