2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第23讲两角和与差的三角函数

第23讲　两角和与差的三角函数

1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

2．能用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．

3．能用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式．

4．熟悉公式的正用、逆用、变形应用．

知识梳理

1．两角和与差的余弦C(α±β)

cos(α＋β)＝　cos αcos β－sin αsin β　.

cos(α－β)＝　cos αcos β＋sin αsin β　.

2．两角和与差的正弦S(α±β)

sin(α＋β)＝　sin αcos β＋cos αsin β　.

sin(α－β)＝　sin αcos β－cos αsin β　.

3．两角和与差的正切T(α±β)

tan(α＋β)＝　　.

tan(α－β)＝　　.

1．辅助角公式

asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，

其中cos φ＝，sin φ＝.

2．T(α±β)的常用变形：

tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．

tan α－tan β＝tan(α－β)·(1＋tan αtan β)．

热身练习

1．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan α·tan β的值为(A)

A.  B.

C.  D.

　 因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，①

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，②

①×3－②得2cos αcos β＝4sin αsin β，即tan αtan β＝.

2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(D)

A．－　  B.

C．－  D.

　 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.

3．已知α∈(，π)，sin α＝，则tan(α＋)等于(A)

A.  B．7

C．－  D．－7

　 因为α∈(，π)，sin α＝，所以cos α＝－，

所以tan α＝－.

所以tan(α＋)＝＝＝.

4.的值为(A)

A.  B.

C．1  D.

　 ＝＝tan(45°＋15°)

＝tan 60°＝.

5．sin 15°＋sin 75°的值是　　.

　 sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°

＝(sin 15°＋cos 15°)

＝(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)

＝sin 60°＝×＝.

 两角和与差公式的正用

已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.

(1)求tan(α＋)的值；

(2)求cos β的值．

(1)由cos α＝，0<α<，得

sin α＝＝＝，

所以tan α＝＝×7＝4，

于是tan(α＋)＝＝

＝－.

(2)由0<β<α<，得0<α－β<，

又因为cos(α－β)＝，

所以sin(α－β)＝＝＝，

所以cos β＝cos[α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝×＋×＝.

运用两角和与差的公式求值时，要注意：

(1)从所求和已知所含的函数进行分析，明确变形目标和方向．

(2)从角度进行分析，寻找所求角与已知角的联系，将“所求角”用“已知角”表示，如α＝(α＋β)－β，α＋＝(α＋β)－(β－)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．

(3)利用同角关系求三角函数值时，要注意根据角的象限确定函数值的符号．

1．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan(α－)＝，则tan α＝　　.

(方法一：利用正切的差角公式展开求解)

tan(α－)＝tan(α－)＝＝，

解得tan α＝.

(方法二：利用角的配凑求解)

因为α＝(α－)＋.

所以tanα＝＝＝.

(方法三：利用换元法进行求解)

设θ＝α－，则α＝θ＋， 且tan θ＝，

所以tan α＝tan(θ＋)＝＝＝.

 两角和与差公式的逆用与变用

(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________．

(2)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°的值为__________．

(1)f(x)＝2cos x＋sin x＝(cos x＋sin x)，

设sin α＝，cos α＝，则f(x)＝sin(x＋α)，

所以函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为.

(2)原式＝tan(20°＋40°)(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°·tan 40°

＝(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°tan 40°

＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°

＝.

(1)　(2)

　　 (1)辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)实质是两角和的正弦公式的逆用，这一公式应用广泛，应熟练掌握．

(2)两角和与差的正切公式tan(α＋β)＝联系了tan α＋tan β与tan α·tan β，涉及tan α＋tan β与tan α·tan β的有关问题，常常要对正切公式进行如下变用：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α·tan β)．

2．(经典真题)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝　－　.

f(x)＝sin x－2cos x＝(sin x－cos x)，

设＝cos α，＝sin α，

则f(x)＝(sin xcos α－cos xsin α)＝sin(x－α)，

(方法一)因为x∈R，所以x－α∈R，所以f(x)max＝.

又因为x＝θ时，f(x)取得最大值，

所以f(θ)＝sin θ－2cos θ＝，

又sin2θ＋cos2θ＝1，

所以即cos θ＝－.

(方法二)因为x＝θ时，f(x)取到最大值，

所以θ－α＝2kπ＋(k∈Z)，

所以θ＝α＋2kπ＋(k∈Z)，

所以cos θ＝cos(α＋)＝－sin α＝－.

 两角和与差公式的整体运用

已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)的值为__________．

 平方相加得：

sin2α＋2sin αsin β＋sin2β＋cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝＋，

所以2＋2cos(α－β)＝，故cos(α－β)＝－.

－

要注意从整体上把握公式的结构特点，本题通过平方相加就将问题得到顺利解决．

3．设α，β，γ∈(0，)，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则α－β的值为　

－　.

由已知得

①2＋②2，得1＝2－2(cos αcos β＋sin αsin β)，

即cos(α－β)＝.

因为sin α＋sin γ＝sin β，且α，β，γ∈(0，)，

所以sin α<sin β，故α<β，所以α－β＝－.

1．对公式的掌握，既要能正用，还要进行逆用及变形使用．记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“＋”“－”的变化特点，要掌握一些常见的变形使用，如tan(α＋β)＝的变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α·tan β)等．

2．明确变形目标，重视角的变换，注意角的范围．确定变形的目标和方向很重要，根据所求目标及条件可对角进行一些变换，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＋＝(α＋β)－(β－)等等，再根据条件确定角的范围，计算有关函数值．

3．要注意从整体上把握公式的结构特点，根据公式的整体特点采用代数变形(如平方相加、平方相减)，有利于简化复杂的三角运算．