2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第8讲　二次函数

第8讲　二次函数

1．熟练掌握二次函数的定义、图象与性质．

2．会求二次函数在闭区间上的最值．

知识梳理

1．二次函数的三种表达式

(1)一般式：f(x)＝　ax2＋bx＋c(a≠0)　.

(2)顶点式：若二次函数f(x)的顶点坐标为(k，h)，则其解析式为f(x)＝　a(x－k)2＋h　.

(3)零点式：若二次函数的图象与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0)，则其解析式为f(x)＝　a(x－x1)(x－x2)　.

2．二次函数的图象和性质

3.二次函数在闭区间的最值

可利用二次函数的图象，结合二次函数在所给区间上的　单调性　进行分析求解．

1．若函数f(x)满足f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于x＝a对称；

若f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于x＝a对称．

2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则

当时，恒有f(x)>0；

当时，恒有f(x)<0.

3．对二次函数f(x)＝a(x－k)2＋h (a＞0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论：

①若k∈[m，n]，则ymin＝f(k)＝h，ymax＝max{f(m)，f(n)}．

②若k∉ [m，n]，

当k＜m时，y＝f(x)在[m，n]上单调递增，ymin＝f(m)，ymax＝f(n)；

当k＞n时，y＝f(x)在[m，n]上单调递减，ymin＝f(n)，ymax＝f(m)．

热身练习

1．若二次函数的图象的顶点为(2，－1)，且过点(3,1)，则此函数的解析式为(B)

A．y＝2(x＋2)2－1  B．y＝2(x－2)2－1

C．y＝－2(x＋2)2－1  D．y＝－2(x－2)2－1

　 设所求函数的解析式为y＝a(x－2)2－1，

把点(3,1)代入得a＝2.

故所求函数的解析式为y＝2(x－2)2－1.

2．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(D)

　 因为a>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，

则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，与y轴交于负半轴，由此可知选D.

3．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(A)

A．f(2)＜f(1)＜f(4)  B．f(1)＜f(2)＜f(4)

C．f(2)＜f(4)＜f(1)  D．f(4)＜f(2)＜f(1)

　 因为f(x)＝x2＋bx＋c，所以a＝1，抛物线的图象开口向上，

又f(2＋t)＝f(2－t)，x＝2是其对称轴，

即当x＝2时，f(x)取得最小值．

而当x≥2时，f(x)是增函数，有f(2)＜f(3)＜f(4)，

又f(2－1)＝f(2＋1)，即f(1)＝f(3)，

所以f(2)＜f(1)＜f(4)．

4．若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－2)上是(A)

A．增函数

B．减函数

C．部分为增函数，部分为减函数

D．无法确定增减性

　 由f(x)＝f(－x)，可得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，由此知f(x)在(－5，－2)上是增函数．

5．函数f(x)＝－2x2－x＋1，x∈[－3,1]．

(1)f(x)的单调递增区间为　[－3，－]　，单调递减区间为　[－，1]　；

(2)f(x)的最大值为　　，最小值为　－14　.

　 因为f(x)＝－2x2－x＋1＝－2(x＋)2＋，

(1)当x∈[－3,1]时，函数f(x)在[－3，－]上为增函数，在[－，1]上为减函数．

(2)当x＝－时，y取得最大值f(－)＝；

又因为x＝－3与对称轴x＝－的距离大于x＝1与对称轴的距离，所以x＝－3时取得最小值，且最小值为f(－3)＝－14.

 二次函数的图象与性质

若函数f(x)＝2x2＋mx－1在区间[－1，＋∞)上递增，则f(－1)的取值范围为____________．

作出f(x)的图象，

根据图象可知，其对称轴x＝－处在区间[－1，＋∞)的左边(包括端点)时，f(x)在[－1，＋∞)上递增，

所以－≤－1，解得m≥4.

所以f(－1)＝－m＋1≤－3.

即f(－1)的取值范围为(－∞，－3]．

(－∞，－3]

二次函数的单调性是以对称轴为分界线的，因此，讨论二次函数的单调性时，要抓住对称轴与所给定义域的关系．

1．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．

(1)若f(x)在[－5,5]上单调递增，则a的取值范围为　[5，＋∞)　；

(2)若f(x)在[－5,5]上单调递减，则a的取值范围为　(－∞，－5]　；

(3)若f(x)在[－5,5]上单调，则a的取值范围为　(－∞，－5]∪[5，＋∞)　；

(4)若f(x)在[－5,5]上不单调，则a的取值范围为　(－5，5)　.

