2020版高考物理新创新一轮复习通用版讲义：第九章第60课时　带电粒子在叠加场中的运动（题型研究课）

第60课时　带电粒子在叠加场中的运动(题型研究课)

1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里。三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc。已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是(　　)
A．ma>mb>mc　　　　　 B．mb>ma>mc
C．mc>ma>mb D．mc>mb>ma
解析：选B　该空间区域为匀强电场、匀强磁场和重力场的叠加场，a在纸面内做匀速圆周运动，可知其重力与所受到的电场力平衡，洛伦兹力提供其做匀速圆周运动的向心力，有mag＝qE，解得ma＝。b在纸面内向右做匀速直线运动，由左手定则可判断出其所受洛伦兹力方向竖直向上，可知mbg＝qE＋qvbB，解得mb＝＋。c在纸面内向左做匀速直线运动，由左手定则可判断出其所受洛伦兹力方向竖直向下，可知mcg＋qvcB＝qE，解得mc＝－。综上所述，可知mb>ma>mc，选项B正确。
2．(2018·北京高考)某空间存在匀强磁场和匀强电场。一个带电粒子(不计重力)以一定初速度射入该空间后，做匀速直线运动；若仅撤除电场，则该粒子做匀速圆周运动。下列因素与完成上述两类运动无关的是(　　)
A．磁场和电场的方向　　　 B．磁场和电场的强弱
C．粒子的电性和电量 D．粒子入射时的速度
解析：选C　这是“速度选择器”模型，带电粒子在匀强磁场和匀强电场的叠加区域内做匀速直线运动，则粒子受到的洛伦兹力与电场力平衡，大小满足qvB＝qE，故v＝，即磁场和电场的强弱决定粒子入射时的速度大小；洛伦兹力与电场力的方向一定相反，结合左手定则可知，磁场和电场的方向一定互相垂直，粒子入射时的速度方向同时垂直于磁场和电场，且不论粒子带正电还是带负电，入射时的速度方向相同，而不是电性相反时速度方向也要相反。总之粒子是否在“速度选择器”中做匀速直线运动，与粒子的电性、电量均无关，而是取决于磁场和电场的方向、强弱，以及粒子入射时的速度，故C正确。
3．(2016·全国卷Ⅰ)现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。此离子和质子的质量比约为(　　)
A．11 B．12
C．121 D．144
解析：选D　带电粒子在加速电场中运动时，有qU＝mv2，在磁场中偏转时，其半径r＝，由以上两式整理得r＝。由于质子与一价正离子的电荷量相同，B1∶B2＝1∶12，当半径相等时，解得＝144，选项D正确。
4．(2018·全国卷Ⅰ)如图，在y＞0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E；在y＜0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一个氕核H和一个氘核H先后从y轴上y＝h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向。已知H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场。H的质量为m，电荷量为q。不计重力。求：
(1)H第一次进入磁场的位置到原点O的距离；
(2)磁场的磁感应强度大小；
(3)H第一次离开磁场的位置到原点O的距离。
解析：(1)
H在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示。在电场中由运动学公式有
s1＝v1t1①
h＝a1t12②
H进入磁场时速度在y轴方向的分量大小为
v1tan θ1＝a1t1③
联立以上各式得
s1＝h。④
(2)H在电场中运动时，由牛顿第二定律有
qE＝ma1⑤
进入磁场时速度的大小为
v＝⑥
在磁场中运动时，由牛顿第二定律有
qvB＝m⑦
由几何关系得
s1＝2R1sin θ1⑧
联立以上各式得B＝ 。⑨
(3)H与H初动能相等
×2mv22＝mv12⑩
H在电场中运动时有
qE＝2ma2⑪
s2＝v2t2⑫
h＝a2t22⑬
进入磁场时v2tan θ2＝a2t2⑭
v′＝⑮
qv′B＝2m⑯
联立以上各式得
s2＝s1，θ2＝θ1，R2＝R1⑰
所以H第一次离开磁场的出射点在原点左侧，设出射点到入射点的距离为s2′，由几何关系有
s2′＝2R2sin θ2⑱
联立④⑧⑰⑱式得，H第一次离开磁场时的位置到原点O的距离为
s2′－s2＝(－1)h。⑲
答案：(1)h　(2) 　(3)(－1)h

