2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．

2．理解全称量词与存在量词的意义．

3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

知识梳理

1．简单的逻辑联结词

(1)　“或”“且”“非”　叫做逻辑联结词．

(2)用逻辑联结词“且”联结命题p和命题q，记作　p∧q　，读作“p且q”．

(3)用逻辑联结词“或”联结命题p和命题q，记作　p∨q　，读作“p或q”．

(4)真值表：表示命题真假的表叫做真值表．

由命题p，q及逻辑联结词形成的新命题的真假可以通过下面的真值表来加以判断.

2.量词

(1)短语“　对所有的　、　对任意一个　”在逻辑中通常叫做全称量词；常见的全称量词还有“　对一切　、　对每个　、　任给　、　所有的　”等．

(2)含有　全称量词　的命题叫做全称命题．

(3)短语“　存在一个　、　至少有一个　”在逻辑中通常叫做存在量词；常见的存在量词还有“　有些　、　有一个　、　对某个　、　有的　”等．

(4)含有　存在量词　的命题叫做特称命题．

(5)全称命题p：x∈M，P(x)的否定﹁ p：　x0∈M　，　﹁ P(x0)　；全称命题的否定是　特称　命题．

(6)特称命题p：x∈M，P(x)的否定﹁ p：x∈M　，　﹁ P(x)　；特称命题的否定是　全称　命题．

1．含有逻辑联结词的命题的真假的判断规律

(1)p∨q：p，q中一个为真，则p∨q为真，即有真即真；

(2)p∧q：p，q中一个为假，则p∧q为假，即有假即假；

(3) ﹁p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．

2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．

热身练习

1．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是(C)

A．简单命题  B．“p∨q”形式的复合命题

C．“p∧q”形式的复合命题  D．“﹁p”形式的复合命题

　 考查逻辑联结词的意义，选C.

2．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是(A)

A． p∧(﹁q )

B．(﹁p )∧q

C．(﹁p )∧(﹁q)

D．p∧q

　命题p为真命题,命题q为假命题,故﹁q为真命题, p∧(﹁q )为真命题.

3．(2017·中牟县校级月考)下列命题中的假命题是(B)

A．∀x∈R,2x－1>0  B．∀x∈N*，(x－1)2>0

C．∃x0∈R，lg x0<1  D．∃x0∈R，tan x0＝2

　 对于A，∀x∈R，都有2x－1>0，为真命题；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，为假命题；对于C，如x0＝，lg x0＝－1<1，为真命题；对于D，因为tan x的值域为R，故x0∈R，使tan x0＝2，为真命题．

4．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则﹁p为(C)

A．∀n∈N，n2>2n　  B．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2n  D．∃n∈N，n2＝2n

特称命题的否定是全称命题．

修改原命题中的两个地方即可得其否定，∃改为∀，否定结论，即∀n∈N，n2≤2n，故选C.

5．(2018·长春二模)设命题p：x∈(0，＋∞)，ln x≤x－1，则﹁p是(C)

A．∀x∈(0，＋∞)，ln x>x－1

B．∀x∈(－∞，0]，ln x>x－1

C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0>x0－1

D．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≤x0－1

　 含量词的命题的否定方法为先换量词，再否定结论．

 含有逻辑联结词命题的真假判断

设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是

A．p∨q  B．p∧q

C．(﹁p)∧(﹁q)  D．p∨(﹁q)

命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a∥c，所以p为假命题；

命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，所以q为真命题．

所以p∨q为真命题．

A

(1)判断含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假，①弄清构成它的命题p，q的真假；②弄清结构形式；③据真值表来判断新命题的真假．

(2)判断复合命题的真假，关键是准确判断p，q的真假，本单元内容可和其他章节内容建立广泛的联系，因此，要注意相关知识的熟练掌握．

1．(2017·山东卷)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是(B)