因为f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为x＝－a.

(1)若f(x)在[－5,5]上单调递增，则－a≤－5，

所以a≥5，所以a的取值范围为[5，＋∞)．

(2)若f(x)在[－5,5]上单调递减，则－a≥5，

所以a≤－5，所以a的取值范围为(－∞，－5]．

(3)若f(x)在[－5,5]上单调，则－a≥5或－a≤－5，

所以a≤－5或a≥5.

所以a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．

(4)若f(x)在[－5,5]上不单调，则－5<－a<5，

所以－5<a<5，所以a的取值范围为(－5,5)．

 轴定区间定的二次函数的最值

若实数x，y满足x2＋4y2＝4x，则S＝x2＋y2的取值范围为____________．

由x2＋4y2＝4x，得y2＝x－，

所以S＝x2＋y2＝x2＋(x－)＝x2＋x.

因为y2＝x－≥0，得x∈[0,4]，

所以问题转化为求二次函数S＝x2＋x在区间[0,4]上的最大值与最小值．

因为对称轴x＝－<0，所以函数在此区间上为增函数，

所以Smin＝S(0)＝0，Smax＝S(4)＝16.

故所求S的取值范围为[0,16]．

[0,16]

(1)求解本题的关键有两点：其一是二元函数化为一元函数；其二是找到x的范围．然后将其转化为二次函数在闭区间上的最值问题．

(2)一般地，对二次函数f(x)＝a(x－k)2＋h (a＞0)在区间[m，n]上的最值问题的讨论，要注意如下几点：

①方法：数形结合法；

②依据：函数的单调性；

③关键：抓住对称轴的位置进行讨论．

2．(2017·北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是　[，1]　.

(方法一)由x＋y＝1，得y＝1－x.

又x≥0，y≥0，所以0≤x≤1，x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2(x－)2＋.

由0≤x≤1，得0≤(x－)2≤，

即≤x2＋y2≤1.所以x2＋y2∈[，1]．

(方法二)x2＋y2＝(x＋y)2－2xy，

已知x≥0，y≥0，x＋y＝1，

所以x2＋y2＝1－2xy.

因为1＝x＋y≥2，所以0≤xy≤，

所以≤1－2xy≤1，即x2＋y2∈[，1]．

(方法三)依题意，x2＋y2可视为原点到线段x＋y－1＝0(x≥0，y≥0)上的点的距离的平方，如图所示，

故(x2＋y2)min＝()2＝，

(x2＋y2)max＝|OA|2＝|OB|2＝1.

故x2＋y2∈[，1]．

 轴动或区间动的二次函数的最值

(经典真题)设函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)．当b＝＋1时，求函数f(x)在[－1,1]上的最小值g(a)的表达式．

当b＝＋1时，f(x)＝(x＋)2＋1，故函数的对称轴为直线x＝－.

当a≤－2时，f(x)在[－1,1]上递减，

所以g(a)＝f(1)＝＋a＋2.

当－2<a≤2时，－∈[－1,1]，

所以g(a)＝f(－)＝1.

当a>2时，f(x)在[－1,1]上递增，

所以g(a)＝f(－1)＝－a＋2.

综上，g(a)＝

对于轴动或区间动的二次函数在闭区间上的最值问题，要注意抓住对称轴与所给区间的位置关系及二次函数的单调性进行分类讨论．

3．函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式及其最值．

f(x)＝(x－1)2＋1.

当t<0时，x＝1>t＋1，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，所以g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1，如图(1)；

当0≤t≤1时，x＝1∈[t，t＋1]，

所以x＝1时，g(t)＝f(1)＝1，如图(2)；

当t>1时，x＝1<t，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以g(t)＝f(t)＝(t－1)2＋1，如图(3)，

所以g(t)＝

g(t)min＝1，g(t)无最大值．

1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件未说明a≠0时，就要分a＝0和a≠0进行讨论．

2．二次函数的重要性质是单调性和对称性，因此，研究二次函数的性质，要特别注意对称轴的位置．

3．对二次函数y＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值的研究是本节内容的重点，同时也是高考的热点，对如下结论必须熟练掌握：

(1)当x＝－∈[m，n]时，是它的一个最值，另一个最值在区间端点处取得．

(2)当x＝－∉ [m，n]时，最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得．

4．二次函数在某个区间上的最值问题的处理，常常要利用数形结合的思想和分类讨论的思想方法．当二次函数的表达式中含有参数或所给区间是变化的，需要考察二次函数的图象特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关系)，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类求解和讨论．