2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第13讲　函数与方程

第13讲　函数与方程

1．结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的联系．

2．判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

知识梳理

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)，把使　f(x)＝0　的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)三个等价关系

方程f(x)＝0有实根函数y＝f(x)的图象与　x轴　有交点函数y＝f(x)有　零点　.

(3)函数零点的判定(零点存在定理)

 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是一条　连续不断　的曲线，并且有f(a)·f(b) 　<　0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有　一个零点　.

2．二分法

(1)二分法的意义

 对于区间[a，b]上连续不断且　f(a)·f(b)<0　的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间　一分为二　，使区间的两个端点逐步逼近　零点　，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

(2)利用二分法求函数f(x)的零点的近似值的步骤：

第一步，确定区间[a，b]，验证　f(a)f(b)<0　，给定精确度ε.

第二步，求区间(a，b)的中点x1.

第三步，计算f(x1)；

①若f(x1)＝0，x1就是函数的　零点　；

②若f(a)f(x1)<0，则令b＝x1，此时零点x0∈　(a，x1)　；

③若f(x1)f(b)<0，则令a＝x1，此时零点x0∈　(x1，b)　.

第四步，判断是否达到精确度的要求，否则重复第二至第四步．

1．有关函数零点的结论

(1)若连续函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续函数的图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)零点的分布

　　3.三个等价关系的推广

方程f(x)－g(x)＝0有实根函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点函数F(x)＝f(x)－g(x)有零点．

热身练习

1．(2018·济宁模拟)已知函数f(x)＝则f(x)的零点为(D)

A.  B．－1

C．0或  D．0

　 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；

当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，

又因为x>1，所以此时方程无解．

综上，函数f(x)的零点只有0.

2．函数f(x)＝x3＋3x－1在以下哪个区间内一定有零点(B)

A．(－1,0)  B．(0,1)

C．(1,2)  D．(2,3)

　 因为f(0)·f(1)<0，所以f(x)在(0,1)上一定有零点．

3．已知函数f(x)＝2ax－a＋3.若∃x0∈(－1,1)，f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(A)

A．(－∞，－3)∪(1，＋∞)  B．(－∞，－3)

C．(－3,1)  D．(1，＋∞)

　 当a＝0时，显然不成立．

当a≠0时，由题意知f(－1)·f(1)<0，

即(－3a＋3)(a＋3)<0，解得a<－3或a>1.

4．(2018·武昌区模拟)函数f(x)＝－()x的零点的个数为(B)

A．0  B．1

C．2  D．3

　 在同一平面直角坐标系内作出y＝与y＝()x的图象(如图)，

由图可知，两函数图象只有一个交点，

因此函数f(x)＝－()x只有1个零点．

5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似值(精确到0.1)为(C)

A．1.2  B．1.3

C．1.4  D．1.5

　 可知方程的解在区间(1.40625,1.4375)上，

因为1.40625≈1.4,1.4375≈1.4，故近似解为1.4.

 函数零点的判断与求解

(1)设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0属于区间

A．(0,1)   B．(1,2)

C．(2,3)  D．(3,4)

(2)函数f(x)＝的零点个数是____________．

(1)设f(x)＝ln x＋x－4，

因为f(1)＝－3<0，f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>ln e－1＝0，所以f(2)·f(3)<0，

所以f(x)在(2,3)上有零点．

(2)当x≤0时，由x2－2＝0，得x＝－；

当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0.

所以f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．

综上，f(x)的零点个数为2.

