2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第7讲　函数的奇偶性与周期性

第7讲　函数的奇偶性与周期性

1．了解奇偶性及周期性的定义．

2．掌握判定一些简单函数的奇偶性的方法．

3．会解决涉及奇偶性、周期性、单调性的简单综合问题．

知识梳理

1．函数的奇偶性

函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的．

(1)函数的奇偶性的定义

①如果对定义域内的　任意　一个x，都有　f(－x)＝－f(x)　成立，那么函数f(x)为奇函数．

②如果对定义域内的　任意　一个x，都有　f(－x)＝f(x)　成立，则函数f(x)为偶函数．

显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的　必要　条件．

(2)奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于　原点　对称；偶函数的图象关于　y　轴对称．

2．周期函数

(1)周期函数：对于函数f(x)的定义域内的每一个x，都存在一个非零常数T，使得　f(x＋T)＝f(x)　恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的　一个周期　.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中　存在一个最小　的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

1．函数奇偶性的常用结论

(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇．

2．函数周期性的常用结论

对f(x)定义域内的任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|.

(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．

(3)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．

(4)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．

热身练习

1．下列函数为奇函数的是(D)

A．y＝  B．y＝|sin x|

C．y＝cos x  D．y＝ex－e－x

　 y＝的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝为非奇非偶函数，y＝|sin x|和y＝cos x为偶函数．

对于D，f(x)＝ex－e－x的定义域为R，

f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，故y＝ex－e－x为奇函数．

2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(B)

A．－  B.

C.  D．－

　 因为f(x)＝ax2＋bx为偶函数，所以b＝0，

又偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＋2a＝0，

所以a＝，故a＋b＝.

3．下列命题中：

①若f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)＝0；

②偶函数必不是单调函数；

③奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域的交集为非空集合，则函数f(x)·g(x)一定是奇函数；

④若函数f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)一定是偶函数．

正确命题的个数有(D)

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

　 ①正确，由f(x)是奇函数，有f(0)＝－f(0)，所以f(0)＝0；②正确；③正确；④正确．

4．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝　12　.

　 (方法一)令x>0，则－x<0.

所以f(－x)＝－2x3＋x2.

因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)＝2x3－x2(x>0)．

所以f(2)＝2×23－22＝12.

(方法二)f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.

5．(2018·红河州二模改编)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝log2x，则f(－)＋f(2)＝　2　.

　 因为f(x)是周期为2的奇函数，

所以f(－)＝f(－＋2)＝f(－)

＝－f()＝－log2＝2，

f(2)＝f(2＋0)＝f(0)＝0，

所以f(－)＋f(2)＝2＋0＝2.

 判断函数的奇偶性

判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝(x－1)；

(2)f(x)＝lg.

(1)由≥0，可知定义域为[－1,1)．

定义域不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数．

(2)由>0，得－1<x<1.

定义域(－1,1)关于原点对称，且f(－x)＋f(x)＝lg 1＝0，

所以f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．

　　 (1)利用定义判断奇偶性的步骤：

(2)在运用定义判断奇偶性时，①若表达式较复杂可适当进行化简后判断(不得改变定义域)；②判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．

(3)判断函数的奇偶性除定义法外，还要注意如下方法：

①图象法：f(x)的图象若关于原点对称，则f(x)为奇函数；若关于y轴对称，则f(x)为偶函数．

②性质法：如“奇±奇”是奇；“偶±偶”是偶；“奇·奇”是偶，“偶·偶”是偶，“奇·偶”是奇等．

1．(1)函数f(x)＝的奇偶性是(A)

A．奇函数  B．偶函数

C．非奇非偶函数  D．既是奇函数也是偶函数

(2)(经典真题)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝　1　.

(1)(方法一：利用奇偶性的定义判断)

当x<0时，－x>0，

f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－(x2＋x)＝－f(x)；

当x>0时，－x<0，

f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝－f(x)．

所以对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．

(方法二：用奇偶函数的图象特征判断)

画出y＝f(x)的图象，如图：

其图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数．

(2)利用奇偶函数的运算性质转化．

因为y＝x是奇函数，

又f(x)＝xln(x＋)为偶函数，

所以y＝ln(x＋)是奇函数，

所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，

即ln(a＋x2－x2)＝ln a＝0，解得a＝1.

 奇偶性与单调性的综合应用

(经典真题)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)

A．(，1)  B．(－∞，)∪(1，＋∞)

C．(－，)  D．(－∞，－)∪(，＋∞)

本题主要是考查函数奇偶性、单调性的综合应用，求解的关键是发现函数的奇偶性和单调性．

由f(x)＝ln(1＋|x|)－可知f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，

所以f(x)>f(2x－1) ⇔f(|x|)>f(|2x－1|)

⇔|x|>|2x－1|⇔<x<1.

A

(1)本题的求解过程中，既要利用函数的奇偶性，又要利用函数的单调性．求解此类问题要注意利用偶函数的性质f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

(2)掌握如下结论，会给解题带来方便：

①f(x)为偶函数f(x)＝f(|x|)．

②若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

2．(2017·江苏卷)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是　[－1，]　.

因为f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－

＝－x3＋2x－ex＋

＝－f(x)，

所以f(x)＝x3－2x＋ex－是奇函数．

因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，

所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)．

因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2＝3x2≥0，所以f(x)在R上单调递增，

所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，所以－1≤a≤.

 奇偶性与周期性的综合应用

已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝__________.

因为f(x＋2)＝－，

所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－＝f(x)，

所以f(x)是周期为4的周期函数，

所以f(105.5)＝f(4×26＋1.5)＝f(1.5)＝f(1.5－4)

＝f(－2.5)＝f(2.5)，

因为2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.

所以f(105.5)＝2.5.

2.5

(1)本题考查了奇偶性与周期性的综合应用，考查了化归与转化的思想．求解的关键是利用周期性和奇偶性将所求函数值转化为已知区间上的函数值．

(2)若对于函数f(x)的定义域内的任一自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常数且a≠0)，则f(x)是一个周期为2|a|的周期函数．

3．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(C)

A．－50  B．0

C．2  D．50

因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

所以f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，

所以－f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，

所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，

所以函数f(x)是周期为4的周期函数．

由f(x)为奇函数及其定义域得f(0)＝0.

又因为f(1－x)＝f(1＋x)，

所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，

所以f(2)＝f(0)＝0，所以f(－2)＝0.

又f(1)＝2，所以f(－1)＝－2，

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.

1．函数的奇偶性是在整个定义域内讨论的整体性质，要正确理解奇函数与偶函数的定义，必须把握好两个问题：

(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)具备奇偶性的必要不充分条件；

(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．

2．f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称．因此可以利用函数的图象的对称性去判断函数的奇偶性．

3．判断函数的奇偶性的最基本的方法是利用定义法：首先判断定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，立即可以判定这个函数既不是奇函数也不是偶函数．若定义域关于原点对称，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．

为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数式进行化简，或应用定义的等价形式f(－x)＝±f(x)f(x)±f(－x)＝0＝±1 (f(x)≠0)．

4．奇偶性常常和单调性、周期性结合进行考查，具体求解时，要紧扣奇偶性、周期性的概念，充分利用化归与转化的思想方法．