2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第1讲　集合的概念与运算




1．集合的概念
了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义．
2．集合的基本运算
理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，能使用韦恩图表达集合间的基本关系及运算．
3．命题及其关系
理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题及其否命题、逆命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
4．简单的逻辑联结词
了解“或”“且”“非”的含义．
5．全称量词与存在量词
理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况

年份
考查内容
分值
2014
第1题　集合的交集运算
5分
2015
第1题　交集运算、元素的个数
5分
2016
第1题　集合的交集运算
5分
2017
第1题　集合的运算(交集、并集)
5分
2018
第1题　集合的运算(交集)
5分
2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况

年份
考查内容
分值
2014
第1题　集合的运算(交集)
5分
2015
第1题　集合的运算(并集)
第24题　第(2)问　证明不等式的充要性
5分
10分

2016
第1题　集合的运算(交集)
5分
2017
第1题　集合的运算(并集)
5分
2018
第2题　集合的运算(交集)
5分


2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ直接考查本单元内容的试题共11道，2015年全国卷Ⅱ考查了2道题占15分(其中24题主要是考查不等式的证明)，其他各年考查本单元的试题都为1道，占5分．
高考对集合这一考点的考查主要以选择题出现，涉及的知识包括集合的概念，集合与集合的关系及集合的运算，重点是集合的运算．一般都是作为全卷第1小题，且都是基础题，难度不大，属于高考中的“送分题”．
常用逻辑用语包含命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件、充要条件与命题的四种形式，其中量词是新课标新增内容，2013年高考通过一道小题考查了全称命题、特称命题及复合命题真假的判定．充要条件这一内容，在全国卷高考中直接考查的试题不多，只有2015年全国卷Ⅱ在选考内容中，结合不等式的证明进行了考查．

本单元是高中数学的基本内容之一，集合论是现代数学的基础，集合语言简洁、准确，是数学中不可缺少的基本语言．常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是描述、判断、推理的工具，它可以帮助我们准确地表达数学内容、正确地理解数学概念、合理论证数学结论．
对集合这一内容的复习，要重视对集合概念的认识与理解，特别要重视对描述法表示集合的理解，掌握集合与集合之间的关系、集合的运算，要求具备数形结合的思想，会借助Venn图、数轴等工具解决集合之间的关系及集合的运算等问题．
高考直接考查常用逻辑用语的试题虽然不多，但常用逻辑用语常和函数、不等式及立体几何中直线、平面的位置关系等知识结合，因此复习时仍要非常重视．在复习时，要以小题、基础题为主，要求掌握p∧q，p∨q，﹁p命题真假的判断，全称命题与特称命题真假的判断及否定，四种命题及其关系，充分条件和必要条件的判断等，同时要注意与其他知识的联系．
本单元问题的解答蕴涵了丰富的数学思想方法，如数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想和函数与方程的思想等，在复习中应注意总结领会．

第1讲　集合的概念与运算
　　　　　　　　　　　　


1．了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，了解空集、全集的意义．
2．理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集．
3．理解交集、并集、补集的概念，会求两个简单集合的交集与并集，会求给定子集的补集．

知识梳理
1．集合的含义与表示
(1)一般地，我们把研究对象统称为　元素　，把一些元素组成的总体叫做　集合　(简称为　集　)．集合中的元素具有　确定性　、　互异性　和　无序性　三个特征．
(2)如果a是集合A的元素，就说a　属于　集合A，记作　a∈A　，如果a不是集合A的元素，就说a　不属于　集合A，记作　a∉A　.
(3)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
(4)常用的集合表示法有：列举法、　描述法　和　图示法　.
2．集合间的基本关系
(1)如果集合A中　任何　一个元素　都是　集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作：　A⊆B(或B⊇A)　.
(2)如果集合A　⊆　B，但存在x　∈　B，且x　∉　A，则称集合A是集合B的真子集，记作：　AÜB(或BÝA)　.
(3)若　A⊆B且B⊆A　，则集合A与集合B中的元素是一样的，则称集合A与集合B相等．
3．集合的基本运算
(1)交集：由　所有　属于集合A　且　属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝　{x|x∈A，且x∈B}　.
(2)并集：由　所有　属于集合A　或　属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝　{x|x∈A，或x∈B}　.
(3)补集：集合A是集合U的子集，由U中所有　不属于A　的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集，记作∁UA，即∁UA＝　{x|x∈U，且x∉ A}　.

1．空集是任何集合的　子集　，空集是任何非空集合的　真子集　.
2．若有限集A中有n个元素，则A的子集有　2n　个，非空子集有　2n－1　个，真子集有　2n－1　个．
3．A⊆B⇔A∩B＝　A　⇔A∪B＝　B　.
热身练习
1．已知集合A＝{x|x<2}，a＝，则下列关系正确的是(D)
A．a⊆A B．a∉A
C．{a}∈A D．{a}⊆A
由于<2，所以a∈A，即{a}⊆A.
2．(2018·达州模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(D)
A．A∩B＝∅ B．∁AB＝B
C．AÜB D．BÜA
　 A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，所以B⊆A，
1∈A但1∉B，所以BÜA.
3．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝(B)
A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,6}
　 因为A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}，
所以(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．
4．(2018·石家庄二模)设集合A＝{x|－1 A．A∪B＝{x|x<0} B．(∁RA)∩B＝{x|x<－1}
C．A∩B＝{x|－1 　 因为A＝{x|－1 5．(2018·湖南长郡中学联考)集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是(C)
A．3 B．4
C．7 D．8
　 由{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}知，y≥0，
所以－x2＋6≥0，又x∈N，所以x＝0,1,2.
所以集合为{2,5,6}，其真子集的个数为23－1＝7.
　　　　　　　　　　　