A．p∧q  B．p∧﹁q

C．﹁p∧q  D．﹁p∧﹁q

因为一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，所以x2－x＋1>0恒成立，

所以p为真命题，﹁p为假命题．

因为当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，

所以q为假命题，﹁q为真命题．

根据真值表可知p∧﹁q为真命题，p∧q，﹁p∧q，﹁p∧﹁q为假命题．

   含一个量词的命题的真假判定与否定

(1)(经典真题) 已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是

A．p∧q  B．(﹁p)∧q

C．p∧(﹁q)  D．(﹁p)∧(﹁q)

(2)已知命题p：“∃x∈R，ex－x－1≤0”，则﹁p为

A．∃x∈R，ex－x－1≥0    B．∃x∈R，ex－x－1>0

C．∀x∈R，ex－x－1>0   D．∀x∈R，ex－x－1≥0

(1)当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x<3x，所以p是假命题．

画图可知函数y＝x3与y＝1－x2的图象有交点，

即方程x3＝1－x2有解，所以q是真命题．

故p∧q是假命题，排除A.

因为﹁p为真命题，所以(﹁p)∧q是真命题．

(2)命题的否定是先改变量词，再否定结论．

“∃x∈R，ex－x－1≤0”的否定为“∀x∈R，ex－x－1>0”．

  (1)B　(2)C

(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．要判定一个特称命题成立，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．

(2)全(特)称命题的否定，是将其全称量词改为存在量词(存在量词改为全称量词)，并把结论否定．从命题的形式看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

2．(1)(2018·赤峰一模)已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，2x>1，命题q：∃x0∈R, sin x0＝cos x0，则下列命题中为真命题的是(A)

A．p∧q  B．(﹁p)∧q

C．p∧(﹁q)  D．(﹁p)∧(﹁q)

(2)(2018·邯郸期末) 命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(D)

A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n

B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n

C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0

D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0

(1)对于命题p：当x∈(0，＋∞)时，2x>1成立，故命题p是真命题；

对于命题q：当x0＝时，sin x0＝cos x0，

所以命题q是真命题，所以p∧q为真．

(2) 写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．

 逻辑联结词命题真假的应用

(2018·长沙月考)已知命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；命题q：存在实数m，使方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则m的取值范围为

A．[3，＋∞)  B．(1,2]

C．(1,2]∪[3，＋∞)  D．[1,2)∪(3，＋∞)

p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根⇔⇔m>2，

q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根⇔Δ<0⇔1<m<3.

因为“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，

所以p与q一真一假．

所以或

所以m的取值范围{m|m≥3或1<m≤2}．

C

以命题真假为依据求参数的取值范围时，可按如下步骤实施：

(1)运用相关知识等价化简所给命题p，q；

(2)由复合命题的真假分析p，q的真假关系；

(3)列相应方程(组)或不等式(组)；

(4)解方程(组)或不等式(组)得出结论．

3．(2018·汕头模拟)已知命题p：关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实根；命题q：∀x＞0,2x－a＞0.若“﹁p”和“p∧q”都是假命题，则实数a的取值范围是(C)

A．(－∞，－2)   B．(－2,1]

C．(1,2)  D．(1，＋∞)

若方程x2＋ax＋1＝0没有实根，

则判别式Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2，即p：－2＜a＜2；

∀x＞0,2x－a＞0，则a＜2x，

当x＞0时，2x＞1，则a≤1，即q：a≤1，

因为﹁p是假命题，则p是真命题，

因为p∧q是假命题，则q是假命题，

即得1＜a＜2.

1．逻辑联结词——或、且、非与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，要注意类比．

p∨q为真命题，只需p，q有一个为真即可；

p∧q为真命题，必须p，q同时为真．

写出“﹁p”形式的命题时常用到以下表格中的否定词语：

2.注意一个命题的否定与否命题的区别，否命题与命题的否定不是同一个概念，否命题是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而命题p的否定即非p，只需否定命题的结论．

命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．

3．要写一个命题的否定，需先分清是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写．否定的规律是“改量词，否结论”．全称命题的否定是一个特称命题；特称命题的否定是一个全称命题．