(1)C　(2)2

判断方程的根的个数，函数的零点个数等问题，常用方法有：

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)利用函数零点存在定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的性质(如单调性、奇偶性等)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用函数图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画出两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．

1．(1)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(C)

A．(－，0)  B．(0，)

C．(，)  D．(，)

(2)(2018·岳麓区校级模拟)已知函数f(x)＝ 则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为(C)

A．1  B．2

C．3  D．4

(1)因为f(x)是R上的增函数且图象是连续的，且

f()＝＋4×－3＝－2<0，

f()＝＋4×－3＝－1>0，

所以f(x)在(，)内存在唯一零点．

(2)由题意得f(1－x)＝

即f(1－x)＝

当x≥1时，由f(1－x)－1＝x2－4x＋2＝0，

解得x＝2＋或x＝2－(舍去)；

当x<1时，由f(1－x)－1＝|lg(1－x)|－1＝0，

解得x＝－9或x＝满足条件．

综上所述，函数g(x)的零点有3个，故选C.

 二次函数的零点

已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1.

(1)若函数有两个零点，其中一个零点在区间(－1,0)内，另一个零点在区间(1,2)内，求m的取值范围；

(2)若函数的两个零点均在(0,1)内，求m的取值范围．

　　 (1)条件说明抛物线：

f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得：

　　

所以－＜m＜－.

(2)根据f(x)的零点落在(0,1)内，列不等式组：



所以－＜m<1－.

利用二次函数图象，采用数形结合是求解二次函数零点分布问题的基本方法．求解时，一般要考虑如下四个方面：“开口方向、方程有解的条件、对称轴的位置、区间端点函数值的正负”．其中方程有解的条件可以是：①Δ≥0；②零点存在定理．

2．若关于x的方程x2－2ax＋2＋a＝0有两个不相等的实根，分别满足下列条件，求a的取值范围．

(1)方程的两根都大于1；

(2)方程一根大于1，另一根小于1.

设f(x)＝x2－2ax＋2＋a.

(1)两根都大于1，即f(x)在(1，＋∞)上有两个不同的零点，

所以解得2<a<3.

(2)方程一根大于1，另一根小于1，

即要求f(x)＝x2－2ax＋2＋a的两零点在x＝1的两旁，

所以只需要f(1)<0，所以a>3.

 函数零点和参数的范围

(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)

A．[－1,0)  B．[0，＋∞)

C．[－1，＋∞)  D．[1，＋∞)

令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．

在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图：

若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知

当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，

此时1＝－0－a，解得a＝－1.

当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．

当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．

综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．

C

由函数的零点确定参数的取值范围，常采用数形结合的方法．有如下两种常用的方法．

(1)将参数分离，化为b＝g(x)的形式，转化为y＝b与y＝g(x)的交点问题；

(2)将函数f(x)化为f(x)＝h(x)－g(x)的形式，根据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，转化为y＝h(x)与y＝g(x)的交点问题．

3．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(C)

A．－  B.

C.  D．1

(方法一)f(x)＝0a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.

令g(x)＝－x2＋2x，h(x)＝a(ex－1－e－x＋1)，

因为g(x)＝－(x－1)2＋1≤1，

当且仅当x＝1时取“＝”．

又因为ex－1＋e－x＋1≥2＝2，

当且仅当x＝1时取“＝”．

若a＞0，则h(x)＝a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，

要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.

若a≤0，则f(x)的零点不唯一．

(方法二)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)

＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，

令t＝x－1，g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.

因为g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，

所以函数g(t)为偶函数．

因为f(x)有唯一零点，所以g(t)也有唯一零点．

又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，

所以2a－1＝0，解得a＝.

(方法三)f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e－x＋1)，

因为f(2－x)＝f(x)，所以f(x)关于x＝1对称，

f(x)有唯一零点f(1)＝0，所以a＝.

1．函数y＝f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的实数根，也是y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

2．函数零点的判定的常用方法有：

(1)零点存在定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.

3．方程f(x)＝g(x)的解，实质上就是研究F(x)＝f(x)－g(x)的零点，可利用函数思想，将其转化为两个函数图象的交点问题．

4．二次方程根的分布问题实质上是函数零点存在的范围问题，因此可借助函数，运用数形结合的思想方法进行处理．在利用二次函数的图象研究根的分布问题时，要注意考察如下四个方面：①开口方向；②方程有根的条件；③对称轴位置；④区间端点函数值的正负．