2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第20讲导数的实际应用及综合应用

第20讲　导数的实际应用及综合应用

1．掌握利用导数解决实际问题的基本思路，能利用导数解决简单的实际问题中的优化问题．

2．能利用导数解决函数、方程、不等式有关的综合问题．

知识梳理

1．优化问题

(1)社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中有关利润最大、用料最省、效率最高等问题通常称为优化问题．

(2)利用导数解决优化问题的基本思路

上述解决问题的过程是一个典型的数学建模过程．

2．导数的综合问题

在高考的解答题中，每年都要设计一道函数的综合题，问题常常含有指数式、对数式、三角函数式等超越式，除了与切线、单调性、极值、最值等内容的综合，还常与方程、不等式等进行综合，解答这样的综合问题，只依据函数的知识无法求解，需要运用导数的方法进行解决．运用导数的方法研究方程、不等式的基本思路是构造函数，通过导数研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式的成立情况及方程实根的个数．

热身练习

1．已知某商品生产成本C与产量q的关系为C＝100＋4q，单价p与产量q的函数关系式为p＝25－q.

(1)利润L与产量q的函数关系为　L＝－q2＋21q－

100(0<q<200)　；

(2)产量q＝　84　时，利润L最大？

　 (1)因为收入R＝q·p＝q(25－q)＝25q－q2.

所以利润L＝R－C＝(25q－q2)－(100＋4q)

＝－q2＋21q－100(0<q<200)．

(2)L′＝－q＋21.令L′＝0，即－q＋21＝0，得q＝84.

当q∈(0,84)时，L′>0；当q∈(84,200)时，L′<0.

因此，q＝84是函数L的极大值点，也是最大值点．所以产量为84时，利润L最大．

2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(C)

A．∃x0∈R，f(x0)＝0

B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形

C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减

D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0

　 A项，因为函数f(x)的值域为R，所以一定存在x0∈R，使得f(x0)＝0成立．所以A正确．

B项，f(－－x)＋f(x)＝(－－x)3＋a(－－x)2＋b(－－x)＋c＋x3＋ax2＋bx＋c＝－＋2c，

f(－)＝(－)3＋a(－)2＋b(－)＋c＝－＋c，

因为f(－－x)＋f(x)＝2f(－)，

所以函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为(－，f(－))，故y＝f(x)的图象是中心对称图形．B正确．

C项，f′(x)＝3x2＋2ax＋b是二次函数，f(x)有极小值点x0，必定有一个极大值x1，若x1<x0，则f(x)在区间(－∞，x0)上不单调递减．C错误．

D项，若x0是f(x)的极值点，则一定有f′(x0)＝0.D正确．

 实际应用问题

(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．

(1)求a，b的值；

(2)该公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．

(1)根据M，N两点坐标求得a，b的值；(2)根据导数先求切线方程，再求f(t)，最后利用导数求最值．

(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．

将其分别代入y＝，

得解得

(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，

则点P的坐标为(t，)．

设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，y′＝－，

则l的方程为y－＝－(x－t)，

由此得A(，0)，B(0，)．

故f(t)＝＝，t∈[5,20]．

②设g(t)＝t2＋，则g′(t)＝2t－.

令g′(t)＝0，解得t＝10.

当t∈(5,10)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；

当t∈(10，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．

从而，当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，

所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15.

答：当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．

利用导数解决生活中的实际应用题的一般步骤：

(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；

(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；

(4)回归实际问题作答．

1．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．

(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；

(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

(1)因为蓄水池的侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，

底面的总成本为160πr2元，

所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．

根据题意得200πrh＋160πr2＝12000π，

所以h＝(300－4r2)，

从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．

又由r>0，h>0，可得r<5，

故函数V(r)的定义域为(0,5)．

(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，

所以V′(r)＝(300－12r2)．

令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．

当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；

当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．

由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时，h＝8，

即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．

 导数的综合问题

(经典真题)设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为0.

(1)求b；

(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围．

(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.

由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.

(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，

由(1)知，f(x)＝aln x＋x2－x，

f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－)(x－1)．

①若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，

f(x)在(1，＋∞)上单调递增．

所以存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，

即－1<，解得－－1<a<－1.

②若<a<1，则>1，故当x∈(1，)时，f′(x)<0，f(x)在(1，)上单调递减；

当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(，＋∞)上单调递增．

所以存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f()<，

而f()＝aln＋＋>，

所以不合题意，应舍去．

③若a>1，则f(1)＝－1＝<.

综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．

本题主要考查导数的几何意义，函数的单调性，不等式有解问题的处理．考查函数思想、转化与化归的思想和分类讨论的思想，综合分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力．

2．(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．

(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；

(2)证明：f(x)只有一个零点．

(1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，

f′(x)＝x2－6x－3.

令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2.

当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；

当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.

故f(x)在(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)上单调递增，在(3－2，3＋2)上单调递减．

(2)证明：因为x2＋x＋1>0，

所以f(x)＝0等价于－3a＝0.

设g(x)＝－3a，

则g′(x)＝≥0，

仅当x＝0时g′(x)＝0，

所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．

故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．

又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6(a－)2－<0，f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点．

综上，f(x)只有一个零点．

1．利用导数解决优化问题的一般步骤：

(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；

(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；

(4)根据得出的数学结果，检验是否符合问题的实际意义并作答．

2．导数综合问题的求解往往是全卷最难的问题，具体求解时，首先要认真审题，审清题目的条件是什么，求解或求证的结论是什么，明确解题目标；第二要合理联想，根据所求，联想相应的处理方法，如证明不等式，常常可以考虑构造函数，恒成立问题，可以考虑将参数分离出来，再进行转化等；第三要细心验算，准确作答，在解答过程中，要注意化归与转化、数形结合、分类讨论等数学思想方法的运用．