2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第5讲　函数的值域与最值

第5讲　函数的值域与最值

1．掌握求值域或最值的基本方法，会求一些简单函数的值域或最值．

2．建立函数思想，能应用函数观点(如应用函数的值域、最值)解决数学问题．

知识梳理

1．函数的值域

值域是　函数值　的取值范围，它是由　定义域和对应法则　所确定的，所以求值域时要注意　定义域　.

2．函数的最值

1．基本函数的值域

(1)一次函数y＝kx＋b (k≠0)的值域为　R　；

(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：

当a＞0时，值域为　[，＋∞)　；

当a＜0时，值域为　(－∞，]　；

(3)反比例函数y＝(x≠0)的值域为y∈R，且　y≠0　；

(4)指数函数y＝ax (a＞0且a≠1)的值域为　(0，＋∞)　；

(5)对数函数y＝logax (a＞0且a≠1，x＞0)的值域为　R　；

(6)正、余弦函数的值域为　[－1,1]　，正切函数的值域为　R　.

2．若f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)min>A；若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)max<B.

热身练习

1．函数y＝3x (－1≤x≤3，且x∈Z)的值域为(D)

A．[－1,3]  B．[－3,9]

C．{－1,0,1,2,3}  D．{－3,0,3,6,9}

　 由－1≤x≤3，且x∈Z，得x∈{－1,0,1,2,3}，

代入y＝3x，得值域为{－3,0,3,6,9}．

2．已知函数f(x)的定义域为R，M为常数．若p：对∀x∈R，都有f(x)≥M；q：M是函数f(x)的最小值．则p是q的(B)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

　 对∀x∈R，都有f(x)≥MM是函数f(x)的最小值；M是函数f(x)的最小值⇒对∀x∈R，都有f(x)≥M.

所以p是q的必要不充分条件．

3．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(D)

A．y＝x  B．y＝lg x

C．y＝2x  D．y＝

　 函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．

函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．

函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．

函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．

函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.

4．函数y＝的值域是(C)

A．R  B．{y|y≠－1，y∈R}

C．{y|y≠2，y∈R}  D．{2}

　 因为y＝＝＝2－，

又因为－≠0，所以2－≠2，即y≠2.

5．(2018·南阳月考)已知f(x)＝－，则(C)

A．f(x)max＝，f(x)无最小值

B．f(x)min＝1，f(x)无最大值

C．f(x)max＝1，f(x)min＝－1

D．f(x)max＝1，f(x)min＝0

　 f(x)＝－的定义域为[0,1]，

易知y＝与y＝－在[0,1]上是增函数，

所以函数f(x)＝－在[0,1]上是增函数，

所以f(x)max＝f(1)＝1，f(x)min＝f(0)＝－1，故选C.

 求函数的值域或最值

求下列函数的值域：

(1)y＝－x2＋2x，x∈[0,3]；

(2)y＝；

(3)f(x)＝2x＋log3x，x∈[1,3]．

(1)因为y＝－(x－1)2＋1，x∈[0,3]，

结合函数图象可知，所求函数的值域为[－3,1]．

(2)因为y＝＝2＋，而≠0，

所以所求函数的值域为{y∈R|y≠2}．

(3)由于f(x)为增函数，所以f(1)≤f(x)≤f(3)，

所以函数的值域为[2,9]．

求函数值域的常用方法：

(1)配方法——转化为二次函数在闭区间上的最值，与二次型函数有关的函数常用此法．

(2)分离常数法——分式型函数注意用此法．

(3)利用函数的单调性；

(4)利用基本不等式等．

1．求下列函数的值域：

(1)y＝；

(2)y＝x－.

(1)y＝＝＝－1，

因为1＋x2≥1，所以0<≤2，

所以－1<－1≤1，即y∈(－1,1]．

(2)设＝t(t≥0)，得x＝，

所以y＝－t＝－(t＋1)2＋1≤(t≥0)，

所以y∈(－∞，]．

 分段函数的值域或最值

(经典真题)若函数f(x)＝(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是____________．

因为当x≤2时，y＝－x＋6≥4.

 f(x)的值域为[4，＋∞)，

所以当x>2，a>1时，3＋logax>3＋loga2≥4，

所以loga2≥1，所以1<a≤2；

当0<a<1时，3＋logax<3＋loga2，不合题意．

故a∈(1,2]．

(1,2]

(1)本题主要考查单调性的应用，分段函数的值域等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力及分类讨论能力．

(2)分段函数的值域为函数f(x)在各个段上函数值域的并集．本题f(x)在x≤2这段的值域为[4，＋∞)，要f(x)的值域为[4，＋∞)，只要f(x)在x>2这段的值域是[4，＋∞)的子集就行了．

2．(经典真题)已知函数f(x)＝则f[f(－2)]＝　－　，f(x)的最小值是　2－6　.

f[f(－2)]＝f(4)＝4＋－6＝－.

当x≤1时，f(x)min＝0；

当x＞1时，f(x)＝x＋－6≥2－6，

当且仅当x＝，即x＝时，等号成立．

所以f(x)min＝2－6<0.

综上，f(x)的最小值是2－6.

 恒成立问题

(2018·泉州期末)若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，]成立，则a的最小值为(　　)

A．0  B．－2

C．－  D．－3

从题目条件的切入点不同可以有多种方法求解，主要有：配方法、分离变量法，下面用分离变量法进行求解．

因为x∈(0，]，所以a≥＝－x－，

因为y＝x＋在(0，]上单调递减，在x＝处取得最小值，所以－(x＋)≤－.

故a的最小值为－.

C

(1)恒成立问题常转化为最值问题．一般地，若f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)min>A；若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)max<B.

(2)含参数问题的处理常采用分离变量法，分离变量后，转化为函数的最值问题．

3．已知ax2＋x≤1对任意x∈(0,1]恒成立，则实数a的取值范围为 　(－∞，0]　.

因为x>0，所以ax2＋x≤1可化为a≤－.

要使a≤－对任意x∈(0,1]恒成立，

令f(x)＝－，x∈(0,1]，则只需要a≤[f(x)]min.

设t＝，因为x∈(0,1]，所以t≥1，

则－＝t2－t＝(t－)2－，

所以当t＝1时，(t2－t)min＝0，

即x＝1时，f(x)min＝0.

所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0]．

1．函数值的集合叫做函数的值域，值域是由定义域和对应法则所确定的，因此，在研究函数的值域时，既要重视对应法则的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用．

2．求值域的具体方法很多，如配方法、利用函数的单调性、不等式法等，但没有通用的方法和固定模式，要靠在学习过程中不断积累，抓住特点，掌握规律．要记住各种基本函数的值域，总结什么结构特点的函数用什么样的方法求值域，以及使用各种方法的注意事项，并在解决求值域问题时注意选择最优的解法．

3．函数的值域常常化归为函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．

4．恒成立问题常转化为最值问题．一般地，若f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)min>A；若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)max<B.