2020版高考物理新创新一轮复习通用版讲义：第十章第66课时 电磁感应中的动力学问题（题型研究课）
展开第66课时 电磁感应中的动力学问题(题型研究课)
命题点一 “杆＋导轨＋电阻”四种模型剖析
| 模型一(v0≠0) | 模型二(v0＝0) | 模型三(v0＝0) | 模型四(v0＝0) |
说 明 | 质量为m，电阻不计的杆cd以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L | 轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定 | 倾斜轨道光滑，倾角为α，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L | 竖直轨道光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L |
示 意 图 | ||||
力 学 观 点 | 杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝，安培力F＝BIL＝。杆做减速运动：v↓⇒F↓⇒a＝↓，当v＝0时，a＝0，杆保持静止 | 开始时a＝，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝ | 开始时a＝gsin α，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mgsin α－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝ | 开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mg－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝ |
图 像 观 点 |
[例1] (2016·全国卷Ⅱ)如图，水平面(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上。t＝0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动。t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ。重力加速度大小为g。求：
(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；
(2)电阻的阻值。
[解析] (1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为a，由牛顿第二定律得
F－μmg＝ma
设金属杆到达磁场左边界时的速度为v，由运动学公式有
v＝at0
当金属杆以速度v在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律，杆中的电动势为
E＝Blv
解得E＝Blt0。
(2)设金属杆在磁场区域中做匀速运动时，金属杆中的电流为I，根据欧姆定律
I＝
式中R为电阻的阻值。金属杆所受的安培力为
f＝BlI
因金属杆做匀速运动，由牛顿第二定律得
F－μmg－f＝0
解得R＝。
[答案] (1)Blt0 (2)
[例2] 如图甲所示，两根足够长的光滑金属导轨ab、cd与水平面成θ＝30°角，导轨间距离为l＝1 m，电阻不计，一个阻值为R0的定值电阻与电阻箱并联接在两导轨的上端，整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直，磁感应强度大小为B＝1 T。现将一质量为m、电阻可以忽略的金属棒MN从图示位置由静止开始释放，金属棒下滑过程中与导轨接触良好。改变电阻箱的阻值R，测定金属棒的最大速度vm，得到图像如图乙所示。取g＝10 m/s2。求：
(1)金属棒的质量m和定值电阻R0的阻值；
(2)当电阻箱R取2 Ω，且金属棒的加速度为时，金属棒的速度大小。
[解析] (1)金属棒以最大速度vm下滑时，根据法拉第电磁感应定律有E＝Blvm，
由闭合电路欧姆定律有E＝I，
根据平衡条件有BIl＝mgsin θ，
由以上各式整理得＝·＋·，
由图像可知＝1 m－1·s·Ω，·＝0.5 m－1·s，
解得m＝0.2 kg，R0＝2 Ω。
(2)设此时金属棒下滑的速度为v，根据法拉第电磁感应定律有E′＝I′，又E′＝Blv，
当金属棒下滑的加速度为时，根据牛顿第二定律有mgsin θ－BI′l＝m·，
联立解得v＝0.5 m/s。
[答案] (1)0.2 kg 2 Ω (2)0.5 m/s
电磁感应动力学问题的解题策略
[集训冲关]
1.(2019·东北育才中学模拟)如图所示，固定在水平桌面上的光滑金属导轨cd、eg处于方向竖直向下的匀强磁场中，金属杆ab与导轨接触良好，在两根导轨的端点d、e之间连接一电阻R，其他部分电阻忽略不计，现用一水平向右的恒力F，作用在金属杆ab上，使金属杆ab由静止开始向右沿导轨滑动，滑动中金属杆ab始终垂直于导轨，则下列说法正确的是( )
A．金属杆ab做匀加速直线运动
B．金属杆ab运动时回路中有顺时针方向的电流
C．金属杆ab所受的安培力先不断增大，后保持不变
D．金属杆ab克服安培力做功的功率与时间的平方成正比
解析：选C 对金属杆ab受力分析，根据牛顿第二定律有F－F安＝ma，即F－＝ma，由于速度变化，所以加速度发生变化，故金属杆ab做变加速运动，故A错误；根据楞次定律可知，金属杆ab运动时回路中有逆时针方向的感应电流，故B错误；由F安＝可知，当速度增大时，安培力增大，当金属杆ab受力平衡时，达到最大速度，其后开始做匀速运动，安培力不变，故C正确；安培力做功的功率P＝F安v＝，若金属杆ab做匀加速直线运动，则v＝at，安培力做功的功率与时间的平方成正比，由于金属杆做变加速运动，因此金属杆ab克服安培力做功的功率与时间的平方不成正比，故D错误。
2．如图甲所示，固定在水平桌面上的两条光滑导轨间的距离L＝1 m，质量m＝1 kg的光滑导体棒放在导轨上，导轨左端与阻值R＝4 Ω的电阻相连，导轨所在位置有磁感应强度为B＝2 T的匀强磁场，磁场的方向垂直导轨平面向下，现在给导体棒施加一个水平向右的恒定拉力F，并每隔0.2 s测量一次导体棒的速度，图乙是根据所测数据描绘出的导体棒的vt图像(设导轨足够长，导轨与导体棒的电阻不计)。
