2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第21讲　任意角的三角函数

1．任意角的概念、弧度制

(1)了解任意角的概念．

(2)了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．

2．三角函数

(1)理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

(2)能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．

(3)理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)．理解正切函数在区间(－，)内的单调性．

(4)理解同角三角函数的基本关系式：

sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.

(5)了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．

(6)会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

3．三角恒等变换

(1)两角和与差的三角函数公式

①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

②能用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．

③能用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．

(2)简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．

4．解三角形

(1)正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

(2)应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况

　　2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况

三角函数是高考的必考内容，在2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ直接考查本部分内容的试题共27道，其中客观题24道，解答题3道．有两种命题模式，一种是“三小”模式，占15分；另一种是“一小一大”模式，占17分，两种模式不是固定的，而是随机安排的．

“三小”模式，主要考查三角函数的定义，三角函数的求值，三角函数的图象与性质(包括对称性)，正弦定理、余弦定理等，其中正弦定理、余弦定理每年都考，一般是易、中、难各有一道，且有一个小题处于填空题的压轴位置(15题或16题)．

“一小一大”模式，小题涉及三角函数的概念，三角函数的图象与性质，三角函数求值等内容，难度一般是容易题或中等难度的题．大题主要融入三角形之中，这种题型既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变形的技能，故近年来备受命题者的青睐．主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正(余)弦定理、面积公式等，并结合三角公式进行三角变换，从而获解．难度一般属于容易题或中等难度题，都是作为解答题的第一题．

三角函数是刻画周期现象的数学模型，是中学数学中一类重要的函数，在数学、其他学科和生产实践中有着广泛的应用，是培养学生推理能力的良好素材．在复习时应注意以下几点：

1．熟练掌握基本的三角变换

三角变换是三角函数的基础，没有三角函数的恒等变形就谈不上性质和图象的应用，所以要立足于课本，掌握三角变换的基本公式(同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、倍角公式及正弦定理、余弦定理等基本三角函数公式)，同时要掌握变换的基本思想(统一角、统一函数、统一结构)，做到变换时方向清楚、目标明确．

2．熟练掌握三角函数的概念、图象和性质

三角函数的性质是学习高等数学和应用技术的基础，是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是复习的一个重点．在复习时应考虑数形结合，利用图象的直观展现函数的性质，这样既有利于掌握函数的图象和性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法．

3．注意培养三角函数应用意识

三角函数是以角为自变量，又以实数为自变量的函数，它产生于实践，是客观实际的抽象，同时，又广泛地应用于客观实际，因此应树立三角函数的应用意识．解三角形作为三角函数一个重要应用，既能考查运用三角公式进行恒等变形的技能，又能考查利用正弦定理、余弦定理的灵活运用，这种题型的求解方法和技巧要认真加以总结．

第21讲　任意角的三角函数

1．了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度制与角度制的互化．

2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握三角函数的符号规律及三角函数的定义域．

3．掌握扇形的弧长公式及面积公式．

知识梳理

1．角的概念

(1)任意角：角可以看作平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的　始边　，射线的端点O叫做角的　顶点　.按　逆　时针方向旋转形成的角叫做正角，按　顺　时针方向旋转形成的角叫做负角，若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个　零　角．

(2)象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与　坐标原点　重合，角的始边与　x轴的非负半轴　重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．

(3)终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合　{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}　或　{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}　，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．

2．弧度制

(1)定义：把长度等于　半径　长的弧所对的　圆心角　叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做　弧度制　.

正角的弧度数是一个　正数　，负角的弧度数是一个　负数　，零角的弧度数是　0　.

(2)度与弧度的换算关系：180°＝　π　rad，

1°＝　　rad,1 rad＝　　度．

(3)扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α(0<α<2π)，则l＝　Rα　，S＝　lR　.

3．任意角的三角函数

设α是任意一个角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：sin α＝　y　；cos α＝　x　，tan α＝　　(x≠0)．

4．三角函数线

用单位圆中的有向线段表示三角函数．如图：

sin α＝　MP　，cos α＝　OM　，tan α＝　AT　.

1．任意角的三角函数的定义(推广)

设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么：

sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．

2．三角函数值的符号规律

可概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

热身练习

1．角－870°的终边所在的象限是(C)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

　 因为－870°＝－3×360°＋210°，

而210°的终边在第三象限，所以－870°的终边在第三象限．

2．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是(A)

A．4 cm2  B．2 cm2

C．8 cm2  D．2π cm2

　 因为l＝rθ，所以r＝＝2，

所以S＝lr＝×4×2＝4(cm2)．

3．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝(D)

A.  B.

C．－  D．－

　 因为r＝＝5，

所以由三角函数的定义知cos α＝－.

