2020版高考物理新创新一轮复习通用版讲义：第十四章第79课时　机械振动（双基落实课）

第十四章波与相对论[选修3-4]

第79课时　机械振动(双基落实课)

点点通(一)　简谐运动

1．定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x­t图像)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。

2．平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。

3．回复力

(1)定义：使物体返回到平衡位置的力。

(2)方向：总是指向平衡位置。

(3)来源：属于效果力，可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力或某个力的分力提供。

4．描述简谐运动的物理量

[小题练通]

1．(鲁科教材原题)做简谐运动的质点通过平衡位置时，具有最大值的物理量是(　　)

A．加速度　　　　　　　　 B．速度

C．位移  D．回复力

解析：选B　做简谐运动的质点通过平衡位置时，位移、回复力、加速度都为零，速度为最大值，故B正确。

2．(沪科教材原题)一弹簧振子做简谐运动，周期为T。下列判断中正确的是(　　)

A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍

B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍

C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子的加速度一定相等

D．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧长度一定相等

解析：选C　位移大小相等、方向相同，Δt不一定是T的整数倍，A错误；速度大小相等、方向相反，Δt不一定是的整数倍，B错误；若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子的加速度一定相等，C正确；若Δt＝，在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧长度不一定相等，D错误。

3．两个简谐运动的表达式分别为：xA＝10sincm，xB＝8sin(4πt＋π)cm，下列说法正确的是(　　)

A．振动A的相位超前振动Bπ

B．振动A的相位滞后振动Bπ

C．振动A的相位滞后振动Bπ

D．两个振动没有位移相等的时刻

解析：选B　由两个简谐运动的表达式可知，振动A的相位滞后振动Bπ，B正确，A、C错误；由简谐运动的特点易知，两个振动有位移相等的时刻，D错误。

4．(多选)(2019·鞍山模拟)一弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s，第一次到达点M，再经过0.2 s第二次到达点M，则弹簧振子的周期不可能为(　　)

A．0.53 s　　　　　 B．1.4 s　　　　　C．1.6 s

D．2 s   E．3 s

解析：选BDE　由题知，弹簧振子的运动可分两种情况讨论，第1种情况如图甲所示，设O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，弹簧振子从点O到点C所需时间为，因为简谐运动具有对称性，所以弹簧振子从点M到点C和从点C到点M所用时间相等，故＝0.3 s＋＝0.4 s，解得T＝1.6 s；第2种情况如图乙所示，若弹簧振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M′与点M关于点O对称，则弹簧振子从点M′经过点B到点M′所用的时间与弹簧振子从点M经过点C到点M所需时间相等，即0.2 s，弹簧振子从点O到点M′、从点M′到点O及从点O到点M所需时间相等，为＝ s，故周期为T＝0.5 s＋ s≈0.53 s，所以周期不可能为选项B、D、E。

5．(多选)如图所示，在光滑杆下面铺一张可沿垂直杆方向匀速移动的白纸，一带有铅笔的弹簧振子在B、C两点间做机械振动，可以在白纸上留下痕迹。已知弹簧的劲度系数为k＝10 N/m，振子的质量为0.5 kg，白纸移动的速度为2 m/s，弹簧弹性势能的表达式Ep＝ky2(y为弹簧的形变量)，不计一切摩擦。在一次弹簧振子实验中得到如图所示的图线，则下列说法中正确的是(　　)

A．该弹簧振子的振幅为1 m

B．该弹簧振子的周期为1 s

C．该弹簧振子的最大加速度为10 m/s2

D．该弹簧振子的最大速度为2 m/s

E．该弹簧振子振动过程中机械能守恒

解析：选BCE　弹簧振子的振幅为振子偏离平衡位置的最大距离，所以该弹簧振子的振幅为A＝0.5 m，A错误；由题图所示振动曲线可知，白纸移动x＝2 m，弹簧振子振动一个周期，所以弹簧振子的周期为T＝＝1 s，B正确；该弹簧振子所受最大回复力为F＝kA＝10×0.5 N＝5 N，最大加速度为a＝＝10 m/s2，C正确；根据题述弹簧弹性势能的表达式Ep＝ky2，不计一切摩擦，弹簧振子振动过程中机械能守恒，则mvm2＝kA2，可得该弹簧振子的最大速度为vm＝ A＝ m/s，D错误，E正确。

 [融会贯通]