1．带电粒子在磁场、组合场及叠加场中的运动是历年高考的热点，常见的题型多为综合性计算题，但也可能是选择题。
2．有界磁场、组合场、叠加场问题可以综合考查受力分析，圆周运动、平抛运动规律及牛顿运动定律、动能定理、功能关系等，因此一般是高考题中分值较高，难度较大的题目。　　


命题点一　电场与磁场的叠加
考法1　带电粒子在叠加场中的直线运动　
[例1]　如图所示，从S处由静止发出的热电子经加速电压U加速后垂直进入正交的匀强电场和匀强磁场中，发现电子向上极板偏转。设两极板间电场强度为E，磁感应强度为B，忽略电子受到的重力。欲使电子沿直线从电场和磁场区域通过，只采取下列措施，其中可行的是(　　)
A．适当减小电场强度E
B．适当减小磁感应强度B
C．适当增大加速电场极板之间的距离
D．适当减小加速电压U
[解析]　根据左手定则可知电子所受的洛伦兹力的方向竖直向下，故电子向上极板偏转的原因是电场力大于洛伦兹力，要使电子在叠加场中做匀速直线运动，有Eq＝qvB，所以要么增大洛伦兹力，要么减小电场力。适当减小电场强度E，可以减小电场力，选项A正确；适当减小磁感应强度B，可以减小洛伦兹力，选项B错误；适当增大加速电场极板之间的距离，根据eU＝mv2可得v＝ ，由于两极板间的电压没有变化，所以电子进入磁场的速率没有变化，因此没有改变电场力和洛伦兹力的大小，选项C错误；适当减小加速电压U，可以减小电子进入叠加场中的速度v，从而减小洛伦兹力，选项D错误。
[答案]　A
考法2　带电粒子在叠加场中的偏转　
[例2]　(2019·济宁模拟)如图所示，在xOy平面的第一、四象限内存在着方向垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，第四象限内存在方向沿y轴负方向、电场强度为E的匀强电场。从y轴上坐标为a的一点向磁场区发射速度大小不等的带正电同种粒子，速度方向范围与y轴正方向成30°～150°夹角，且在xOy平面内。结果所有粒子经过磁场偏转后都垂直打到x轴上，然后进入第四象限。已知带电粒子电荷量为q、质量为m，重力不计。求：
(1)垂直y轴方向射入磁场的粒子运动的速度大小v1；
(2)粒子在第一象限的磁场中运动的最长时间以及对应的射入方向；
(3)从x轴上x＝(－1)a点射入第四象限的粒子穿过电磁场后经过y轴上y＝－b的点，求该粒子经过y＝－b点的速度大小。

[解析]　 (1)垂直y轴方向射入磁场的粒子运动轨迹如图甲所示，
由几何关系知，粒子运动轨迹的圆心在O点，轨迹半径：r1＝a
由洛伦兹力提供向心力得：qv1B＝m
解得：v1＝。
(2)当粒子初速度方向与y轴正方向夹角为30°时，粒子在第一象限的磁场中运动的时间最长，
此时运动轨迹对应的圆心角：α＝150°
粒子在磁场中运动的周期：T＝
粒子的运动时间：t＝T＝×＝。
(3)如图乙所示，设粒子射入磁场时速度方向与y轴负方向的夹角为θ，轨迹半径为R，
由几何关系得：R－Rcos θ＝(－1)a
Rsin θ＝a
解得：θ＝45°，R＝a
由洛伦兹力提供向心力得：qv0B＝m
此粒子进入磁场的速度：v0＝
设粒子到达y轴上速度大小为v，
根据动能定理得：qEb＝mv2－mv02
解得：v＝ 。
[答案]　(1)　(2)，粒子初速度方向与y轴正方向夹角为30°　(3)

(1)带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，电场力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平衡解题。
(2)带电粒子在电场和磁场的叠加场中偏转，是电场力和洛伦兹力不平衡造成的。此过程中电场力做功，洛伦兹力不做功，需根据电场力做功的正、负判断动能的变化。　　


