2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第12讲　函数的图象与变换

第12讲　函数的图象与变换

1．掌握基本初等函数的图象特征．

2．掌握函数图象的平移变换、对称变换和翻折变换．

3．能利用函数图象解决某些数学问题．

知识梳理

1．函数作图

基本步骤：

(1)确定函数的定义域；

(2)化简函数的解析式；

(3)讨论函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；

(4)画出函数的图象．

2．函数图象的常见变换

(1)平移变换

①水平平移：y＝f(x－a) (a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向　右　平移a个单位而得到．y＝f(x＋a) (a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向　左　平移a个单位而得到．

②竖直平移：y＝f(x)＋b (b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向　上　平移b个单位而得到．y＝f(x)－b (b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向　下　平移b个单位而得到．

(2)对称变换

①一个函数图象自身的对称：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．

②两个图象之间的对称：

(ⅰ)y＝f(－x)与y＝f(x)关于　y轴　对称．

(ⅱ)y＝－f(x)与y＝f(x)关于　x轴　对称．

(ⅲ)y＝－f(－x)与y＝f(x)关于　原点　对称．

(ⅳ)y＝f－1(x)与y＝f(x)关于　直线y＝x　对称．

(3)翻折变换

①y＝|f(x)|的图象：将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴　翻折到x轴上方　，其x轴上方的部分　不变　.

②y＝f(|x|)的图象：将y＝f(x)(x≥0)的部分作出，再利用　偶函数的图象关于y轴对称　，作出x＜0的图象．

1．函数图象平移的八字方针

(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．

(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．

2．函数对称的重要结论：

(1)若函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则f(x)的图象关于(a，b)对称．

(3)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．

(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于(a，b)中心对称．

热身练习

1．函数y＝x|x|的图象大致是(A)

　 (方法一：化为分段函数)

因为y＝x|x|＝

所以可分段作出上述函数的图象，故选A.

(方法二：利用函数的性质作图)易知f(x)＝x|x|为奇函数，故只需作出x≥0时的图象，再利用对称性作出x<0时的图象，故选A.

2．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点(A)

A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

　 由y＝2xy＝2x－3y＝2x－3－1.

3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得到的图象与曲线y＝ln x关于y＝x对称，则f(x)的解析式为(A)

A．f(x)＝ex＋1  B．f(x)＝ex－1

C．f(x)＝e－x＋1  D．f(x)＝e－x－1

　 逆向思考：y＝ln xy＝exy＝e(x＋1)，即y＝ex＋1.

4．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为(C)

A．y＝f(|x|)  B．y＝|f(x)|

C．y＝f(－|x|)  D．y＝－f(|x|)

　 y＝f(|x|)的图象是保留y＝f(x)在y轴右边的图象，并作其关于y轴对称的图象，其图象如图1所示．

y＝|f(x)|的图象是保留y＝f(x)在x轴上方的图象，将x轴下方的图象翻折上去，其图象如图2所示．

y＝－f(|x|)的图象与y＝f(|x|)的图象关于x轴对称，其图象如图3所示．故只有C正确．

5．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(C)

A．f(x)在(0,2)单调递增

B．f(x)在(0,2)单调递减

C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称

D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称

　 f(x)＝ln(2x－x2)，令y＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，则y＝2x－x2关于直线x＝1对称，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D错误，所以y＝f(x)在(0,1)和(1,2)上单调性相反，故A，B错误．

 作函数图象

作出下列函数的图象：

(1)y＝x(|x|－2);  (2)y＝.

(1)因为y＝x(|x|－2)是奇函数，其图象关于原点对称．

故可作出x≥0时，y＝x2－2x的图象，再利用性质，作出x≥0时关于原点对称的图象，合并即得到所作函数的图象．如下图中左图所示．

(2)定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，

函数式可变形为y＝1－，

故先作出y＝－的图象，再向左平移一个单位，向上平移一个单位，得到所作函数的图象，如上图中右图所示．

作函数图象时，若所给函数是基本函数可直接作出，若不是基本函数则需要进行适当的变形，利用平移、对称、翻折等变换进行作图．画函数图象应注意：①定义域；②标出x，y，O；③标出关键数据(如截距、转折点的坐标等)．

1．作出下列函数的图象：

(1)y＝2x＋2;  (2)y＝x2－2|x|－1.

(1)y＝2x＋2的图象可由y＝2x的图象向左平移2个单位长度得到．图象如图1.

(2)y＝图象如图2.

 识图与辨图

(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝的部分图象大致为(　　)

A

　　B

C

　　D

令f(x)＝，

因为f(1)＝>0，f(π)＝＝0，

所以排除A，D.

由1－cos x≠0得x≠2kπ(k∈Z)，

故函数f(x)的定义域关于原点对称．

又因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，

所以排除B.故选C.

C

(1)解函数图象的有关选择题，常用方法是“排除法”．

(2)从函数的解析式出发，常研究函数的以下性质：定义域、值域、奇偶性(对称性)、单调性等，若这些性质表现在图象上，如和选项中所给图象不符，即可排除．

(3)常用技巧是选取恰当的特殊值进行排除，有时也可研究函数的变化趋势进行排除．

2．(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为(B)

因为y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，

所以f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．

因为f(1)＝＝e－，e>2，所以<，

所以f(1)＝e－>1，排除C，D选项．故选B.

 函数图象的应用　　

(2015·北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)

A．{x|－1＜x≤0}

B．{x|－1≤x≤1}

C．{x|－1＜x≤1}

D．{x|－1＜x≤2}

令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．

由得

所以结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．

C

(1)本题主要考查利用图象确定不等式的解集，考查数形结合的思想方法．

(2)利用函数的图象可解决方程、不等式的求解问题，明确方程、不等式的解的意义，准确作出图象，运用数形结合的思想方法是处理这类问题的关键．

3．(2018·天津卷)已知a∈R，函数f(x)＝若对任意x∈[－3，＋∞)，f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是　[，2]　.

如图所示，

若对任意x∈[－3，＋∞)，要使函数y＝f(x)的图象在y＝|x|图象的下方，则必有

且在(0，＋∞)内直线y＝x与y＝－x2＋2x－2a相切或相离，所以x＝－x2＋2x－2a有两个相等实根或无实根，即对于方程x2－x＋2a＝0有两个相等实根或无实根，

Δ＝(－1)2－4×2a≤0，解得a≥.

由①②得9－6＋a－2≤3且a－2≤0，所以a≤2.

综上，≤a≤2.

1．平移变换、对称变换是两种常见的变换，平移变换：“左加右减，上正下负”；绝对值变换：“部分对折”．

2．简单函数图象的画法：

(1)直接画——当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．

(2)利用图象变换——若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到的，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到原函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

(3)描点法——当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的性质讨论．

3．函数图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在讨论函数的性质，求最值、确定方程的解的个数、求不等式的解集以及确定某些参数的范围时，要注意“数与形”的有机结合，充分发挥图象的直观作用．同时，如果图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用．