(1)做简谐运动的质点处于平衡位置时，位移、回复力、加速度都为零，而速度为最大值。

(2)简谐运动的速度、时间、位移和加速度等物理量具有一定的对称性。要善于利用这种对称性分析问题。

点点通(二)　简谐运动的图像

1．从平衡位置处开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图像如图甲所示。

2．从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图像如图乙所示。

　　3.结合图像理解简谐运动的规律——五个特征

[小题练通]

1．(多选)(教科教材原题)一质点做简谐运动的图像如图所示，则下列结论中，正确的是(　　)

A．质点速度最大而加速度为零的时刻分别是0.1 s、0.3 s

B．质点速度为零而加速度为负方向最大值的时刻分别是0 s、0.4 s

C．质点所受的回复力方向由正变负的时刻是0.3 s

D．振动系统势能最大而加速度为正方向最大值的时刻是0.3 s

解析：选ABC　质点在0.1 s和0.3 s时刻，位移为零，故加速度为零，速度最大，A正确；质点在0 s和0.4 s时刻，位移为正方向最大值，故速度为零，加速度为负方向最大值，B正确；质点在0.3 s时刻，位移由负方向变为正方向，则回复力由正方向变为负方向，C正确；质点在0.3 s时刻，位移为零，振动系统势能和加速度都为零，D错误。

2．(沪科教材原题)一质点做简谐运动，其振动图像如图所示。由图可知(　　)

A．质点振动的振幅随时间变化

B．质点振动的频率为4 Hz

C．在t＝2.5 s时，质点偏离平衡位置运动

D．在t＝4 s时，质点受到的回复力为最大值

解析：选D　由题图可知，质点振动的频率f＝ Hz，B错误；t＝2.5 s时，质点向平衡位置运动，C错误；t＝4 s时，质点位移为最大值，受到的回复力为最大值，D正确；做简谐运动的质点振动的振幅是不随时间变化的，A错误。

3．(多选)甲、乙两弹簧振子，振动图像如图所示，则可知(　　)

A．甲速度为零时，乙加速度最大

B．甲加速度为零时，乙速度最小

C．1.25～1.5 s时间内，甲的回复力大小增大，乙的回复力大小减小

D．甲、乙的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2

E．甲、乙的振幅之比A甲∶A乙＝2∶1

解析：选CDE　由题图可知，甲运动到最大位移处(速度为零)时，乙刚好运动到平衡位置，加速度为零，速度最大，A错误；甲运动到平衡位置(加速度为零)时，乙也运动到平衡位置，速度最大，B错误；由|F|＝k|x|可知，C正确；甲做简谐运动的周期T甲＝2.0 s，乙做简谐运动的周期T乙＝1.0 s，甲、乙的振动周期之比T甲∶T乙＝2∶1，根据周期与频率成反比，可知甲、乙的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2，D正确；甲的振幅A甲＝10 cm，乙的振幅A乙＝5 cm，甲、乙的振幅之比A甲∶A乙＝2∶1，E正确。

4.(人教教材原题)如图所示，在t＝0到t＝4 s的范围内回答以下问题。

(1)质点相对平衡位置的位移的方向在哪些时间内跟它的瞬时速度的方向相同？在哪些时间内跟瞬时速度的方向相反？

(2)质点在第2 s末的位移是多少？

(3)质点在前2 s内走过的路程是多少？

解析：(1)在0～1 s、2～3 s内位移方向和瞬时速度方向相同，在1～2 s、3～4 s内位移方向和瞬时速度方向相反。

(2)质点在第2 s末的位移是零。

(3)质点在前2 s内走过的路程是2A＝20 cm。

答案：见解析

 [融会贯通]

由简谐运动的图像可获得的信息

(1)振幅A、周期T。

(2)某一时刻质点离开平衡位置的位移。

(3)某一时刻质点的回复力、加速度和速度的方向。

①回复力和加速度的方向：因为回复力总是指向平衡位置，所以回复力和加速度在图像上总是指向t轴。

②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移若增大，质点的速度方向就是远离t轴；下一时刻位移若减小，质点的速度方向就是指向t轴。

(4)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。

点点通(三)　单摆及其周期公式

简谐运动的两种模型(对比记忆单摆)

[小题练通]

1．(多选)(鲁科教材原题)振动着的单摆摆球，返回到平衡位置时(　　)

A．回复力指向悬点　　　　　 B．合外力为零

C．合外力指向悬点  D．回复力为零

解析：选CD　单摆摆球返回到平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，合外力提供向心力，方向指向悬点，故C、D正确。