[集训冲关]
1.(多选)在图中虚线所围的区域内，存在电场强度为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场。已知从左方水平射入的电子穿过此区域时未发生偏转，电子重力忽略不计。则在该区域中的E和B的方向可能是(　　)
A．E和B都沿水平方向，并与电子运动的方向相同
B．E和B都沿水平方向，并与电子运动的方向相反
C．E竖直向上，B垂直纸面向外
D．E竖直向上，B垂直纸面向里
解析：选ABC　电子进入该区域后仅受电场力和洛伦兹力作用，由于电子穿过该区域时不发生偏转，所以电场力和洛伦兹力的合力等于零或合力方向与电子运动方向在同一直线上。当E和B都沿水平方向，并与电子运动的方向相同时，洛伦兹力为零，电子仅受与其运动方向相反的电场力作用，将做匀减速直线运动穿过该区域；当E和B都沿水平方向，并与电子运动的方向相反时，洛伦兹力等于零，电子仅受与其运动方向相同的电场力作用，将做匀加速直线运动穿过该区域；当E竖直向上，B垂直纸面向外时，电场力竖直向下，洛伦兹力竖直向上，若qE＝qvB，电子将做匀速直线运动穿过该区域；当E竖直向上，B垂直纸面向里时，电场力和洛伦兹力都竖直向下，电子不可能在该区域中做直线运动。故A、B、C正确。
2.一个带正电的微粒(重力不计)穿过如图所示的匀强磁场和匀强电场区域时，恰能沿直线运动。欲使微粒向下偏转，应采用的办法是(　　)
A．增大微粒质量
B．增大微粒电荷量
C．减小入射速度
D．增大磁感应强度
解析：选C　微粒在穿过题图所示区域时所受的力为：竖直向下的电场力Eq和竖直向上的洛伦兹力qvB，且初始时Eq＝qvB。若要使微粒向下偏转，需使Eq>qvB，则减小入射速度v、减小磁感应强度B或增大电场强度E均可，故C正确。
3.如图所示，水平的两块带电金属极板a、b平行正对放置，极板长度为l，板间距为d，板间存在方向竖直向下、场强大小为E的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，假设电场、磁场只存在于两极板间。一质量为m、电荷量为q的粒子，以水平速度v0从两极板的左端正中央沿垂直于电场、磁场的方向进入极板间，恰好做匀速直线运动，不计重力及空气阻力。求：
(1)匀强磁场磁感应强度B的大小；
(2)若撤去磁场，粒子能从极板间射出，粒子穿过电场时沿电场方向移动的距离；
(3)若撤去磁场，并使电场强度变为原来的2倍，粒子将打在下极板上，粒子到达下极板时动能的大小。
解析：(1)带电粒子匀速通过电场、磁场区时受到的电场力与洛伦兹力平衡，可得
qE＝qv0B，
解得B＝。
(2)粒子穿过电场时做类平抛运动，沿电场方向移动的距离
y＝at2＝。
(3)设粒子运动到下极板时的动能大小为Ek，
根据动能定理，可得
2qE·d＝Ek－mv02，
解得Ek＝mv02＋qEd。
答案：(1)　(2)　(3)mv02＋qEd
命题点二　电场、磁场与重力场的叠加
考法1　无约束条件的叠加场　
[例1]　如图所示，在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，电场强度为E，磁感应强度为B，足够长的斜面固定在水平面上，斜面倾角为45°。有一带电的小球P静止于斜面顶端A处，且恰好对斜面无压力。若将小球P(视为质点)以初速度v0水平向右抛出，一段时间后，小球P落在斜面上的C点。已知小球P的运动轨迹在同一竖直平面内，重力加速度为g，求：
(1)小球P落到斜面上时速度方向与斜面的夹角θ及由A到C所需的时间t；
(2)小球P从抛出到落到斜面的位移x的大小。
[解析]　(1)小球P静止时不受洛伦兹力作用，仅受自身重力和电场力，对斜面无压力，则mg＝qE①
小球P获得水平初速度后由于自身重力和电场力平衡，将在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，如图所示，由对称性可得小球P落到斜面上时其速度方向与斜面的夹角θ为45°
由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝m②
圆周运动的周期T＝＝③
圆周运动转过的圆心角为90°，小球P由A到C所需的时间t＝＝。④
(2)由②式可知，小球P做匀速圆周运动的半径R＝⑤
由几何关系知x＝R⑥
联立①⑤⑥式解得位移x＝。
[答案]　(1)45°　　(2)
考法2　有约束条件的叠加场　
[例2]　(多选)(2019·赣州模拟)如图所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球套在杆上。已知小球的质量为m、电荷量为＋q，电场强度为E，磁感应强度为B，小球与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。小球由静止开始下滑直到稳定的过程中(　　)
A．小球的加速度一直减小
B．小球的机械能和电势能的总和保持不变
C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v＝
D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v＝
[解析]　v较小时，对小球受力分析如图所示，Ff＝μFN＝μ(qE－qvB)，mg－μ(qE－qvB)＝ma，随着v的增大，小球加速度先增大，当qE＝qvB时达到最大值，amax＝g，继续运动，有Ff＝μ(qvB－qE)，mg－μ(qvB－qE)＝ma，随着v的增大，加速度逐渐减小，A错误；因为有摩擦力做功，机械能与电势能总和在减小，B错误；若在加速度增大时达到最大加速度的一半，则mg－μ(qE－qvB)＝m·，得v＝；若在加速度减小时达到最大加速度的一半，则mg－μ(qvB－qE)＝m·，得v＝，C、D正确。
[答案]　CD