4．若sin α<0且tan α>0，则α是(C)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角  D．第四象限角

5．在[0,2π]上满足sin x≥的x的取值范围是(B)

A．[0，]  B．[，]

C．[，]  D．[，π]

　 利用三角函数线，画出单位圆可知，选B.

 角的概念

已知α＝1690°.

(1)把α表示成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式，则α＝____________；

(2)α所在的象限为____________．

(1)α＝1690°＝1690×＝π＝8π＋π.

所以α＝4×2π＋π.

(2)因为α＝4×2π＋π，又π<π<π，

所以α在第三象限．

(1)4×2π＋π　(2)第三象限

(1)角度与弧度进行互化，关键是抓住180°＝π rad这一关系．

(2)判断一个角所在的象限，关键是在[0,2π)内找到与该角终边相同的角．

1．已知sin α>0，cos α<0，则α所在的象限是(C)

A．第一象限  B．第三象限

C．第一或第三象限  D．第二或第四象限　　

因为sin α>0，cos α<0，所以α为第二象限角，

即2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z，

则kπ＋<<kπ＋，k∈Z，

当k为偶数时，α为第一象限角；

当k为奇数时，α为第三象限角．

 任意角的三角函数的定义

(2018·河南洛阳三月模拟)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0)上，则cos α－sin α＝ 　　　　　.

因为角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0)上，

不妨令x＝－3，则y＝－4，所以r＝5.

所以cos α＝＝－，sin α＝＝－.

所以cos α－sin α＝－＋＝.

(1)三角函数的定义有两种等价形式，其一是利用角的终边上一点的坐标进行定义，其二是利用单位圆进行定义．

(2)一个角的三角函数只与这个角的终边位置有关，利用定义求三角函数值时，要注意角的终边所在象限，当终边所在象限不定时，要注意根据终边位置分类讨论．

(3)利用单位圆的三角函数定义时，要理解角α的意义，注意角的始边及旋转方向．

2．(2018·海淀区期中)角θ的终边经过点P(4，y)，且sin θ＝－，则tan θ＝(C)

A．－  B.

C．－  D.

因为角θ的终边经过点P(4，y)，

且sin θ＝－＝，所以y＝－3.

所以tan θ＝＝－，故选C.

 弧度制的应用

一扇形的周长为40 m．求使扇形面积最大时，扇形的半径、圆心角和扇形的面积．

设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，

则l＋2r＝40，所以l＝40－2r，

S＝lr＝(40－2r)·r

＝－r2＋20r＝－(r－10)2＋100.

当r＝10时，Smax＝100(m2)，

此时，θ＝＝＝2(弧度)．

所以当扇形圆心角θ＝2，半径为10 m时，扇形面积最大，最大面积为100 m2.

只要确定扇形的半径r，弧长l和圆心角α三个中的两个，这个扇形就确定了．这三个量间的关系是l＝|α|r.

3．(2018·河北五校高三联考)向圆(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为　－　.

由题意，设圆心为C，圆与x轴的交点为A，B，则∠ACB＝，

该点落在x轴下方的部分为一弓形，其面积等于一圆心角为扇形减去一个等边三角形的面积．

因为S扇形＝rl＝r2α＝×22×＝，

S△ACB＝×2×2sin＝，

所以弓形的面积为－，

又圆的面积为4π，

所以该点落在x轴下方的概率为＝－.

1．要掌握区间角、象限角和终边相同的角的表示方法，特别要注意它们的区别与联系．求与α终边相同的角的集合时，先找出0～2π范围内与α终边相同的角，再加上2kπ即可．

2．要熟悉角的弧度制与角度制间的换算关系，并注意角的表示中，角度制和弧度制不能在同一表示中使用．掌握弧长公式l＝|α|r，扇形面积公式S＝lr＝|α|r2，并注意其中角α为圆心角的弧度数．

3．三角函数的定义是三角函数的基础和出发点，正确理解三角函数的定义，是掌握三角函数的定义域、三角函数在各象限内的符号以及三角函数的诱导公式、同角三角函数之间的关系以及后续内容学习的基础．根据三角函数的定义可知：①一个角的三角函数只与这个角的终边的位置有关，即角α与β＝2kπ＋α(k∈Z)的同名三角函数值相等；②|x|≤r，|y|≤r，故有|sin α|≤1，|cos α|≤1，这是三角函数中最基本的一组关系．