2．(沪科教材原题)若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的，则单摆振动的物理量变化的情况是(　　)

A．频率不变，振幅不变  B．频率不变，振幅改变

C．频率改变，振幅改变  D．频率改变，振幅不变

解析：选B　根据T＝2π 可知，当摆球质量和经过平衡位置的速度变化时，单摆的周期和频率都不改变；振幅反映单摆运动过程中的能量大小，由Ek＝mv2可知，摆球经过平衡位置时的动能不变，则摆球在偏离平衡位置最大位移处的重力势能不变，因其质量改变，故振幅发生改变，故B正确。

3．(教科教材原题)一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的，在地球上走时正确的摆钟(设摆钟的周期与单摆简谐运动的周期相同)搬到此行星上，此钟分针走一整圈所经历的时间实际上是(　　)

A． h  B． h

C．2 h  D．4 h

解析：选C　行星表面重力加速度为g，根据T＝2π ，摆钟搬到此行星上，周期变为原来的2倍，则分针走一圈经历的时间实际上是2 h，故C正确。

4．(多选)某实验小组在研究单摆时改进了实验方案，将一力传感器连接到计算机上。图甲中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态。由静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，其中B点为最低位置，∠AOB＝∠COB＝α，α小于5°且大小未知，同时由计算机得到了摆线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，如图乙所示(图中所标字母均为已知量)，且图中t＝0时刻为摆球从A点开始运动的时刻。已知摆长为l，重力加速度为g。根据题中(包括图中)所给的信息，下列说法正确的是(　　)

A．该单摆的周期为t2

B．可求出摆球的质量

C．不能求出摆球在最低点B时的速度大小

D．若在地球的两极做该实验，则测得单摆的周期最大

E．若增加摆球的质量，单摆的周期不变

解析：选ABE　由题图乙可知单摆的周期T＝t2，故A正确；在B点拉力F有最大值，根据牛顿第二定律Fmax－mg＝m，在A、C两点拉力F有最小值，Fmin＝mgcos α，由A点到B点根据机械能守恒定律有mgl(1－cos α)＝mv2，由此可求得摆球的质量m＝，在B点时的速度v＝ ，故B正确，C错误；地球的两极重力加速度最大，若在地球的两极做该实验，单摆周期为T＝2π ，所以测得单摆的周期最小，故D错误；根据单摆周期公式可知，单摆的周期与摆球质量无关，故E正确。

 [融会贯通]

(1)单摆在平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零。

(2)单摆的周期和频率只由摆长和重力加速度决定，与摆球的质量、振动的能量大小无关。

点点通(四)　受迫振动和共振

1．受迫振动

系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。

2．共振

做受迫振动的物体，它的驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。共振曲线如图所示。

[小题练通]

1．(鲁科教材原题)关于固有频率，以下说法正确的是(　　)

A．固有频率是由物体本身决定的

B．物体不振动时固有频率为零

C．振幅越大，固有频率越小

D．所有物体固有频率都相同

解析：选A　固有频率是由物体本身决定的，与是否振动、振幅大小无关，不同物体固有频率不同，故A正确。

2．(多选)(沪科教材原题)有一个振动系统，它做自由振动时的频率为4f，现在用频率分别为f、2f、4f、5f的驱动力依次对它施加作用，比较每次振动稳定后的情况，下列判断中正确的是(　　)

A．振动的振幅越来越大

B．振动的频率越来越大

C．振动的振幅先变大再变小

D．振动的频率保持不变

解析：选BC　振动系统振动的频率和驱动力频率相同，因此频率越来越大，而只有驱动力频率与固有频率(自由振动时的频率)相等时，振幅最大，即振幅先变大再变小，故B、C正确。

3.如图所示，两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为8 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz。当支架受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，两个弹簧振子的振动情况是(　　)

A．甲的振幅较大，且振动频率为8 Hz

B．甲的振幅较大，且振动频率为9 Hz

C．乙的振幅较大，且振动频率为9 Hz

D．乙的振幅较大，且振动频率为72 Hz

解析：选B　弹簧振子做受迫振动时，振动频率一定等于驱动力的频率，故甲和乙的振动频率都是9 Hz；甲弹簧振子的固有频率更接近驱动力的频率，根据受迫振动的“振幅特征”可知，甲的振幅较大，B正确。

 [融会贯通]

对共振的理解

(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。

(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。