集合的基本概念
(1)(经典真题)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为
A．5 B．4
C．3 D．2
(2)设a，b∈R，集合＝{a2，a＋b,0}，则a2019＋b2019＝__________.
(1)求解本题，关键是理解集合A的意义，将集合A进行化简，可以采用特殊化的方法．
A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}＝{2,5,8,11,14，…}，
所以A与B的共同元素只有8,14两个，故选D.
(2)考虑集合{a，，1}中哪一个元素为0入手，利用集合中的元素的确定性和互异性进行分析．
若a＝0，则无意义，所以a≠0，
所以＝0，从而b＝0，所以{a，，1}＝{a,0,1}．
由{a,0,1}＝{a2，a,0}，得a2＝1，即a＝1或a＝－1.
又根据集合中元素的互异性a＝1应舍去，
所以a＝－1.故a2019＋b2019＝(－1)2019＝－1.
(1)D　(2)－1
(1)用描述法表示集合，首先要搞清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，分清是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)解决含有参数的集合问题时，要注意集合中元素的特征，并注意用互异性进行检验．
(3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

1．(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a等于(A)
A．4 B．2
C．0 D．0或2
(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为　－　.
(1)当a＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A为空集，不符合题意；
当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.
(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3，
若m＋2＝3，解得m＝1，此时A＝{3,3}与集合中元素的互异性矛盾，所以m＝1，不符合题意；
若2m2＋m＝3，解得m＝1(舍去)或m＝－.
检验知m＝－满足题意．
故所求m的值为－.
集合间的基本关系
已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}，且B⊆A，则实数p的取值范围为________．
欲求实数p的取值范围，只需找出关于p的不等式，可由已知条件，结合数轴找到．
由x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5，
所以A＝{x|－2≤x≤5}．
B⊆A，则有
①当B≠∅时，利用数轴可知：

解得2≤p≤3.
②当B＝∅时，有p＋1>2p－1，即p<2.
综合①②得实数p的取值范围是(－∞，3]．
(－∞，3]
解决有关集合的包含关系的问题时，要注意：
(1)所给集合若能化简，则先化简；
(2)充分利用数轴、韦恩图等辅助解题；
(3)注意空集的特殊性，一般地，若B⊆A，则应分B＝∅与B≠∅两种情况进行讨论．

2．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若集合B＝{x|p－6≤x≤2p－1}，且A∩B＝A，则实数p的取值范围为　[3,4]　.
由例2知，A＝{x|－2≤x≤5}．
A∩B＝A，所以A⊆B，画出示意图(如下图)，

所以解得所以3≤p≤4.
故p的取值范围为[3,4]．
集合的基本运算
(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　)
A．A∩B＝ B．A∩B＝∅
C．A∪B＝ D．A∪B＝R
(2)(2018·宝鸡二模)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{2,3,5}，N＝{4,5}，则集合{1,6}可以表示为(　　)
A．M∩N B．M∪N
C. ∁U(M∪N) D．∁U(M∩N)
(1)首先化简集合A，B，再利用数轴得到A∩B和A∪B.
因为B＝{x|3－2x>0}＝，A＝{x|x<2}，
所以A∩B＝，A∪B＝{x|x<2}．
(2)画出韦恩图，如图，

所以∁U(M∪N)＝{1,6}，故选C.
(1)A　(2)C
进行集合的运算时，要注意：①明确集合中元素的意义；②注意将所给集合化简，使之明确化；③注意数形结合，利用韦恩图、数轴等辅助解题．

3．(1)(2018·天津卷)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，
则(A∪B)∩C＝(C)
A．{－1,1} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{2,3,4}
(2)(2018·广州一模)设集合A＝{x|<0}，B＝{x|x≤－3}，则集合{x|x≥1}＝(D)
A．A∩B B．A∪B
C．(∁RA)∪(∁RB) D．(∁RA)∩(∁RB)
(1)因为A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，
所以A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．
又C＝{x∈R|－1≤x<2}，
所以(A∪B)∩C＝{－1,0,1}，故选C.
(2)因为A＝{x|<0}＝{x|－3 所以∁RA＝{x|x≥1，或x≤－3}，∁RB＝{x|x>－3}．
易知(∁RA)∩(∁RB)＝{x|x≥1}，故选D.

1．研究集合的有关问题，首先要理解集合的概念，其次要注意集合中元素的三个特征：确定性、无序性和互异性，尤其要注意集合中元素的互异性，当集合中的元素含有参数时，要根据互异性进行检验．
2．处理集合问题时，首先要理解用描述法表示的集合的意义，关键是抓住集合的代表元素．首先看“{ |　}”的左边元素的代表形式，然后看右边元素满足的性质，这是认清集合元素的关键．例如，{y|y＝f(x)}是数集，表示函数y＝f(x)的值域；{x|y＝f(x)}是数集，表示函数y＝f(x)的定义域；{(x，y)|y＝f(x)}是点集，表示函数y＝f(x)图象上的点构成的集合．
3．注意空集∅的特殊性，在解题时，若未能指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如AB，则有A＝∅或A≠∅两种可能，解题时常常遗漏对空集的讨论，这一点应引起重视．
4．研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．解题时，首先要把集合进行化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，这实质是数形结合思想在集合中的具体应用．
5．处理含参数的集合的包含关系及集合的运算时，端点值的取舍也是一个难点和重点，其解决办法是对端点值进行单独考虑．