(1)求力F的大小；
(2)t＝1.6 s时，求导体棒的加速度a的大小；
(3)若0～1.6 s内导体棒的位移x＝8 m，求0～1.6 s内电阻上产生的热量Q。
解析：(1)导体棒做切割磁感线运动，有
E＝BLv，I＝，F安＝BIL
当导体棒速度最大为vm时，F＝F安
解得F＝＝10 N。
(2)当t＝1.6 s时，v1＝8 m/s，此时F安1＝＝8 N
由牛顿第二定律得F－F安1＝ma
解得a＝2 m/s2。
(3)由能量守恒定律可知Fx＝Q＋
解得Q＝48 J。
答案：(1)10 N (2)2 m/s2 (3)48 J
命题点二 “杆＋导轨＋电容器(或电源)”四种模型剖析
| 模型一(v0＝0) | 模型二(v0＝0) | 模型三(v0＝0) | 模型四(v0＝0) |
说 明 | 轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L | 轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定 | 轨道倾斜光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L | 轨道竖直光滑，杆cd质量为m，电阻为R，两平行导轨间距为L |
示 意 图 | ||||
力 学 观 点 | S闭合，杆cd受安培力F＝，a＝，杆cd速度v↑⇒感应电动势E感＝BLv↑⇒I↓⇒安培力F＝BIL↓⇒加速度a↓，当E感＝E时，v最大，且vmax＝ | 开始时a＝，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt后速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝＝CBLa，F安＝CB2L2a，F－F安＝ma，a＝，所以杆做匀加速运动 | 开始时a＝gsin α，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过时间Δt后速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝＝CBLa，F安＝CB2L2a，mgsin α－F安＝ma，a＝，所以杆做匀加速运动 | 开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过时间Δt后速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝＝CBLa，F安＝CB2L2a，mg－F安＝ma，a＝，所以杆做匀加速运动 |
图 像 观 点 |
[典例] (多选)如图所示，水平固定的足够长光滑金属导轨ab、cd处于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨平面垂直。质量为m、电阻为R的金属棒ef静止于导轨上。导轨的一端经过开关S与平行板电容器相连，开始时，开关S断开，电容器上板带正电，带电荷量为Q。现闭合开关S，金属棒开始运动，则下列说法中正确的是( )
A．电容器所带电荷量逐渐减少，最后变为零
B．电容器两板间场强逐渐减小，最后保持一个定值不变
C．金属棒中电流先增大后减小，最后减为零
D．金属棒的速度逐渐增大，最后保持一个定值不变
[解析] 闭合开关S，电容器放电，金属棒上产生电流，金属棒受安培力作用而做加速运动，金属棒上产生的感应电动势与极板间电压相等时，电容器停止放电，金属棒最后做匀速运动，可知A错误，D正确；由以上分析可知，电容器两板间场强逐渐减小，最后保持一个定值不变，B正确；金属棒中电流开始最大，然后逐渐减小，最后为零，C错误。
[答案] BD
(1)电容器开始放电时，电流最大，金属棒受到的安培力最大，加速度最大，放电后极板间电压逐渐减小。
(2)金属棒开始运动后，产生感应电动势，随着金属棒做加速运动，感应电动势逐渐增大。
(3)感应电动势与极板间电压相等时，电容器不再放电，电路中电流等于零，金属棒做匀速运动。
[集训冲关]
1. 如图所示，平行极板与单匝圆形线圈相连，极板距离为d，圆半径为r，线圈的电阻为R1，外接电阻为R2，其他部分的电阻忽略不计。线圈中有垂直纸面向里的磁场，磁感应强度均匀增加，有一个带电粒子静止在极板之间，带电粒子质量为m、电荷量为q。则下列说法正确的是( )
A．粒子带正电
B．磁感应强度的变化率为＝
C．保持开关闭合，向上移动下极板时，粒子将向下运动
D．断开开关，粒子将向下运动
解析：选B 穿过线圈的磁通量垂直纸面向里增加，由楞次定律可知，线圈中感应电流的磁场方向向外，平行板电容器的上极板电势高，下极板电势低，板间存在向下的电场，粒子受到重力和电场力而静止，因此粒子受到的电场力方向向上，电场力方向与场强方向相反，粒子带负电，故A错误；对粒子，由平衡条件得：mg＝q，而感应电动势：E＝，解得：E＝，由法拉第电磁感应定律得：E＝＝S，解得：＝，故B正确；保持开关闭合，则极板间的电压不变，当向上移动下极板时，极板间距减小，所以电场强度增大，则电场力增大，因此粒子将向上运动，故C错误；断开开关，电容器既不充电，也不放电，则电场强度不变，因此电场力也不变，故粒子静止不动，故D错误。
2.平行水平长直导轨间的距离为L，左端接一耐高压的电容器C。轻质导体杆cd与导轨接触良好，如图所示，在水平力F作用下以加速度a从静止开始做匀加速运动，匀强磁场B竖直向下，不计摩擦与电阻，求：
(1)所加水平外力F与时间t的关系；
(2)在时间t内有多少能量转化为电场能。
解析：(1)对于cd，由于做匀加速运动，则有：
v＝at，由E＝U＝BLv，可知：E＝BLat
对于电容器，由C＝，可知：Q＝CU＝CBLat
对于闭合回路，由I＝，可知：I＝CBLa
对于cd，由F安＝BIL，可知：F安＝B2L2Ca
由牛顿第二定律可知：F－F安＝ma，F＝(m＋B2L2C)a，因此外力F是一个恒定的外力，不随时间变化。
(2)cd克服安培力做多少功，就有多少能量转化为电场能，
则有：W安＝F安x，x＝at2
解得：W安＝
所以在时间t内转化为电场能的能量为：E电＝。
答案：(1)F＝(m＋B2L2C)a，为恒力，不随时间t变化
(2)