1．无约束条件的运动
(1)若电场力、洛伦兹力、重力三力平衡，一定做匀速直线运动。
(2)若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动。
(3)若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解。
2．有约束条件的运动
带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，分析时应注意：
(1)分析带电体所受各力尤其是洛伦兹力的变化情况，分阶段明确物体的运动情况。
(2)根据物体各阶段的运动特点，选择合适的规律求解。　　
[集训冲关]
1.在如图所示的真空区域中，匀强磁场方向水平且垂直纸面向外，磁感应强度B＝2.5 T，匀强电场方向水平向左，场强E＝ N/C。一个带负电的小颗粒质量m＝3.0×10－7 kg，电荷量q＝3.0×10－6 C，带电小颗粒在这个区域中刚好做匀速直线运动。求：(g取10 m/s2)
(1)小颗粒运动的方向和速度大小；
(2)如果小颗粒运动到图中P点时，把磁场突然撤去，小颗粒运动中将会通过与P点在同一电场线上的Q点，从P点运动到Q点所需时间。
解析：(1)由题意知，小颗粒受力平衡，小颗粒受力如图甲所示，
tan α＝＝，
所以α＝30°，
由左手定则得，带负电小颗粒的运动方向应与水平方向成60°角斜向右上方，
由平衡条件可得qvB＝，
解得v＝0.8 m/s。
(2)突然撤去磁场后，小颗粒受到的重力和电场力的合力方向与速度方向垂直，如图乙所示，故小颗粒将做变速曲线运动(类平抛运动)。在竖直方向上，小颗粒做初速度为vsin 60°，加速度为g的竖直上抛运动，
由竖直分运动的对称性知，从P点运动到Q点所需时间
t＝＝0.08 s≈0.14 s。
答案：(1)与水平方向成60°角斜向右上方　0.8 m/s　(2)0.14 s
2.(2019·常德高三模拟)如图所示，ABCD矩形区域内存在互相垂直的有界匀强电场和匀强磁场的叠加场。有一质量为m、带电荷量大小为q的小球在光滑绝缘的水平面上，从静止开始经电压为U的电场加速后，水平进入ABCD区域中，恰能在此空间的竖直面内做匀速圆周运动，且从B点射出，已知AB长度为L，AD长度为L，求：
(1)小球带何种电荷及进入叠加场时的速度大小；
(2)小球在叠加场中做圆周运动的轨迹半径；
(3)小球在叠加场中运动的时间。
解析：(1)小球在电场、磁场和重力场的叠加场中做匀速圆周运动，且从B点射出，根据左手定则可知小球带负电荷，
小球进入叠加场之前，由动能定理得：qU＝mv2，
解得：v＝ 。
(2)设小球做圆周运动的轨迹半径为r，由几何关系得：
r2＝(r－L)2＋(L)2，
解得：r＝2L。
(3)由(2)知小球在复合场中做圆周运动对应的圆心角满足：
sin θ＝，解得：θ＝
小球运动周期：T＝
运动时间为：t＝T
联立解得：t＝。
答案：(1)负电荷　　(2)2L　(3)
命题点三　带电粒子在交变电磁场中的运动
求解这类问题时首先要明确是电场做周期性变化还是磁场做周期性变化，亦或是电场、磁场都做周期性变化，一般按如下思路分析：

[典例]　如图甲所示，xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t变化的图像如图乙所示，周期均为2t0，y轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向。t＝0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子从坐标原点O开始运动，此时速度大小为v0，方向沿x轴正方向。已知电场强度大小为E0，磁感应强度大小B0＝，不计粒子所受重力。求：

(1)t0时刻粒子的速度大小v1及对应的位置坐标(x1，y1)；
(2)为使粒子第一次运动到y轴时速度沿x轴负方向，B0与E0应满足的关系；
(3)t＝4nt0(n＝1,2，…)时刻粒子所在位置的横坐标x。
[解析]　(1)0～t0时间内，粒子在电场中运动，沿着x轴正方向，有：
x1＝v0t0
沿着y轴正方向，有：vy＝at0，y1＝at02
由牛顿第二定律，有：qE0＝ma
运动的速度大小：v1＝
解得：v1＝ ，粒子的位置坐标为。
(2)设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，由洛伦兹力提供向心力，有：
qv1B0＝m＝r1
解得：T＝2t0
则粒子第一次运动到y轴前的轨迹如图1所示。
粒子在磁场中做圆周运动时，有：qv1B0＝
轨迹圆心在y轴上，结合几何关系得：r1sin θ＝v0t0
且v1sin θ＝vy
解得：＝v0。
(3)粒子在磁场中做圆周运动的周期为2t0，即在t0～2t0时间内粒子转了半圈，设粒子沿x轴方向向左移动Δx,2t0时刻速度大小仍为v1，方向与t0时刻速度方向相反，在2t0～3t0时间内粒子做匀变速曲线运动，根据对称性可知，粒子运动轨迹与0～t0 时间内相同，3t0时刻速度大小为v0，方向沿着x轴负方向，在3t0～4t0时间内粒子转动半圈，4t0时刻速度大小为v0，方向沿着x轴正方向，如图2所示，则0～4t0时间内粒子沿x轴方向向左移动的距离为Δx
由几何关系得：Δx＝2r1sin θ＝
由粒子运动的周期性知，t＝4nt0时粒子的横坐标：
x＝－nΔx＝－(n＝1,2，…)。
[答案]　(1) 　　
(2)＝v0　(3)x＝－(n＝1,2，…)

分析带电粒子在交变电磁场中的运动时，关键是明确它在一个周期内的运动，化变为恒是思维根本，其技巧是画出轨迹示意图，结合带电粒子在电场、磁场中的运动规律列方程解答。　　
[集训冲关]
1．如图甲所示，M、N为竖直放置且彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。有一束正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场，已知正离子的质量为m，电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计正离子所受重力。求：

(1)磁感应强度B0的大小；
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
解析：(1)设磁场方向垂直于纸面向里时为正，正离子射入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
B0qv0＝m
粒子运动的周期T0＝
解得B0＝。
(2)正离子从O′孔垂直于N板射出磁场时，可能的运动轨迹如图所示，
正离子在两板之间只运动一个周期T0时，有r＝
正离子在两板之间运动n个周期即nT0时，有r＝(n＝1,2,3，…)
解得v0＝(n＝1,2,3，…)。
答案：(1)　(2)(n＝1,2,3，…)
2．(2019·天水模拟)如图甲所示，在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、沿y轴正方向电场强度为正)。在t＝0时刻由原点O发射初速度大小为v0，方向沿y轴正方向的带负电粒子。已知v0、t0、B0，粒子的比荷为，不计粒子的重力。求：

(1)t＝t0时，粒子的位置坐标；
(2)若t＝5t0时粒子回到原点，0～5t0时间内粒子距x轴的最大距离；
(3)若粒子能够回到原点，满足条件的所有E0值。
解析：(1)粒子在0～t0内沿顺时针方向做圆周运动
qv0B0＝m，T＝
解得r1＝，T＝
又粒子的比荷＝
解得r1＝，T＝2t0
故t＝t0时，粒子的位置坐标为。
(2)粒子在t＝5t0时回到原点，运动轨迹如图甲所示
由r2＝2r1，r1＝，r2＝
解得v2＝2v0
则在0～5t0时间内粒子距x轴的最大距离
hm＝t0＋r2＝v0t0。

(3)如图乙所示，设带电粒子在x轴下方做圆周运动的轨迹半径为r2′，由几何关系可知，要使粒子能够回到原点，则必须满足
n(2r2′－2r1)＝2r1(n＝1,2,3，…)
其中r2′＝
解得v＝v0(n＝1,2,3，…)
又v＝v0＋t0
解得E0＝(n＝1,2,3，…)。
答案：(1)　(2)v0t0　(3)(n＝1,2,3，…)